预算线图示

Question

. The Acme Seed Company charges $2/lb for the first 10 lb you buy of marigold seeds each week and$ 1/lb for every pound you buy thereafter. If your income is $100/wk, draw your budget constraint for the composite good and marigold seeds. 2. Same as Problem 1, except now the price for every pound after 10 lb/wk is$ 4/lb 请画这两张图

Answer 1

下面给出两张对应的预算线示意图(“复合商品”在纵轴、金盏花种子(磅)在横轴)。为便于区分，先概括地给出如何求出各个拐点与斜率，然后再给出可视化示意图。

问题背景

每周收入 $I = \$ 100$。
纵轴表示“复合商品”(Composite Good)，价格可认为是 1 美元/单位；如果不买任何种子，则全部 100 美元都用于复合商品，对应纵轴截距为 100。
横轴表示金盏花种子(pounds, 即磅数)，我们关心不同磅数时的总支出。

问题 1 的价格规则

前 10 磅，单价为 2 美元/磅。
超过 10 磅以后，单价为 1 美元/磅。

分段总花费：

当 $x \leq 10$ 时，总花费 = $2x$ 。
留给复合商品的支出 = $100 - 2x$ 。
因此从 $x=0$ 到 $x=10$ 时，预算线是一条斜率为 $-2$ 的线段。
- 在 $x=0$ 处，复合商品是 100。
- 在 $x=10$ 处，复合商品是 $100 - 2 \cdot 10 = 80$ 。
当 $x > 10$ 时，总花费 = 前 10 磅 $2\times 10 = 20$ 加上超过 10 磅的部分(每磅 1 美元)，即 $20 + 1 \cdot (x - 10) = x + 10$ 。
留给复合商品的支出 = $100 - (x+10) = 90 - x$ 。
因此当 $x > 10$ 时，预算线斜率为 $-1$ ，并从拐点 $(10,80)$ 一直延伸到花完所有 100 美元。
- 用完预算时 $90 - x = 0 \implies x = 90$ 。
  所以最大可买 90 磅(其中前 10 磅单价 2 美元，之后 80 磅单价 1 美元)。

由此可得预算线关键点：

$(0,100)$ 与 $(10,80)$ 之间斜率 $-2$
$(10,80)$ 与 $(90,0)$ 之间斜率 $-1$

问题 2 的价格规则

前 10 磅，单价仍为 2 美元/磅。
超过 10 磅后，单价变为 4 美元/磅(而不是 1 美元/磅)。

分段总花费：

当 $x \leq 10$ 时，与问题 1 相同，总花费 = $2x$ ，复合商品 = $100 - 2x$ 。
- 从 $(0,100)$ 到 $(10,80)$ 斜率为 $-2$ 。
当 $x > 10$ 时，总花费 = 10 磅(单价 2 美元)的 20 美元 + 超过部分(单价 4 美元) = $20 + 4(x - 10) = 4x - 20$ 。
复合商品支出 = $100 - (4x -20) = 120 - 4x$ 。
因此在 $x>10$ 时，预算线斜率为 $-4$ 。
- 用完预算时 $120 - 4x = 0\implies x = 30$ 。
  所以最多可买 30 磅种子(前 10 磅 2 美元/磅，接下来的 20 磅 4 美元/磅)。

由此可得预算线关键点：

$(0,100)$ 与 $(10,80)$ 之间斜率 $-2$
$(10,80)$ 与 $(30,0)$ 之间斜率 $-4$

图形示意 (请注意这只是“形状”示意，坐标不按精确比例)

下面以 ASCII 图的方式给出示意(横轴 = 种子磅数 $x$ ，纵轴 = 复合商品 $y$ )。

图 1：第一种价格方案

text
  (复合商品)
      y
100 |● (0,100)
    |  \
    |   \
    |    \
 80 |     ● (10,80)  <-- 斜率从 -2 变成 -1
    |       \
    |        \
    |         \
  0 |__________●_____________ x (磅)
               (90,0)

