реши задачу

Below is a standard way to see why $Z(t) = A\cos(Xt + V)$ is wide‐sense stationary but, in general, not strictly (strongly) stationary.

---

1. Широкая стационарность (wide‐sense stationarity)

(a) Нулевое математическое ожидание.

Пусть $V$ равномерно распределена на $[0, 2\pi]$ и не зависит от $(A, X)$. Тогда для любого фиксированного $t$

$$\mathbb{E}[Z(t)] \;=\; \mathbb{E}\bigl[A\cos(Xt+V)\bigr] \;=\; \mathbb{E}\!\Bigl[ A \,\mathbb{E}\bigl[\cos(Xt + V)\,\big|\,(A,X)\bigr] \Bigr].$$

Но при фиксированных $A,X$

$$\mathbb{E}_V\bigl[\cos(Xt + V)\bigr] \;=\; \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\cos(Xt + v)\,dv \;=\;0.$$

Отсюда $\mathbb{E}[Z(t)] = 0$ для всех $t$, то есть среднее не зависит от $t$.

---

(b) Корреляционная функция зависит лишь от разности времён.

Рассмотрим

$$R_Z(t_1,t_2) \;=\; \mathbb{E}\bigl[Z(t_1)\,Z(t_2)\bigr] \;=\; \mathbb{E}\Bigl[ A\cos(Xt_1 + V)\,\cdot\,A\cos(Xt_2 + V) \Bigr].$$

Используя тождество $\cos\alpha\,\cos\beta = \tfrac12[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]$, имеем

$$\cos(Xt_1+V)\,\cos(Xt_2+V) \;=\; \tfrac12\Bigl[ \cos\bigl(X(t_1 - t_2)\bigr) \;+\; \cos\bigl(X(t_1 + t_2) + 2V\bigr) \Bigr].$$

Тогда

$$R_Z(t_1,t_2) \;=\; \frac12\,\mathbb{E}\Bigl[ A^2\,\cos\bigl(X(t_1 - t_2)\bigr) \Bigr] \;+\; \frac12\,\mathbb{E}\Bigl[ A^2\,\cos\bigl(X(t_1 + t_2) + 2V\bigr) \Bigr].$$

Во втором слагаемом, поскольку $V$ равномерна на $[0,2\pi]$ и независима, снова получается ноль:

$$\mathbb{E}_V\bigl[\cos(\theta + 2V)\bigr] \;=\; \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\cos(\theta + 2v)\,dv \;=\;0.$$

Отсюда

$$R_Z(t_1,t_2) \;=\; \frac12\,\mathbb{E}\bigl[A^2\,\cos\bigl(X(t_1 - t_2)\bigr)\bigr].$$

Заметим, что это выражение зависит только от $\tau = t_1 - t_2$. Следовательно,

$$R_Z(t_1,t_2) \;=\; R_Z(t_1 - t_2),$$

и потому $\{Z(t)\}$ является стационарным в широком смысле.

---

2. Строгая (узкая) стационарность

Для строгой стационарности нужно, чтобы для любых $t_1,\dots,t_n$ и любого сдвига $s$ векторы

$$\bigl(Z(t_1),\dots,Z(t_n)\bigr) \quad\text{и}\quad \bigl(Z(t_1+s),\dots,Z(t_n+s)\bigr)$$

имели одинаковое распределение.

Однако

$$Z(t_i)\;=\;A\,\cos\bigl(X\,t_i + V\bigr), \qquad Z(t_i + s)\;=\;A\,\cos\bigl(X\,(t_i + s) + V\bigr).$$

Сдвиг по времени заменяет $Xt_i + V$ на $X(t_i+s) + V = Xt_i + V + Xs$. Для того чтобы совместные распределения всех наборов $\{Z(t_1),\dots,Z(t_n)\}$ не менялись при сдвиге $s$, грубо говоря, требовалось бы, чтобы добавка $Xs$ «не влияла» на распределение фазы $V$. Но при небанальном $X$ (который не равен нулю почти наверное) добавка $Xs$ будет «сдвигать» фазу на случайную величину, и общее распределение векторов обычно меняется.

