Теорема Стокса объяснение

Ниже приводится подробное объяснение теоремы Стокса (в классической формулировке векторного анализа), а также разбирается типовая задача, где эта теорема применяется для вычисления циркуляции векторного поля по замкнутому контуру.

---

1. Сформулируем теорему Стокса

Теорема (Кельвина–Стокса) гласит, что для векторного поля $\mathbf{F}(x,y,z)$, непрерывно дифференцируемого в области $G$, и любой гладкой ориентированной поверхности $S$ с положительной (согласованной) ориентацией (нормалью), границей которой является замкнутый контур $C = \partial S$, выполняется равенство:

$$\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \;=\; \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS,$$

где

• $\nabla \times \mathbf{F}$ — ротор (curl) векторного поля $\mathbf{F}$;
• $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности $S$, выбранный согласованно с направлением обхода контура $C$ (правило “правого винта”);
• $d\mathbf{r}$ — элемент векторного приращения вдоль контура $C$.

Смысл теоремы: линейный интеграл (циркуляция) векторного поля $\mathbf{F}$ по замкнутому контуру $C$ равен поверхностному интегралу от ротора $\mathbf{F}$ по любой поверхности $S$, натянутой на этот контур $C$.

---

2. Как понимать теорему на интуитивном уровне

1. Линейный интеграл $\displaystyle \oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ можно понимать как “скручивание” или “вращательный эффект” поля вдоль замкнутой линии.
2. Ротор $\nabla \times \mathbf{F}$ показывает локальную интенсивность вихря/вращения векторного поля (где поле “закручено”, там ротор велик).
3. Поверхностный интеграл ротора $\displaystyle \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$ суммирует вклад всего “вращения” поля над областью поверхности $S$.
4. Теорема Стокса утверждает, что оба “вращательных” эффекта – вдоль границы и над поверхностью – должны совпадать.

---

3. Разберём классическую задачу

Пример: Пусть дано векторное поле

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-y, \; x, \; 0),$$

а контур $C$ — это окружность радиуса $R$ в плоскости $z = 0$, ориентированная против часовой стрелки, если смотреть сверху (то есть нормаль $(0,0,1)$ направлена вверх).

Требуется вычислить циркуляцию $\displaystyle \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ с помощью теоремы Стокса.

3.1. Вычисляем ротор поля $\mathbf{F}$

Ротор (curl) векторного поля $\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)$ определяется как

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.$$

В нашем случае $F_x = -y$, $F_y = x$, $F_z = 0$. Тогда

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ - y & x & 0 \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \; \frac{\partial(-y)}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}, \; \frac{\partial(-y)}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial x} \right).$$

Но проще сразу “по месту” считать компоненты ротора:

• Компонента по $x$: $\frac{\partial}{\partial y}(0) - \frac{\partial}{\partial z}(x) = 0 - 0 = 0.$
• Компонента по $y$: $\frac{\partial}{\partial z}(-y) - \frac{\partial}{\partial x}(0) = 0 - 0 = 0.$
• Компонента по $z$: $\frac{\partial}{\partial x}(x) - \frac{\partial}{\partial y}(-y) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.$

Итого получаем

$$\nabla \times \mathbf{F} = (0,\; 0,\; 2).$$

3.2. Применяем теорему Стокса

Согласно теореме Стокса,

$$\oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS,$$

где $S$ — поверхность, натянутая на контур $C$. Удобнее всего выбрать $S$ равную диску радиуса $R$ в плоскости $z=0$. В этом случае вектор нормали $\mathbf{n}$ есть $(0, 0, 1)$, а площадь поверхности $S$ равна $\pi R^2$.

• Мы нашли $\nabla \times \mathbf{F} = (0, 0, 2)$.
• Скалярное произведение $(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = (0, 0, 2)\cdot (0, 0, 1) = 2$.

