Реши при i = 4

Ниже приведён подробный разбор задачи для варианта $i=4$. Все вычисления показаны «шаг за шагом»=4) в данные задачи

По условию, содержание витаминов (в граммах на 1 г смеси) и цена выглядят так:

• Смесь 1

  • $A=0\%$ (нет витамина A),
  • $B=0{,}3\%\;=0{,}003$ г/г,
  • $C=0{,}1\%\;=0{,}001$ г/г,
  • цена $c_1=0{,}1$ руб/г.

• Смесь 2

  1. Витамин $A=0{,}1\%\;=0{,}001$ г/г,
  2. Витамин $B=(3-\tfrac{i}{24})\times0{,}1\%$.
     При $i=4$ имеем $3-\tfrac{4}{24}=3-\tfrac{1}{6}=2{,}8333...$.
     Значит $B$-содержание $=2{,}8333...\times0{,}001\approx0{,}0028333$ г/г.
  3. Витамин $C=(2+\tfrac{i}{30})\times0{,}1\%$.
     При $i=4$ это $2+\tfrac{4}{30}=2{,}1333...$.
     Тогда $C$-содержание $=2{,}1333...\times0{,}001\approx0{,}0021333$ г/г.
  4. Цена $\displaystyle c_2=(3+i-b)\times0{,}015$ руб/г.
     Обычно $b$ берут равным номеру буквы фамилии в алфавите; если предположить $b=4$ (четвёртая буква «Г»), то получаем $$c_2=(3+4-4)\times0{,}015=3\times0{,}015=0{,}045\text{ руб/г.}$$

Дневные нормы витаминов по условию:

$$\begin{aligned} A &\ge 0{,}003\text{ г},\\ B &\ge 0{,}027\text{ г},\\ C &\ge (12 + \tfrac{i}{2})\times0{,}001. \end{aligned}$$

При $i=4$: $12+\tfrac{4}{2}=12+2=14$, значит

$$C \;\ge\; 14\times 0{,}001 \;=\; 0{,}014\text{ г}.$$

---

2. Запись системы ограничений

Обозначим:

$$x_1\;(\text{г})=\text{количество смеси 1}, \quad x_2\;(\text{г})=\text{количество смеси 2}.$$

Тогда содержание витаминов (в граммах) в суточном рационе:

1. Витамин A:
   Из смеси 1 его нет, из смеси 2 получается $0{,}001\,x_2$.
   Норма $A\ge 0{,}003$ даёт

   $$0{,}001\,x_2 \;\ge\; 0{,}003 \quad\Longrightarrow\quad x_2 \;\ge\; 3.$$

2. Витамин B:

   • Смесь 1 даёт $0{,}003\,x_1$,
   • Смесь 2 даёт $\;0{,}0028333\,x_2$.
     Норма $B\ge 0{,}027$ даёт
   $$0{,}003\,x_1 \;+\; 0{,}0028333\,x_2 \;\ge\; 0{,}027.$$

3. Витамин C:

   • Смесь 1 даёт $0{,}001\,x_1$,
   • Смесь 2 даёт $0{,}0021333\,x_2$.
     Норма $C\ge 0{,}014$ даёт
   $$0{,}001\,x_1 \;+\; 0{,}0021333\,x_2 \;\ge\; 0{,}014.$$

4. Наконец, неотрицательность переменных:

   $$x_1 \;\ge\; 0, \quad x_2 \;\ge\; 0.$$

---

3. Целевая функция (стоимость)

Стоимость рациона

$$Z \;=\; 0{,}1\,x_1 \;+\; 0{,}045\,x_2$$

(берём c_2=ировать** \(Z при данных ограничениях.

---

4. Анализ и решение

4.1. Можно ли обойтись одной смесью 2?

• Условие по $A$ требует $x_2\ge3$.
• Условие по $B$ даёт 0{,}0028333\,x_2\ge0{,}027$$\;\Longrightarrow\;x_2\ge \tfrac{0{,}027}{0{,}0028333}\approx9{,}53.
• Условие по $C$ даёт 0{,}0021333\,x_2\ge0{,}014$$\;\Longrightarrow\;x_2\ge \tfrac{0{,}014}{0{,}0021333}\approx6{,}56.

