Какое минимальное количество кругов диаметра 36 ну...

Для того чтобы покрыть квадрат со стороной 32 минимальным количеством кругов диаметром 36, давайте рассчитаем, сколько таких кругов потребуется.

1. Диаметр круга 36, значит радиус $r = \frac{36}{2} = 18$.
2. Площадь квадрата со стороной 32: $$A_{\text{квадрат}} = 32^2 = 1024 \, \text{кв. единиц}.$$
3. Площадь одного круга с радиусом 18: $$A_{\text{круг}} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 18^2 = \pi \cdot 324 \approx 1017.88 \, \text{кв. единиц}.$$
4. Общее количество кругов, которое требуется для покрытия квадрата, можно вычислить, разделив площадь квадрата на площадь одного круга: $$N = \frac{A_{\text{квадрат}}}{A_{\text{круг}}} = \frac{1024}{1017.88} \approx 1.00.$$

Это означает, что теоретически один круг может полностью покрыть квадрат (площадь квадрата чуть меньше площади одного круга). Однако, из-за того, что круги не могут располагаться идеально без зазоров и квадрат имеет прямые углы, в реальной задаче потребуется больше кругов для покрытия квадрата.

Решение с оптимальным расположением кругов (например, в виде шестиугольной сетки) может потребовать 4 круга, так как при таком расположении можно уменьшить пробелы между кругами.

Поскольку Виталий уверен, что код состоит только из цифр 2, 3, 5 и 9, то для каждого из трёх позиций кода могут быть использованы только эти 4 цифры.

Итак, для каждой позиции имеется 4 возможных варианта:

• Первая позиция: 4 варианта (2, 3, 5, 9).
• Вторая позиция: 4 варианта (2, 3, 5, 9).
• Третья позиция: 4 варианта (2, 3, 5, 9).

Количество возможных кодов можно вычислить, умножив количество вариантов для каждой позиции:

$$4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64.$$

Таким образом, Виталию нужно сделать 64 попытки, чтобы проверить все возможные коды и точно найти правильный.

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, все углы которого меньше 180 градусов. Остроконечный угол имеет величину менее 90 градусов.

Для выпуклого многоугольника сумма углов всегда равна $(n - 2) \times 180^\circ$, где $n$ — количество вершин. Для многоугольника с $n = 2024$ вершинами сумма углов будет равна:

$$(2024 - 2) \times 180^\circ = 2022 \times 180^\circ = 363960^\circ.$$

Теперь, чтобы найти наибольшее количество острых углов в выпуклом многоугольнике, нужно вспомнить, что острый угол — это угол, меньше 90 градусов. Однако выпуклый многоугольник не может иметь слишком много острых углов, поскольку сумма углов будет всегда больше 180 градусов на вершине.

Предположим, что все углы многоугольника острые. Это возможно только в случае, когда углы как минимум четырёх углов сильно будут отличаться!

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

Пусть квадрат $ABCD$ имеет сторону длины $s$. Мы знаем, что:

• $E$ — середина стороны $AB$, то есть $AE = EB = \frac{s}{2}$.
• $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на отрезок $CE$.

Нам нужно найти угол $\angle BFE$.

Шаг 1. Координаты вершин

Предположим, что квадрат $ABCD$ расположен на координатной плоскости следующим образом:

• $A = (0, 0)$
• $B = (s, 0)$
• $C = (s, s)$
• $D = (0, s)$

Теперь определим координаты точек $E$ и $F$:

• $E$ — середина отрезка $AB$, значит, его координаты: $$E = \left( \frac{s}{2}, 0 \right)$$
• Точка $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на отрезок $CE$. Чтобы найти координаты точки $F$, нам нужно уравнение прямой $CE$.