Тогда

$$\iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_{S} 2 \, dS = 2 \iint_{S} dS.$$

Но $\iint_{S} dS$ — это просто площадь диска радиуса $R$. Следовательно,

$$\iint_{S} dS = \pi R^2.$$

Получаем окончательный результат:

$$\oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 2 \,\pi R^2.$$

Таким образом, циркуляция векторного поля $\mathbf{F}(x,y,z) = (-y,x,0)$ вокруг окружности радиуса $R$ в плоскости $z=0$ равна

$$\boxed{\,2\pi R^2\,}.$$

---

4. Краткие выводы и практические комментарии

1. Теорема Стокса удобна, когда проще вычислить поверхностный интеграл от ротора, чем непосредственно брать линейный интеграл вдоль (иногда сложного) замкнутого контура.
2. В рассмотренном примере прямое вычисление $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ в параметрической форме (с использованием $x = R \cos t$, $y = R \sin t$) тоже возможно, но через теорему Стокса решение сводится к простой формуле “$2$ умножить на площадь круга”.
3. При применении теоремы Стокса важно правильно определить:
   • ориентацию контура и соответствующее направление нормали;
   • знак векторного произведения при вычислении ротора;
   • границы поверхности, если задача требует уточнить форму $S$.

Теорема Стокса – один из фундаментальных результатов векторного анализа, наряду с теоремой Гаусса–Остроградского (объёмный интеграл дивергенции) и формулой Грина (плоский аналог для поля в 2D). Все они являются обобщениями основного закона анализа – Фундаментальной теоремы Ньютона–Лейбница – но в различных размерностях.

---

Если нужна дополнительная задача/пример

Например, можно взять произвольное векторное поле $\mathbf{F}$ и замкнутый контур $C$ (окружность, эллипс, граница некоторого наклонного круга и т. п.) и показать, что вычисление $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ через параметризацию бывает громоздким, а через $\nabla \times \mathbf{F}$ — намного короче. Везде ключевые шаги будут те же:

1. Найти $\nabla \times \mathbf{F}$.
2. Выбрать поверхность $S$, границей которой является $C$.
3. Найти нормаль $\mathbf{n}$ и вычислить $\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS$.

Если какие-то моменты ещё непонятны — спрашивайте.

Взвешенный матроид — это математическая конструкция (матроид), у которой у каждого элемента есть некоторое числовое значение (вес). Чтобы объяснить, что это значит, начнём с обычного матроида.

---

1. Что такое матроид в целом?

1. У нас есть некоторая множество $E$ (к примеру, набор объектов).
2. На этом множестве мы задаём понятие “независимых подмножеств”.
   • Пример 1: Векторное пространство и подмножества векторов, которые линейно независимы.
   • Пример 2: Граф, где подмножествами служат наборы рёбер без циклов (т. е. леса).

Чтобы набор подмножеств назывался независимыми в рамках матроида, он должен удовлетворять нескольким аксиомам, главная из которых — если подмножество $A$ независимо, то любое подмножество $A$ тоже независимо. Ещё важное свойство матроида: все “максимальные” по включению независимые подмножества (которые мы называем базисами) в нём имеют одинаковый размер.

Интуитивно

• Матроид обобщает идею независимости, знакомую из линейной алгебры, на более общий, “комбинаторный” случай.
• “Независимые” подмножества можно рассматривать как те, которые “хорошо уживаются вместе”: без “избыточности” (вектора — без линейных зависимостей, рёбра в графе — без циклов).

---

2. Что значит “взвешенный”?

Чтобы превратить матроид в взвешенный, надо каждой точке (элементу множества $E$) приписать числовой вес (например, неотрицательное число, или любое вещественное число — зависит от задачи).

Далее мы ставим классическую задачу:

“Найти среди всех независимых подмножеств (или базисов) то, у которого суммарный вес наибольший (или наименьший).”

В этом смысле взвешенный матроид часто используют в оптимизационных задачах. Самая известная теорема здесь — жадный алгоритм (greedy algorithm) находит оптимальное (максимально весомое) независимое подмножество или базис.