从 (0,100) 到 (10,80) 斜率是 -2
从 (10,80) 到 (90,0) 斜率是 -1

图 2：第二种价格方案

text
  (复合商品)
      y
100 |● (0,100)
    |  \
    |   \
    |    \
 80 |     ● (10,80)  <-- 斜率从 -2 变成 -4
    |       \
    |        \
    |         \
  0 |__________●_______ x (磅)
               (30,0)

从 (0,100) 到 (10,80) 斜率是 -2
从 (10,80) 到 (30,0) 斜率是 -4

这两条折线分别体现了在不同区间里金盏花种子的边际价格不同，从而在预算约束线上出现拐点(kink)。在实际作业或考试中，你可以按照以上坐标计算在纸上画出精确的线段：

图 1：先连通 $(0,100)$ 与 $(10,80)$ ，再连通 $(10,80)$ 与 $(90,0)$ 。
图 2：先连通 $(0,100)$ 与 $(10,80)$ ，再连通 $(10,80)$ 与 $(30,0)$ 。

即可完成题目所要求的预算线作图。

Answer 2

下面给出对 Picabo 消费滑雪板（skis）与固定器（bindings）的偏好与最优购买方案的分析。为方便说明，以下约定：

将“滑雪板数量”记为 $S$ ，将“固定器数量”记为 $B$ 。
价格：一双滑雪板 $480，一副固定器 $240。
年收入（可全部用于购买滑雪板和固定器）为 $3{,}600。
横轴用 $S$ （滑雪板）表示，纵轴用 $B$ （固定器）表示。

一、偏好与无异曲线

Picabo 的消费满足“配套使用”的需求：一定数量的滑雪板要配上一样(或按一定比例)的固定器才有用。经济学上，这类偏好称为“完全互补”(perfect complements)，其无异曲线通常是L 型折线。

(a) 第一种偏好：1:1 的使用比例

Picabo 每消耗 1 双滑雪板，就同时消耗 1 副固定器。

用效用函数可以表示为 $U(S,B) = \min(S, B),$ 也就是当 $S\neq B$ 时，多出来的那个商品没有贡献(浪费)，只能跟另一种商品成对使用才产生效用。

(a) 的无异曲线图示

特征：每条无异曲线都是在 $S = B$ 这条对角线上出现“拐角”(L 型的转折点)。在该条线以下或以上沿水平或垂直方向延伸，都表示不增加效用。

下面给出一个示意性 ASCII 图(非精确比例，仅示意 “L 形”)：

text
    B
    ↑
    |
  5 |          · (S=B=5, 某条较高无异曲线拐点)
    |         ┏┛
    |         |
  3 |   · (S=B=3, 某条较低无异曲线拐点)
    |  ┏┛
    |  |
  0 └───┴────┴─────────→ S
       0    3    5

水平轴是滑雪板 $S$ ，竖直轴是固定器 $B$ 。
图中每条“L 形”无异曲线在对角线 $S=B$ 上出现拐点。

(b) 第二种偏好：2:1 的使用比例

Picabo 是更激进的滑雪者：每消耗 1 副固定器，就会消耗 2 双滑雪板(比前一种更快用坏滑雪板)。

若记滑雪板为 $S$ 、固定器为 $B$ ，消耗比例为 $S : B = 2:1$ 。
若要让装备全部被有效使用，必须满足 $S = 2B$ 。多余的滑雪板或固定器依然是浪费。
用效用函数表示时，可写作 $U(S,B) = \min\bigl(\tfrac{S}{2},\, B\bigr).$

(b) 的无异曲线图示

特征：每条无异曲线都是在 $S = 2B$ 这条直线上出现“拐角”，并向两边延伸成 L 型。
示例示意图如下（同样为 ASCII 示意，非精确刻度）：

text
    B
    ↑
    |
  5 |            
    |             (在这可能是S=10,B=5的一条无异曲线拐点)
    |            ┏┛
  3 |   ········● (S=6,B=3) 拐点示意 
    |           |
    |          ┏┛
  0 └──────────●────────→ S
          (例如 S=2B 的若干点)