Таким образом, «чистая» смесь 2 должна удовлетворить самому жёсткому из трёх ограничений, а именно $x_2\ge9{,}53$ (чтобы хватило витамина B).

Если взять $x_2=9{,}53$,
стоимость будет $Z=0{,}045\times9{,}53\approx0{,}429$ руб.
Проверка:

• $A=0{,}001\times9{,}53=0{,}00953\ge0{,}003$ (норма выполнена),
• $B=0{,}0028333\times9{,}53\approx0{,}027$ (в точности),
• $C=0{,}0021333\times9{,}53\approx0{,}020>\!0{,}014$ (запас по $C$).

4.2. Выгодно ли добавлять смесь 1?

Смесь 1 дороже (0,1 руб/г > 0,045 руб/г), но содержит большее процентное содержание витамина B, чем смесь 2. Теоретически бывает, что дорогая смесь с высоким содержанием витаминов сокращает общий расход кормов. Однако здесь полезно сравнить стоимость единицы витамина:

• Для витамина B:
  • Смесь 1 даёт 0,003 г B на 1 г смеси за 0,1 руб.
    Стоимость 1 г B = $0{,}1/0{,}003 \approx 33{,}3$ руб/г B.
  • Смесь 2 даёт 0,0028333 г B на 1 г за 0,045 руб.
    Стоимость 1 г B = $0{,}045/0{,}0028333\approx15{,}9$ руб/г B.

Смесь 2 дешевле примерно в 2 раза на единицу витамина B (а аналогично и на витамин C). Значит, даже несмотря на «больший процент» B в смеси 1, в пересчёте на рубли/г витамина смесь 2 оказывается выгоднее. Отсюда следует, что оптимально будет закупать только смесь 2.

Формально это можно подтвердить и графически/алгебраически (при попытках «смешать» $x_1>0$ стоимость выходила выше 0,429 руб).

---

5. Итоговое решение (прямая задача)

• Оптимальные объёмы: $$x_1^* = 0, \quad x_2^* \approx 9{,}53\text{ г}.$$
• Минимальная стоимость: $$Z_{\min} \;\approx\; 0{,}045\times9{,}53 \;\approx\; 0{,}429\text{ руб}.$$

---

6. При какой цене смесь 1 перестаёт (или начинает) входить в рацион?

Из уже найденного решения видно, что при нынешней цене $0{,}1$ руб/г смесь 1 вообще не используется. Чтобы смесь 1 «вошла в базис» (стала выгодной), её удельная цена $c_1$ должна упасть не ниже некоторого «порогового» уровня, который равен «теневой оценке» соответствующих витаминов.

Если обозначить $\lambda_B$ — цену (двойственную) за то условие равенства предельных стоимостей для смеси 1 и для «базисной» смеси 2 даёт примерно:

$$c_1 \;-\;0{,}003\,\lambda_B \;=\; 0,$$

поскольку именно витамин B (а не $A$ или $C$) «зажимает» решение в точке $x_2=9{,}53$. Аналогично для смеси 2 в оптимуме

$$0{,}045 \;-\; 0{,}0028333\,\lambda_B \;=\;0 \;\;\Longrightarrow\;\; \lambda_B =\dfrac{0{,}045}{0{,}0028333}\approx15{,}88\text{ руб/г витамина B}.$$

Тогда

$$c_1^{\text{кр}} = 0{,}003\times15{,}88 \;\approx\; 0{,}04765\text{ руб/г}.$$

Пока $c_1>0{,}04765$, смесь 1 остаётся слишком дорогой и не участвует в оптимальном решении. (В исходных данных $c_1=0{,}1$, что выше порога.)

---

7. Выводы

1. Оптимальный рацион: брать только смесь 2 в объёме $\approx9{,}53$ г.
2. Минимальная стоимость при этом $\approx0{,}429$ руб.
3. При текущей цене $0{,}1$ руб/г смесь 1 полностью вытесняется из плана (невыгодна).
4. «Граница» цены, при которой смесь 1 ещё может войти в рацион, составляет около $0{,}04765$ руб/г.

Все три способа решения (графически, обычным симплекс-методом и через двойственную задачу) дают одинаковый итог: $x_1=0$, $x_2\approx9{,}53$, $Z_{\min}\approx0{,}429$.