Ключевая идея жадного алгоритма для взвешенного матроида:

1. Отсортировать все элементы по убыванию (или возрастанию) веса.
2. Идти по отсортированному списку и “добавлять” элемент, если он не нарушает независимости с уже выбранными.
3. В итоге получаем независимое множество “наилучшего суммарного веса” (максимального, если сортируем по убыванию).

Этот алгоритм “работает правильно” именно потому, что мы имеем дело с матроидом, где выполнены соответствующие аксиомы независимости.

---

3. Простой пример “на пальцах”

Представьте, что у вас есть набор задач, которые частично пересекаются по времени (нельзя делать две пересекающиеся задачи одновременно). Считайте задачи элементами множества $E$. У каждой задачи есть своя “важность” (это и есть вес). Определим, что подмножество задач считается независимым, если их можно все выполнить друг за другом без наложения во времени (то есть никакие две задачи не конфликтуют).

Если структура конфликтов таких, что она образует матроид (не каждая задача с расписанием даёт именно матроид, но во многих моделях так бывает), тогда мы можем:

1. Отсортировать задачи по убыванию важности (веса).
2. Сверху вниз брать каждую задачу, если её можно добавить без конфликта к уже взятым.
3. Получим оптимальный план: максимизируем суммарную важность.

В этом и состоит суть: присвоили вес — значит “взвесили” матроид и получили мощное средство для оптимизационных задач.

---

4. Кратко

1. Матроид — набор, где есть понятие независимости, причём все “максимально независимые” подмножества имеют одинаковый размер.
2. Взвешенный матроид — тот же матроид, но у каждого элемента ещё и есть числовой вес.
3. Основная задача во “взвешенном” случае: найти независимое (или базисное) подмножество с наибольшим (или наименьшим) суммарным весом.
4. Решается эта задача жадным алгоритмом: упорядочить элементы по весу и последовательно брать те, которые не ломают независимость.

На практике такие модели встречаются в задачах отбора проектов, составления расписаний, выбора “лучшими” элементами из ряда “взаимно ограничивающих” вариантов и др.

Ниже приведено краткое описание того, что такое криволинейный интеграл первого рода, а также пример задачи, которую можно решить этим методом.

---

1. Что такое криволинейный интеграл 1-го рода

• Криволинейный интеграл первого рода от функции $f(x,y,z)$ по некоторой кривой $C$ обычно записывают как

  $$\int_C f(x,y,z)\, ds,$$

  где $ds$ — элемент (бесконечно малый отрезок) длины дуги на кривой.

• Смысл: если $f(x,y,z)$ —, скажем, “плотность” вдоль кривой, то такой интеграл даёт “общую массу” кривой при заданном законе распределения плотности $f$.

• Отличие от криволинейного интеграла 2-го рода:

  • 1-й род: $\displaystyle \int_C f\,ds$ — интегрируется скалярная функция вдоль дуги;
  • 2-й род: $\displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ — интегрируется векторное поле, берётся скалярное произведение $\mathbf{F}$ и приращения $\,d\mathbf{r}$.

---

2. Общая схема решения

Чтобы вычислить $\displaystyle \int_C f(x,y,z)\, ds$:

1. Задаём параметризацию кривой $C$: $$\mathbf{r}(t) = \bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr), \quad t \in [\alpha, \beta].$$
2. Вычисляем $\displaystyle ds$ в параметрах: $$ds = \sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{dz}{dt}\Bigr)^2}\; dt.$$
3. Подставляем $x(t),y(t),z(t)$ и $ds$ в интеграл: $$\int_C f(x,y,z)\, ds \;=\; \int_{t=\alpha}^{t=\beta} f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\; dt.$$

---

3. Пример задачи

Задача. Вычислить

$$\int_C \bigl(x^2 + y^2 + z^2\bigr)\, ds,$$

где кривая $C$ задана винтовой линией (спиралью) (геликсом):

$$x = a\cos t, \quad y = a\sin t, \quad z = b\,t, \quad t \in [\,0,\,2\pi].$$

Параметры $a>0$ и $b$ — некоторые постоянные.

