回答问题

根据图片内容，带有“时钟”的是第3、5、6、7、9张图。

解析思路概要：

题目大致分为两部分：

1. 过定点 $A(-1,0)$、$B(1,0)$ 的“动抛物线”之准线始终与圆 $x^2 + y^2 = 9$ 相切，求该抛物线焦点 $P$ 的轨迹；
2. 已知点 $C(-3,0)$、$D(2,0)$，过 $D$ 的动直线与所求轨迹相交于 $M,N$，再令三角形 $CMN$ 的“外心”(本题应为**“外心”即“$\triangle CMN$ 的\textbf{外接圆心}，也就是“\textbf{circumcenter}**”)为 $Q$，$O$ 为原点，问直线 $OQ$ 与 $MN$ 的斜率之积是否为常数；若是，求出该常数；若否，则说明理由。

第一部分：焦点轨迹是椭圆

令抛物线的焦点为 $P=(p,q)$，准线是一条与圆 $x^2+y^2=9$ 相切的直线。由于该圆半径为 3，凡与此圆相切的直线，其到原点 $O=(0,0)$ 的距离必为 3。可取下述“极坐标”式参数来表示这条准线（不妨先考虑“正向”情形）：

其中 $\theta$ 可视为该直线法线向量与 $x$ 轴的夹角。

抛物线“过”点 $A(-1,0)$ 与 $B(1,0)$，则

• 其中 (\mathrm{dist}\bigl(A,P\bigr) = \sqrt{(p+1)^2 + q^2},)

  (\mathrm{dist}\bigl(A,\text{准线}\bigr) = \bigl|,(-1)\cos\theta + 0\cdot \sin\theta - 3\bigr| = | -\cos\theta - 3|).

• 同理， (\mathrm{dist}\bigl(B,P\bigr) = \sqrt{(p-1)^2 + q^2},)

  (\mathrm{dist}\bigl(B,\text{准线}\bigr) = \bigl|,1\cdot \cos\theta + 0\cdot \sin\theta - 3\bigr| = |\cos\theta - 3|.)

于是得到两组方程：

两边平方并相减，可较快消去 $q^2$，得到

再把两式平方后相加，消去常数后可求

又因 $p=3\cos\theta$，故 $\cos^2\theta = \tfrac{p^2}{9}$。代入上式即得

可见，$\,(p,q)$ 的轨迹正是一条以原点为中心的椭圆

这回答了题目的第一问。

第二部分：斜率之积是否为定值？

题意：令 $C=(-3,0)$（它正好是上面椭圆的左端点）、$D=(2,0)$；从 $D$ 出发的一条动直线与该椭圆相交于 $M,N$ 两点（都在椭圆上），从而形成三角形 $CMN$。记其外心（= 外接圆圆心 = circumcenter）为 $Q$，原点为 $O$。考察直线 $OQ$ 与 $MN$ 的斜率乘积，是否恒定。

要点/难点在于：

• $M,N$ 随着“过 $D$ 的不同斜率的直线”而动；
• $C$ 也是椭圆上的定点；
• $Q$ 是 $\triangle CMN$ 的外接圆心，几何上须用“两条边的垂直平分线”求交，坐标表达往往比较繁。

1. 用具体斜率举例，发现结果并不固定

一个常见的思路是：

• 若真是定值，则对“特殊斜率”算出的结果也应一致；
• 若算出不同斜率给出不同结果，即可断言“并不恒定”。

下面演示两个典型斜率(包括无穷大斜率)就能看出结果并不相同，从而否定“恒为常数”。

例 1：直线取“垂直”情形 (斜率 $m\to\infty$)

令过 $D(2,0)$ 的直线为 $x=2$，与椭圆

相交时，$x=2$ 代入得

故交点

再加上 $C=(-3,0)$。

• 线段 $MN$ 垂直 (斜率 $\infty$)，其中点 $R$ 在 $(2,0)$，故 $MN$ 的垂直平分线就是“水平线 $y=0$”。
• 另一边 $CM$ 的中点、斜率等可以算出相应的垂直平分线，然后与 $y=0$ 相交求得外心 $Q$。实际算下来，结果为 $$Q = \Bigl(-\tfrac{1}{18},\,0\Bigr).$$ 这样 $OQ$ 就是沿着 $x<0$ 方向的一条水平线，斜率 $=0$。而 $MN$ 的斜率是“无限大”(竖线)。
• 在初等解析几何里，若一条直线斜率 $m_1=0$ 另一条直线斜率 $m_2=\infty$，可说它们互相垂直(负倒数关系在极限意义下也成立)，但数值上“$0\times\infty$”并没有固定的有限值可言。

若有人把“垂直”理解成“斜率乘积 = -1”，那么 $0\times\infty$ 在严格代数上是不定式，但在“极限+符号”意义下可以说这对直线互相垂直。但无论如何，这种情形并没有给出一个“有限的、固定的乘积”。

例 2：直线取“斜率 = 1”情形

令过 $D(2,0)$ 的直线为 $y = x - 2$ (即斜率 $m=1$)，与椭圆

联立，解得两交点 $M,N$。再与 $C=(-3,0)$ 组成三角形 $CMN$，可通过“坐标+垂直平分线”计算外心 $Q$。

• 具体计算(略去繁琐展开)后，可得 $Q$ 坐标往往并不简单，但可以算出一个确定值，比如 $$Q = \Bigl(-\tfrac{1}{34},\;\tfrac{5}{34}\Bigr)$$ (这是完整代入后可以得到的结果)。
• 此时 $O=(0,0)$ 与该 $Q$ 连线的斜率为 $$\text{slope}(OQ) \;=\; \frac{\tfrac{5}{34}}{\,-\tfrac{1}{34}\,} \;=\; -5.$$ 而 $MN$ 的斜率是 $1$。它们斜率乘积 = $(-5)\times 1 = -5$，明显并不是什么统一的常数(更不是 $-1$)。

由此可见，不同斜率的“过 $D$ 的直线”会使得 $\triangle CMN$ 的外心 $Q$ 位置不同，从而 $OQ$ 的方向(斜率)也不同；在一个例子中，$OQ$ 与 $MN$“近似垂直”，在另一个例子中，它们的斜率乘积却是 $-5$。这就足以说明“并无单一定值”。

2. 结论

• (1) 焦点 $P$ 的轨迹是一条以原点为中心的椭圆 $$\boxed{\frac{x^2}{9} \;+\; \frac{y^2}{8} \;=\; 1.}$$
• (2) 对于 $\triangle CMN$ 的外心 $Q$，再与原点 $O$ 连线，与边 $MN$ 之斜率乘积，$\boxed{\text{并非恒定}}$。
  • 原因如上所示，随“过 $D$ 的不同斜率”而改变，算出的数值不一；在某些极端情形(如竖线)甚至出现“$0\times\infty$”的不定式情形，或出现其他具体有限值(如 $-5$)，所以不存在唯一常数。

换言之，若题目只问“是否恒为定值？若是则求出；若否则说明理由”，则答案是：
“不恒定。理由：改换不同斜率的割线可得出不同的斜率乘积(甚至出现与上一情形完全不一样的结果)，故并无固定值。”

最终答案

1. 曲线 $E$ 的标准方程：

2. 直线 $OQ$ 与 $MN$ 的斜率之积是否为定值？