Исключительные случаи.

• Если $X \equiv 0$ (почти наверняка), то $Z(t)=A\cos(V)$ вообще не зависит от $t$, тогда процесс тривиально становится строго стационарным.
• При некоторых специальных (как правило, вырожденно‐дискретных) распределениях $X$ может случиться, что $Xs$ всегда даёт сдвиг фазы на целое число периодов $2\pi$. Но в общем случае это не так.

Таким образом, в общем случае процесс

$$Z(t) \;=\; A \cos(Xt + V)$$

является стационарным только в широком смысле. Строгая же стационарность нарушается, если $X$ не принимает специальных (обычно вырожденно нулевых или кратных $2\pi$) значений.

Нередко в учебниках встречается формулировка, что процесс

$$Z(t)\;=\;A\,\cos\bigl(X\,t+V\bigr)$$

«стационарен только в широком смысле» и «в общем случае не является строго стационарным». Однако при равномерной фазе $V$ (независимой от $A,X$) на самом деле легко показать, что он действительно оказывается и строго (узко) стационарным — при условии, что частота $X$ есть одна и та же случайная величина на всём промежутке наблюдения (то есть «выбирается однажды» и не меняется с ходом времени).

Ниже изложен тот «более строгий» разбор, где обычно пытаются доказать «нестационарность», но при аккуратном рассмотрении выходит наоборот, что стационарность в строгом смысле имеет место.

---

1. Почему все сходятся, что $Z(t)$ стационарен в широком смысле

Это проще всего видно по функции корреляции. Вычисляют

$$R_Z(t_1,t_2) \;=\; \mathbb{E}\bigl[Z(t_1)\,Z(t_2)\bigr],$$

убеждаются, что она зависит только от $\tau=t_1 - t_2$. Ключевую роль здесь играет равномерность фазы $V$ на отрезке $[0,2\pi]$ и независимость $V$ от $(A,X)$.

---

2. «Подозрение» на нестационарность в узком смысле

Чтобы процесс был строго (узко) стационарным, нужно, чтобы для любых $n$ и любых времён $t_1,\dots,t_n$ и любого сдвига $s$ многомерное распределение

$$\bigl(Z(t_1),\dots,Z(t_n)\bigr) \quad \text{совпадало с} \quad \bigl(Z(t_1+s),\dots,Z(t_n+s)\bigr).$$

На первый взгляд, может показаться, что случайная «частота» $X$ будет «сдвигать» фазу на $X s$ и тем самым менять совместное распределение. В ряде учебных текстов на этом месте и заявляют, что «поскольку $X$ принимает ненулевые значения, добавка $X s$ в фазе нарушает инвариантность», тем самым ограничиваясь утверждением о «нестрогой стационарности».

Но при более внимательном разборе выясняется, что из‑за равномерности $V$ на $[0,2\pi]$ такой сдвиг вовсе не ломает распределение.

---

3. Собственно «строгий» разбор: условная стационарность на каждом $(A,X)$

Самое прозрачное объяснение даёт «разложение» по значениям $(A,X)$. Заметим, что во всём процессе $\{Z(t)\}$ величины $A$ и $X$ фиксируются «одним броском» — то есть на каждом элементарном исходе $\omega$ берётся ровно одно $a(\omega),\,x(\omega)$, и дальше при пробеге $t$ функция $Z(t)$ уже детерминирована формулой

$$Z(t)\;=\;a(\omega)\,\cos\bigl(x(\omega)\,t\;+\;v(\omega)\bigr).$$

Если мы условимся, что на данном элементарном исходе (то есть «условно») $A=a$, $X=x$ есть какие-то конкретные числа, то процесс упрощается до

$$Z(t)\;=\;a\,\cos\bigl(x\,t+V\bigr),$$

где $V$ остаётся единственной «живой» случайной величиной, причём равномерной на $[0,2\pi]$. Тогда посмотрим на «сдвинутый» вектор

$$\bigl(Z(t_1+s),\dots,Z(t_n+s)\bigr) \;=\; \bigl(a\,\cos(x\,(t_1+s)+V),\;\dots,\;a\,\cos(x\,(t_n+s)+V)\bigr).$$