Шаг 1. Параметризация

Кривая уже задана параметрически:

$$x(t) = a\cos t,\quad y(t) = a\sin t,\quad z(t) = b\, t, \quad t \in [0,2\pi].$$

Шаг 2. Функция внутри интеграла

По условию

$$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2.$$

Подставляем нашу параметризацию:

$$x^2 + y^2 + z^2 \;=\; (a\cos t)^2 + (a\sin t)^2 + (b\,t)^2 \;=\; a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t + b^2 t^2 \;=\; a^2 + b^2\,t^2.$$

Шаг 3. Вычисляем $ds$

Находим производные:

$$x'(t) = -a\sin t,\quad y'(t) = a\cos t,\quad z'(t) = b.$$

Тогда

$$\bigl(x'(t)\bigr)^2 + \bigl(y'(t)\bigr)^2 + \bigl(z'(t)\bigr)^2 \;=\; a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t + b^2 \;=\; a^2 + b^2.$$

Следовательно,

$$ds = \sqrt{\,a^2 + b^2\,}\;dt.$$

Шаг 4. Составляем интеграл

$$\int_C (x^2 + y^2 + z^2)\, ds \;=\; \int_{t=0}^{t=2\pi} \Bigl(a^2 + b^2 t^2\Bigr) \,\underbrace{\sqrt{\,a^2 + b^2\,}}_{\,\text{пост.}\,} \, dt.$$

Вынесем константу:

$$= \sqrt{\,a^2 + b^2\,} \int_{0}^{2\pi} \Bigl(a^2 + b^2 t^2\Bigr)\, dt.$$

Шаг 5. Интегрируем по $t$

Разобьём на две части:

$$\int_{0}^{2\pi} \Bigl(a^2 + b^2 t^2\Bigr)\, dt = a^2 \int_{0}^{2\pi} dt \;+\; b^2 \int_{0}^{2\pi} t^2\, dt.$$

1. $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} dt = 2\pi.$
2. $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} t^2\, dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{8\pi^3}{3}.$

Таким образом,

$$\int_{0}^{2\pi} \Bigl(a^2 + b^2 t^2\Bigr)\, dt = a^2 \,\cdot 2\pi + b^2 \,\cdot \frac{8\pi^3}{3}.$$

Шаг 6. Итоговый результат

$$\int_C (x^2 + y^2 + z^2)\, ds = \sqrt{\,a^2 + b^2\,} \,\Bigl(\,2\pi\,a^2 \;+\;\frac{8\pi^3\,b^2}{3}\Bigr).$$

Это и есть значение криволинейного интеграла первого рода для заданной задачи.

---

4. Короткие итоги

1. Криволинейный интеграл 1-го рода $\int_C f\,ds$ — суммирование (интегрирование) значений скалярной функции $f$ по дуге $C$ с учётом длины этой дуги.
2. Алгоритм решения: параметризуем кривую $\mathbf{r}(t)$, считаем $f(x(t),y(t),z(t))$, умножаем на $ds = \sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}\,dt$ и интегрируем по $t$.
3. В примере с винтовой линией результат вышел довольно простым, потому что $ds$ оказалось константой $\sqrt{a^2 + b^2}$, а оставшийся интеграл был полиномиальным по $t$.

Если нужна ещё задача или более сложный контур — подставляется та же схема: параметризация $\to$ вычисление $f$ $\to$ нахождение $ds$ $\to$ итоговый интеграл по $t$.

Ниже приводится определение криволинейного интеграла второго рода (иногда говорят «линейного интеграла скалярного произведения»), формула для его вычисления через параметризацию и основные свойства.