Шаг 2. Уравнение прямой $CE$

Прямая $CE$ проходит через точки $C = (s, s)$ и $E = \left( \frac{s}{2}, 0 \right)$. Нахождение уравнения прямой через эти две точки:

• Сначала находим угловой коэффициент прямой $CE$: $$k = \frac{s - 0}{s - \frac{s}{2}} = \frac{s}{\frac{s}{2}} = 2$$
• Уравнение прямой $CE$ в виде $y = kx + b$, где $k = 2$. Подставляем точку $E = \left( \frac{s}{2}, 0 \right)$ в уравнение, чтобы найти $b$: $$0 = 2 \cdot \frac{s}{2} + b \quad \Rightarrow \quad b = -s$$

Таким образом, уравнение прямой $CE$:

$$y = 2x - s$$

Шаг 3. Перпендикуляр из $D$ на прямую $CE$

Перпендикуляр из точки $D = (0, s)$ имеет угловой коэффициент, равный отрицательной обратной величине углового коэффициента прямой $CE$. Так как угловой коэффициент прямой $CE$ равен 2, то угловой коэффициент перпендикуляра из точки $D$ будет $-\frac{1}{2}$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $D = (0, s)$ и имеющей угловой коэффициент $-\frac{1}{2}$, будет:

$$y - s = -\frac{1}{2}(x - 0) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x + s$$

Шаг 4. Нахождение точки пересечения прямых

Теперь найдем точку $F$, где эти две прямые пересекаются. Составим систему уравнений:

$$y = 2x - s$$ $$y = -\frac{1}{2}x + s$$

Приравниваем правые части:

$$2x - s = -\frac{1}{2}x + s$$

Решаем относительно $x$:

$$2x + \frac{1}{2}x = 2s$$ $$\frac{5}{2}x = 2s \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4s}{5}$$

Подставляем $x = \frac{4s}{5}$ в одно из уравнений, например, $y = 2x - s$:

$$y = 2 \cdot \frac{4s}{5} - s = \frac{8s}{5} - s = \frac{3s}{5}$$

Таким образом, точка $F$ имеет координаты $\left( \frac{4s}{5}, \frac{3s}{5} \right)$.

Шаг 5. Нахождение угла $\angle BFE$

Теперь нам нужно найти угол $\angle BFE$. Для этого вычислим углы между векторами $\overrightarrow{BF}$ и $\overrightarrow{EF}$.

• Вектор $\overrightarrow{BF} = \left( \frac{4s}{5} - s, \frac{3s}{5} - 0 \right) = \left( -\frac{s}{5}, \frac{3s}{5} \right)$
• Вектор $\overrightarrow{EF} = \left( \frac{4s}{5} - \frac{s}{2}, \frac{3s}{5} - 0 \right) = \left( \frac{3s}{10}, \frac{3s}{5} \right)$

Теперь вычислим косинус угла между этими векторами с помощью формулы:

$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{BF}| |\overrightarrow{EF}|}$$

Скалярное произведение $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{EF}$:

$$\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{EF} = \left( -\frac{s}{5} \right) \cdot \frac{3s}{10} + \left( \frac{3s}{5} \right) \cdot \frac{3s}{5} = -\frac{3s^2}{50} + \frac{9s^2}{25} = \frac{9s^2}{50}$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{BF}| = \sqrt{\left( -\frac{s}{5} \right)^2 + \left( \frac{3s}{5} \right)^2} = \sqrt{\frac{s^2}{25} + \frac{9s^2}{25}} = \sqrt{\frac{10s^2}{25}} = \frac{s}{\sqrt{2}}$$ $$|\overrightarrow{EF}| = \sqrt{\left( \frac{3s}{10} \right)^2 + \left( \frac{3s}{5} \right)^2} = \sqrt{\frac{9s^2}{100} + \frac{9s^2}{25}} = \sqrt{\frac{9s^2}{100} + \frac{36s^2}{100}} = \sqrt{\frac{45s^2}{100}} = \frac{s}{\sqrt{5}}$$

Теперь подставим в формулу для косинуса:

$$\cos \theta = \frac{\frac{9s^2}{50}}{\frac{s}{\sqrt{2}} \cdot \frac{s}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{9s^2}{50}}{\frac{s^2}{\sqrt{10}}} = \frac{9}{50} \cdot \sqrt{10} = \frac{9\sqrt{10}}{50}$$

Теперь находим угол $\theta$:

$$\theta = \arccos\left( \frac{9\sqrt{10}}{50} \right)$$

Рассчитывая это, получаем значение угла $\theta$.