Если ввести $W=V+x\,s$ (по модулю $2\pi$), то при фиксированном $x$ слагаемое $x\,s$ — это просто число, а значит $W$ будет иметь то же самое равномерное распределение на $[0,2\pi]$, что и $V$. Следовательно, с точностью до переобозначения случайной фазы, вектор

$$\bigl(\cos(x\,t_1+V),\,\dots,\,\cos(x\,t_n+V)\bigr)$$

и

$$\bigl(\cos(x\,(t_1+s)+V),\,\dots,\,\cos(x\,(t_n+s)+V)\bigr)$$

имеют одно и то же распределение. То есть условно (на $A=a,X=x$) весь процесс $\{Z(t)\}$ оказывается строго стационарным во времени.

---

4. А значит и безусловно тоже…

Поскольку для каждого фиксированного $(a,x)$ распределение всех «сдвинутых» векторов совпадает со «стартовыми», то и после усреднения по совместному закону $(A,X)$ картина не меняется. Формально говоря, если нужно проверить

$$\mathbb{P}\bigl\{\,(Z(t_1),\dots,Z(t_n))\in B\bigr\} \stackrel{?}{=} \mathbb{P}\bigl\{\,(Z(t_1+s),\dots,Z(t_n+s))\in B\bigr\},$$

достаточно расписать их как

$$\int \mathbb{P}\bigl\{\,(Z(t_1),\dots,Z(t_n))\in B \;\bigm|\;(A,X)=(a,x)\bigr\} \,f_{A,X}(a,x)\,da\,dx,$$

и то же самое для сдвинутых времён; но мы уже видели, что при фиксированных $(a,x)$ вероятность одинакова, а значит и общий интеграл совпадает.

Итог: процесс с «однократно выбираемыми» случайными $A$, $X$ и равномерной фазой $V$ есть не просто «широко», а действительно строго стационарный.

---

Откуда же берётся расхожее мнение «что в общем случае нестационарен»?

Главная путаница обычно возникает, если:

1. Либо фаза $V$ не является независимой равномерной на всём $[0,2\pi]$.
2. Либо $X$ понимают не как «одну случайную частоту на весь эксперимент», а как процесс $X(t)$, меняющийся во времени (т.,е. при каждом $t$ заново выбирается значение). Тогда действительно появляется «дрейф» фазы, уже не эквивалентный простому сдвигу равномерного $V$.

Но в формулировке задачи явно сказано, что $V$ равномерен на $[0,2\pi]$ и не зависит от $(A,X)$, а сами $A$ и $X$ — это просто константы на всю реализацию (случайные, но не меняющиеся с $t$). В таких условиях «строгая» стационарность как раз и восстанавливается.

---

5. Вывод

Если взять ровно то, что написано в задаче:

• $V\sim\mathrm{Uniform}(0,2\pi)$,
• $V$ не зависит от $(A,X)$,
• $A,X$ — случайные постоянные для процесса,

то

$$Z(t)\;=\;A\,\cos\bigl(X\,t \;+\; V\bigr)$$

оказывается стационарным и в широком, и в узком (строгом) смысле.

Однако в ряде источников встречается упрощённое (или некорректно сформулированное) рассуждение: «Раз частота $X$ бывает отличной от нуля, то сдвиг по времени $s$ добавляет слагаемое $X s$ к фазе и «портит» совместное распределение». На самом деле этот «портящий» сдвиг благополучно «поглощается» равномерной фазой $V$. Формально — за счёт того, что $V + \text{(константа)}$ при фиксированном $X=x$ остаётся равномерно распределённым в $[0,2\pi]$.

Таким образом, никакого «строгого нестационарного» поведения тут нет, и «доказать» его зачастую пытаются, забыв учесть независимую равномерную фазу.