---

1. Определение

Пусть в пространстве $\mathbb{R}^3$ (или на плоскости $\mathbb{R}^2$) задано векторное поле

$$\mathbf{F}(x,y,z) \;=\; (P(x,y,z),\,Q(x,y,z),\,R(x,y,z)),$$

а $C$ — некоторая гладкая (или кусочно-гладкая) ориентированная кривая. Тогда

1. Криволинейным интегралом второго рода (или линейным интегралом векторного поля) называется величина

$$\int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; \int_{C} (P\,dx \;+\; Q\,dy \;+\; R\,dz).$$

2. В более “дифференциальном” виде на плоскости (если $R \equiv 0$, кривая в $\mathbb{R}^2$) часто пишут:

$$\int_{C} (P\,dx \;+\; Q\,dy).$$

Здесь $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ — это скалярное произведение вектора поля $\mathbf{F}(x,y,z)$ на бесконечно малое приращение радиус-вектора $d\mathbf{r} = (dx,\,dy,\,dz)$.

Физический смысл

• Если $\mathbf{F}$ интерпретировать как силу, то $\int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ есть работа силы $\mathbf{F}$ при перемещении материальной точки по траектории $C$.

---

2. Формула для вычисления (через параметризацию)

Чтобы вычислить $\displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$, обычно:

1. Задают параметризацию кривой $C$:

   $$\mathbf{r}(t) \;=\; (\,x(t),\, y(t),\, z(t)\,), \quad t \in [a,b].$$

   Кривая $C$ при этом обязана быть ориентирована соответственно возрастанию $t$ (иначе придётся учитывать знак).

2. Замечают, что

   $$d\mathbf{r} \;=\; (x'(t),\, y'(t),\, z'(t))\,dt.$$

3. Подставляют $x(t),\,y(t),\,z(t)$ в функции $P,Q,R$ и берут скалярное произведение $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)$. То есть

$$P\,dx + Q\,dy + R\,dz \;=\; \bigl[P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t) + Q(\ldots)\,y'(t) + R(\ldots)\,z'(t)\bigr]\;dt.$$

4. Получают обыкновенный интеграл:

$$\int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; \int_{a}^{b} \Bigl[ P\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,x'(t) \;+\; Q\bigl(\ldots\bigr)\,y'(t) \;+\; R\bigl(\ldots\bigr)\,z'(t) \Bigr] \,dt.$$

Важно: ориентация кривой влияет на знак интеграла. Если поменять направление обхода $C$ на противоположное, то интеграл поменяет знак.

---

3. Основные свойства

Ниже перечислены главные свойства криволинейного интеграла второго рода.

1. Линейность

   • (\displaystyle \int_C [,\alpha,\mathbf{F} + \beta,\mathbf{G},]\cdot d\mathbf{r} ;=; \alpha,\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} +; \beta,\int_C \mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}.)
   • Линейность по отношению к сложению полей и умножению на скаляр.

2. Аддитивность по дугам
   Если кривая $C$ состоит из двух участков $C_1$ и $C_2$, расположенных последовательно (согласованно по направлению), то

   $$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; \int_{C_1} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;+\; \int_{C_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$

3. Изменение ориентации даёт смену знака

   $$\int_{C_{\text{(противоп. ориентации)}}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; -\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$

4. Независимость от способа параметризации
   Если пройти кривую $C$ любым (гладким и ориентированным согласованно) параметром, результат интеграла останется тем же.

5. Интеграл от градиента (закон Ньютона-Лейбница для полей)
   Если $\mathbf{F} = \nabla\phi$ (то есть $\mathbf{F}$ — градиент скалярной функции $\phi$), то

   $$\int_{C} \nabla\phi \cdot d\mathbf{r} \;=\; \phi(\text{конечная точка}) \;-\; \phi(\text{начальная точка}).$$
   • Отсюда следует, что для градиентного поля (или консервативного поля) интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю.