这条过“拐角”的直线为 $S=2B$ 。在该拐点向水平方向或竖直方向延伸，不会增加效用，只有保持住 2:1 的恰当比例才能获得更高效用。

二、最优购买方案

Picabo 有总计 3,600 美元的年预算全部用于购买滑雪板和固定器；滑雪板单价 $480，固定器单价 $240。
其预算线为

480 S + 240 B = 3600.

将之简化可得

2S + B = 15 \quad(\text{将价格式除以 }240).

也就是

B = 15 - 2S.

这是一条从 $(S,B)=(0,15)$ 到 $(7.5,0)$ 的连线（当然实际购买数量应是整数对，但在图上可看作连续）。

在“完全互补”偏好下，最优方案恰好在满足其所需使用比例的那条线( $S=B$ 或 $S=2B$ )与预算线刚好相切(或者说“拐角”落在预算线)的点。因为在拐角之外，会有浪费。

(c1) 当使用比例为 1:1 时

需要 $S=B$ 。
预算约束： $480S + 240B = 3600$ 。由于 $S=B$ ，可令 $S=B=x$ ，则 $480x + 240x = 720x = 3600 \implies x = 5.$
因此最优购买 $\bigl(S,B\bigr)=(5,5)$ 。这时总开支 $720 \times 5 = 3600$ ，恰好花完预算。

(c2) 当使用比例为 2:1 时

需要 $S=2B$ 。
预算约束： $480S + 240B = 3600$ 。用 $S=2B$ 代入，则 $480 \cdot (2B) + 240B = 960B + 240B = 1200B = 3600 \quad\Longrightarrow\quad B=3.$ 进而 $S=2\times 3=6$ 。
因此最优购买 $\bigl(S,B\bigr) = (6,3)$ ，总花费 $480\times 6 + 240\times 3 = 2880 + 720 = 3600$ ，也花完预算。

三、结合图形的完整示意

下图(仅供示意)分别标出了(1) 当偏好为 $S:B=1:1$ 时无异曲线的“L 形状”，以及(2) 当偏好为 $S:B=2:1$ 时无异曲线的“L 形状”。同时，深色斜线(虚线或实线)代表预算线 $480S + 240B = 3600$ 。

(a) 偏好 1:1

text
     B
  15 |● (0,15)  
     | \
  10 |  \   ← 预算线 (2S + B = 15)
     |   \  
   5 |    ● (5,5) ← 最优拐角 
     |     ┏┛  (无异曲线拐角在S=B)
     |     |
   0 └─────┴─────────→  S
          5     7.5

红色折线(如 “┏┛”)代表某条无异曲线在 $S=B$ 上形成直角；最优点正好是 $(5,5)$ 与预算线交点。

(b) 偏好 2:1

text
     B
  15 |● (0,15)
     |  \
  10 |   \ 
     |    \
   5 |     \
     |      \
   3 |       ● (6,3) ← 最优拐角 
     |        ┏┛ (无异曲线拐角在 S=2B)
     |        |
   0 └────────┴────────→ S
           6      7.5

同样地，无异曲线在 $S=2B$ 上形成折角，而预算线与该直线的交点 $(6,3)$ 即为最优消费 bundles。

结论

无异曲线：由于偏好是完全互补(配套使用)，所以无异曲线是典型的“L 形”，其拐点对应所需的固定比例。
- (a) $S:B=1:1$ → 拐点在 $S=B$ 。
- (b) $S:B=2:1$ → 拐点在 $S=2B$ 。
最优购买(给定 $3,600 预算)
- (a) 比例 1:1 时，最优是 $\boxed{(S,B)=(5,5)}$ 。
- (b) 比例 2:1 时，最优是 $\boxed{(S,B)=(6,3)}$ 。

以上即为题目要求的图形与分析。