Решение задачи

Нам дан тензор $A_{i p l}$ (трёхмерный массив $3\times 3\times 3$) в базисе $\{e_i\}$, а также задан новый базис $\{\tilde e_i\}$. Требуется найти компоненты того же тензора (то есть ту же билинейную/трёхлинейную форму), но уже в новом базисе $\{\tilde e_i\}$.

В приведённой постановке индексы $i,p,l$ пробегают значения $1,2,3$. По условию:

• Старый базис: $$e_1=(1,\,2,\,3),\quad e_2=(-2,\,-3,\,-4),\quad e_3=(2,\,6,\,11).$$
• Новый базис: $$\tilde e_1=(1,\,-2,\,-6),\quad \tilde e_2=(2,\,-3,\,-10),\quad \tilde e_3=(1,\,-1,\,-3).$$
• Компоненты $A_{i p l}$ в старом базисе заданы «послойно» (третий индекс $l$ нумерует «слои»). Выпишем их в виде трёх матриц размером $3\times 3$ (каждая матрица — это фиксированное $l$):

1. При $l=1$:

2. При $l=2$:

3. При $l=3$:

Нужно найти компоненты $\tilde A_{i p l}$ в новом базисе $\{\tilde e_i\}$.

1. Матрицы, переходящие от одного базиса к другому

Обозначим за $B$ матрицу, чьи столбцы есть векторы старого базиса $e_1,e_2,e_3$ (в их координатах относительно стандартного базиса $(x,y,z)$ в $\mathbb{R}^3$). Тогда

Аналогично, пусть $B'$ — это матрица, составленная из векторов нового базиса $\tilde e_1,\tilde e_2,\tilde e_3$ столбцами (также в координатах стандартного пространства):

Коэффициенты $M_{\!r}^{\,i}$

Чтобы получить компоненты тензора в новом базисе, нам нужно уметь «подставлять» $\tilde e_i$ вместо $e_i$ в исходную формулу

Но новый базис $\tilde e_i$ выражается через старый базис так:

Здесь числа $M_{ri}$ есть просто коэффициенты разложения $\tilde e_i$ по старому базису $\{e_1,e_2,e_3\}$.

Удобный способ их найти:

1. Записать оба набора базисных векторов в координатах стандартного базиса (что мы и сделали в матрицах $B,\,B'$).
2. Из соотношения $\tilde e_i = \sum_r M_{r i}\, e_r$ на уровне столбцов следует $$\text{(столбец $\tilde e_i$)} \;=\; B\,\bigl(\text{столбец }M_i\bigr),$$ где $\bigl(\text{столбец }M_i\bigr)$ есть вектор из $\mathbb{R}^3$ с компонентами $M_{1i},M_{2i},M_{3i}$.
   Следовательно, $$M_i \;=\; B^{-1}\,\tilde e_i,$$ то есть $$M \;=\; B^{-1}\,B',$$ где $M$ есть та самая матрица размеров $3\times 3$ (в столбце номер $i$ которой стоят коэффициенты для $\tilde e_i$).

Таким образом,

2. Формула перестановки компонент тензора

Пусть исходные компоненты в старом базисе — это $A_{r s t}$. Тогда в новом базисе (подставляя $\tilde e_i = M_{r i}\,e_r$ в каждый аргумент тензора) легко получить:

Другими словами, «новые» компоненты $\tilde A_{\,i\,p\,l}$ получаются тройной свёрткой старых $A_{r s t}$ с матрицей $M$.

3. Вычисление матрицы $M = B^{-1}B'$

1. Сначала найдём $B^{-1}$.

   • Мы уже имеем $$B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\ 2 & -3 & 6\\ 3 & -4 & 11 \end{pmatrix},$$ причём $\det(B)=1$.
   • Стандартными действиями (через алгебраические дополнения) получаем $$B^{-1} \;=\; \begin{pmatrix} -9 & 14 & -6\\ -4 & 5 & -2\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.$$

2. Умножим $B^{-1}$ на $B'$ (где
   (\displaystyle B'

   \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\ -2 & -3 & -1\ -6 &-10 & -3 \end{pmatrix} )):

Это и есть искомая матрица $M_{r i}$.

4. Свертка тензора

Имея $M_{r i}$ и исходные $A_{r s t}$, остаётся выполнить сумму

Удобно разбить процесс на несколько «матричных» умножений (по два индекса за раз) и аккуратно просуммировать. Итог (после достаточно громоздких арифметических вычислений) такой:

• При $l=1$ получаем матрицу $\tilde A_{\cdot\,\cdot\,1}$:

  $$\begin{pmatrix} 109 & 107 & 286\\ 110 & 67 & 390\\ 277 & 369 & 486 \end{pmatrix}.$$

• При $l=2$:

  $$\begin{pmatrix} 116 & 134 & 247\\ 110 & 66 & 383\\ 311 & 511 & 291 \end{pmatrix}.$$

• При $l=3$:

  $$\begin{pmatrix} 261 & 206 & 827\\ 284 & 171 & 1035\\ 615 & 594 & 1671 \end{pmatrix}.$$

Иными словами, искомый «трёхслойный» массив $\tilde A_{i p l}$ в новом базисе (пронумеровав $l=1,2,3$ как «слои») имеет вид:

Слой l = 1:
( 109 107 286 )
( 110 67 390 )
( 277 369 486 )

Слой l = 2:
( 116 134 247 )
( 110 66 383 )
( 311 511 291 )

Слой l = 3:
( 261 206 827 )
( 284 171 1035 )
( 615 594 1671 )

Эти три матрицы и представляют собой компоненты тензора $A$ в новом базисе $\{\tilde e_i\}$.