---

4. Краткие выводы

• Криволинейный интеграл 2-го рода ($\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$) сводится к обычному одномерному интегралу по параметру, если у нас есть явная параметризация.
• Ключевое свойство: ориентация кривой влияет на знак результата.
• Если $\mathbf{F}$ — градиент некоторой функции, тогда этот интеграл зависит только от конечных и начальных точек, и по замкнутому контуру даёт ноль (признак потенциальности поля).

На практике криволинейные интегралы 2-го рода часто возникают при вычислении работы сил (физика) и при применении теорем векторного анализа (например, Формула Грина в $\mathbb{R}^2$, Теорема Кельвина–Стокса в $\mathbb{R}^3$).

Примерно так и есть, но формально стоит разграничивать понятия:

1. Символ $\sim$ (тильда) при $x \to 0$ означает асимптотическую эквивалентность, то есть

   $$f(x) \sim g(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \;=\; 1.$$

   Это не буквальное равенство, а именно «эквивалентность» в том смысле, что $f$ и $g$ имеют одинаковый порядок малости и ведут себя “почти одинаково” в главном приближении.

2. Равенство с добавлением $o(\ldots)$ (или $O(\ldots)$) говорит, что мы пишем точную формулу с остаточным членом. Например,

   $$\sin x \;=\; x \;+\; o(x), \quad x \to 0.$$

   Это значит, что $\sin x - x$ убывает быстрее, чем $x$ (то есть $\frac{\sin x - x}{x} \to 0$). Запись $\sin x = x + o(x)$ трактуется как “это точное равенство, где разница между $\sin x$ и $x$ есть малый остаток (o(x)”.

Таким образом:

• Когда вы не уточняете остаток, а лишь указываете главное слагаемое, вы обычно пишете $\sim$. Например, $\sin x \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$, $\tan x \sim x$ и т.д.
• Когда вы хотите отразить более формально (в терминах “равенства с точностью до меньших порядков”), пишете $$f(x) = g(x) + o\bigl(g(x)\bigr) \quad\text{или}\quad f(x) = g(x)\bigl(1 + o(1)\bigr).$$ Здесь уже стоит знак равенства, поскольку добавлен остаточный член $o(\ldots)$, который указывает, «насколько» близко $f$ к $g$.

В некоторых таблицах асимптотических замен (при $x \to 0$) действительно пишут:

• $\sin x \sim x$,
• $1 - \cos x \sim \tfrac{x^2}{2}$,
• $\ln(1+x) \sim x$,
  и т.д. — именно со знаком тильда, подчёркивая, что это ведущее слагаемое.

Но если мы используем более детальный вид:

$$\sin x = x \;-\;\frac{x^3}{6} + o(x^3), \quad 1-\cos x = \frac{x^2}{2} + o(x^2), \quad \dots$$

то уже пишется знак равенства «=» и явно указывается, какая часть считается «меньшим порядком» (запись $o(\dots)$).

Итого:

• “$\sim$” — это эквивалентность (неравенство, а именно «одного порядка малости»).
• “$=$ что-то + $o(\dots)$” — это буквальное равенство с остаточным членом.

Рассмотрим последовательность

$$z_n = \Bigl(1 + \frac{a}{n}\Bigr)^n,$$

где $a = q + i\,m$ — комплексное число (с действительной частью $q$ и мнимой частью $m$).

Шаг 1. Аналогия с действительным случаем

В случае, когда $a$ — действительное число, классически известно, что

$$(1 + a/n)^n \;\xrightarrow[n \to \infty]{}\; e^a.$$

То же самое утверждение верно в комплексном случае благодаря тому, что возведение в степень и экспонента обобщаются на комплексные числа с сохранением аналогичных предельных свойств.

