Три натуральных числа a, b и c таковы, что НОД ...

Разберём задачу по шагам. Пусть

(без учёта других простых делителей, поскольку наличие дополнительных простых множителей только увеличивало бы НОК и не позволяло бы «точно» получить данные НОД).

Анализ по простому числу 2

Из условий:

1. $\gcd(a,b) = 2500 = 2^2 \cdot 5^4$ даёт $\min(\alpha_2, \beta_2) = 2$.
2. $\gcd(a,c) = 200 = 2^3 \cdot 5^2$ даёт $\min(\alpha_2, \gamma_2) = 3$.
3. $\gcd(b,c) = 100 = 2^2 \cdot 5^2$ даёт $\min(\beta_2, \gamma_2) = 2$.

Из второй точки следует, что $\alpha_2 \ge 3$ и $\gamma_2 \ge 3$.
Из третьей точки при $\gamma_2 \ge 3$ чтобы $\min(\beta_2,\gamma_2)=2$, необходимо $\beta_2 = 2$.
Тогда из $\min(\alpha_2, \beta_2)=2$ получаем $\alpha_2 \ge 2$. Но так как $\min(\alpha_2,\gamma_2)=3$, то $\alpha_2$ не может быть 2, остаётся $\alpha_2 = 3$.
Аналогично, чтобы $\min(\alpha_2,\gamma_2) = 3$, можно взять $\gamma_2 = 3$.

Итого по степеням двойки:

Анализ по простому числу 5

Аналогично:

1. $\gcd(a,b)=5^4 \Rightarrow \min(\alpha_5,\beta_5)=4$.
2. $\gcd(a,c)=5^2 \Rightarrow \min(\alpha_5,\gamma_5)=2$.
3. $\gcd(b,c)=5^2 \Rightarrow \min(\beta_5,\gamma_5)=2$.

Из (1) получаем $\alpha_5 \ge 4,\; \beta_5 \ge 4$;
из (2) при $\alpha_5\ge 4$ должно быть $\gamma_5 = 2$, чтобы $\min(4,\gamma_5)=2$;
из (3) при $\gamma_5=2$ получаем $\min(\beta_5,2)=2$, значит $\beta_5 \ge 2$. Но чтобы $\min(\alpha_5,\beta_5)=4$, достаточно взять $\alpha_5=4, \beta_5=4$.

Таким образом,

Проверка полученных значений

• $\gcd(a,b) = 2^{\min(3,2)} \cdot 5^{\min(4,4)} = 2^2 \cdot 5^4 = 2500.$
• $\gcd(a,c) = 2^{\min(3,3)} \cdot 5^{\min(4,2)} = 2^3 \cdot 5^2 = 200.$
• $\gcd(b,c) = 2^{\min(2,3)} \cdot 5^{\min(4,2)} = 2^2 \cdot 5^2 = 100.$

Всё совпало с условиями.

Нахождение $\mathrm{LCM}(a,b,c)$

НОК определяется как произведение по всем простым $p$ максимальных степеней $\max\{\text{степень }p\text{ в }a,\,b,\,c\}$. В нашем случае:

• Максимальная степень 2 среди $\alpha_2, \beta_2, \gamma_2$ есть $\max(3,2,3) = 3$.
• Максимальная степень 5 среди $\alpha_5, \beta_5, \gamma_5$ есть $\max(4,4,2) = 4$.

Следовательно,

Ответ: 5000.

Наименьшее значение, которое может принимать НОК(a, b, c), равно 500000.

Обозначим:

• $A$ — число яблок, собранных Васей,
• $B$ — число яблок, собранных Петей,
• $C$ — число яблок, собранных Колей.

Переведём условия в уравнения:

1. Вася собрал 20% от суммы яблок Пети и Коли: $$A = 0.2(B + C)$$
2. Петя собрал треть от суммы яблок Васи и Коли: $$B = \frac{1}{3}(A + C)$$

Выразим $A$ и $B$ через $C$:

Подставляем $A = 0.2(B + C)$ во второе уравнение:

Раскрываем скобки:

Умножим обе стороны на 3:

Теперь выразим $A$:

Теперь найдём, сколько процентов от $A + B$ составляет $C$:

Доля $C$ от $A + B$:

Ответ: 140.

Обозначим:

• $v_1$ — скорость первого велосипедиста,
• $v_2$ — скорость второго велосипедиста,
• $v_3$ — скорость третьего велосипедиста.

Задача сообщает, что первый велосипедист догнал третьего через 10 минут, а второго — через 4 минуты. Это означает, что разница в скорости между первым и третьим составляет

Разница в скорости между первым и вторым составляет

Нам нужно найти, через сколько минут второй велосипедист догонит третьего, то есть решить задачу для разницы в скорости между вторым и третьим:

где $x$ — время, через которое второй велосипедист догонит третьего.

Для этого найдём разницу в скоростях. Из первого и второго уравнений можно выразить $v_1$:

и

Приравняем два выражения для $v_1$:

Преобразуем это уравнение:

Таким образом, разница в скорости между вторым и третьим велосипедистом составляет $v_2 - v_3 = \frac{3}{20}$ круга в минуту. Это значит, что второй велосипедист догоняет третьего за

Ответ: 6.67 минут.

Обозначим:

• $v_1$ — скорость первого велосипедиста,
• $v_2$ — скорость второго велосипедиста,
• $v_3$ — скорость третьего велосипедиста,
• $L$ — длина круга.

Данные из задачи:

1. Первый велосипедист догнал третьего через 10 минут, т.е. за это время он проехал на 1 круг больше, чем третий.

   $$(v_1 - v_3) \cdot 10 = L \Rightarrow v_1 - v_3 = \frac{L}{10}$$

2. Первый велосипедист догнал второго через 4 минуты после этого, т.е. через 14 минут от старта, проехав на 1 круг больше, чем второй.

   $$(v_1 - v_2) \cdot 14 = L \Rightarrow v_1 - v_2 = \frac{L}{14}$$

Найдём разницу скоростей $v_2$ и $v_3$:

Приведём к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель — 70):

Таким образом,

Найдём время, за которое второй велосипедист догонит третьего:

Второй велосипедист догоняет третьего на 1 круг со скоростью $v_2 - v_3$, поэтому время будет:

Ответ: 35.

Обозначим количество собранных яблок:

• $A$ — Васей,
• $B$ — Петей,
• $C$ — Колей.

Составим уравнения по условиям:

1. Вася собрал 20% от общего количества яблок Пети и Коли: $$A = 0.2 (B + C)$$
2. Петя собрал треть от общего количества яблок Васи и Коли: $$B = \frac{1}{3} (A + C)$$

Выразим $A$ и $B$ через $C$:

Выразим $A$ через $C$

Подставляем $A = 0.2(B + C)$ во второе уравнение:

Раскрываем скобки:

Умножим обе стороны на 3:

Теперь выразим $A$:

Найдём, сколько процентов от $A + B$ составляет $C$:

Доля $C$ от $A + B$:

Ответ: 140.