1/(sqrt(16-x^4)) исследуй на сходимость интеграл о...

Исследование сходимости интеграла

$$\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^4}}.$$

---

1. Точки возможной особенности

Подинтегральная функция имеет вид

$$f(x) \;=\; \frac{1}{\sqrt{16 - x^4}}.$$

Потенциальные проблемы могут возникать там, где знаменатель обращается в ноль, то есть при

$$16 - x^4 \;=\; 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^4 \;=\; 16 \quad \Longleftrightarrow \quad x \;=\; \pm 2.$$

На отрезке $[1,2]$ единственная «опасная» точка — это $x=2$. Следовательно, нужно проверить поведение интеграла в окрестности $x=2$.

---

2. Поведение функции при $x \to 2^-$

Рассмотрим малую приращение $\delta = 2 - x$. Тогда $x = 2 - \delta$, и при $\delta \to 0^+$ (то есть $x \to 2^-$):

$$x^4 \;=\; (2 - \delta)^4 = 16 - 32\delta + 24\delta^2 - 8\delta^3 + \delta^4.$$

Тогда

$$16 - x^4 = 16 - \bigl(16 - 32\delta + 24\delta^2 - 8\delta^3 + \delta^4\bigr) = 32\delta - 24\delta^2 + 8\delta^3 - \delta^4.$$

Для очень малых $\delta$ доминирующий член — $32\delta$. Следовательно,

$$16 - x^4 \;\approx\; 32\,\delta,$$

а значит

$$\sqrt{16 - x^4} \;\approx\; \sqrt{32\,\delta} = 4\sqrt{2}\,\sqrt{\delta}.$$

Тогда

$$\frac{1}{\sqrt{16 - x^4}} \;\approx\; \frac{1}{4\sqrt{2}\,\sqrt{\delta}} \;=\; \frac{C}{\sqrt{2 - x}}, \quad \text{где } C = \frac{1}{4\sqrt{2}} \text{ (константа)}.$$

Итак, в окрестности $x=2$ подинтегральная функция ведёт себя как

$$\frac{1}{\sqrt{2 - x}},$$

что является типичной «корневой» особостью.

---

3. Проверка интегрируемости особенности

Рассмотрим «опасный» кусок $\bigl[a,\,2\bigr]$ с $a$ близким к 2, например $a \in (1,2)$. Нужно проверить сходимость

$$\int_{a}^{2} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^4}}.$$

Так как в окрестности $x=2$ функция упрощается до порядка $\tfrac{1}{\sqrt{2 - x}}$, то сравним с интегралом

$$\int_{a}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2 - x}}.$$

Делая замену $u = 2 - x$, получаем $du = -\,dx$. Тогда при $x \to 2^-$ имеем $u \to 0^+$, а при $x=a$ имеем $u = 2 - a > 0$. Следовательно,

$$\int_{a}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2 - x}} = \int_{u=2-a}^{u=0} \frac{-\,du}{\sqrt{u}} = \int_{0}^{2-a} \frac{du}{\sqrt{u}} = 2\,\sqrt{u}\,\Bigl|_{0}^{2-a} = 2\sqrt{2 - a},$$

и это конечная величина. Таким образом «корневая» особенность вида $\tfrac{1}{\sqrt{2 - x}}$ интегрируема на указанном отрезке.

---

4. Вывод о сходимости

• При $x \in [1,2)$ внутри интервала знаменатель $\sqrt{16 - x^4}$ остаётся положительным и не создаёт проблем.
• В точке $x=2$ возникает особенность, однако она относится к типу «интегрируемых» (поскольку асимптотика $\tfrac{1}{\sqrt{2 - x}}$ задаёт сходящийся интеграл).

Следовательно, данный интеграл

$$\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^4}}$$

является сходящимся (не смотря на то, что он — «неправильный» в точке $x=2$).

---

Ответ: интеграл
$\displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{dx}{\sqrt{16 - x^4}}$
имеет в точке $x=2$ интегрируемую особенность и, следовательно, сходится.