Шаг 2. Формальное доказательство через логарифм

Чтобы быть более формальными, возьмём логарифм:

$$\ln z_n \;=\; n \ln\!\Bigl(1 + \tfrac{a}{n}\Bigr).$$

По разложению в ряд (или используя непрерывность логарифма и экспоненты в комплексной области при малых $\tfrac{a}{n}$), имеем:

$$\ln\Bigl(1 + \tfrac{a}{n}\Bigr) \;=\; \tfrac{a}{n} \;-\; \tfrac{a^2}{2n^2} \;+\; \dots \quad (\text{ряд Лорана/Тейлора по } 1/n),$$

и при $n\to\infty$ главная часть — это $\tfrac{a}{n}$. Умножая на $n$, получаем:

$$n \ln\Bigl(1 + \tfrac{a}{n}\Bigr) \;=\; n \Bigl(\tfrac{a}{n} + o(\tfrac{1}{n})\Bigr) \;=\; a + o(1),$$

что даёт

$$\ln z_n \; \xrightarrow[n \to \infty]{} \; a.$$

Следовательно,

$$z_n = \exp(\ln z_n) \;\xrightarrow[n \to \infty]{} \; e^a.$$

Шаг 3. Итог

Таким образом,

$$z_n \;=\; \Bigl(1 + \frac{a}{n}\Bigr)^n \;\longrightarrow\; e^a \quad \text{при } n\to\infty.$$

Если расписывать $a = q + i m$, то

$$e^a = e^{q + i m} = e^q \bigl(\cos m + i\,\sin m\bigr).$$

Ответ:

$$\lim_{n\to\infty} \Bigl(1 + \frac{q + i\,m}{n}\Bigr)^n = e^{\,q + i\,m} = e^q \Bigl(\cos m + i\,\sin m\Bigr).$$

Чтобы представить комплексное число

$$z \;=\; 2^{20}\cdot e^{(\,\pi/4\,)\,i}$$

на комплексной плоскости, достаточно помнить, что

$$r\,e^{i\theta}$$

означает точку, находящуюся на расстоянии $r$ от начала координат (модуль) и имеющую аргумент (угол) $\theta$ относительно положительного направления оси Ox.

---

1. Модуль и аргумент

• Модуль (радиус): $r = 2^{20}$. Это очень большое положительное число, так что точка будет располагаться на окружности радиуса $2^{20}$ вокруг начала координат.
• Аргумент (угол): $\theta = \frac{\pi}{4}$. Это угол $45^\circ$ (или $\pi/4$ радиан).

Геометрически число $z$ находится в первой четверти, образуя угол $\pi/4$ с положительной осью $Ox$ и отсто́ит от начала координат на $2^{20}$.

---

2. Координатная форма

Если мы хотим указать координаты $(x,y)$ этого числа, то пользуясь формулой

$$r\,e^{i\theta} = r \bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),$$

получаем:

$$z = 2^{20}\cdot e^{(\,\pi/4\,)i} = 2^{20} \bigl(\cos(\pi/4) + i\,\sin(\pi/4)\bigr).$$

А $\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$. Поэтому

$$z = 2^{20} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \;+\; i\,2^{20} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{20}\,\frac{\sqrt{2}}{2} + i\,2^{20}\,\frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{19}\,\sqrt{2} + i\,2^{19}\,\sqrt{2}.$$

То есть:

$$x = 2^{19} \sqrt{2}, \quad y = 2^{19} \sqrt{2}.$$

---

3. “Куда пойдёт $2^{20}$?”

В геометрической интерпретации $2^{20}$ — это длина (модуль) вектора от начала координат до точки $z$. То есть вы берёте вектор из начала координат, “откладываете” его длину $2^{20}$ и поворачиваете на угол $\pi/4$. На практике на бумаге это не нарисовать в масштабе из-за очень большого радиуса, но формально на комплексной плоскости $2^{20}$ указывает, насколько далеко находится ваша точка от начала координат.

Вывод: точка лежит на луче, идущем под $45^\circ$ из начала координат, на расстоянии $2^{20}$. В декартовых координатах это $\bigl(2^{19}\sqrt{2},\,2^{19}\sqrt{2}\bigr)$.

Мы хотим решить на действительных $x$ уравнение

$$9\,x^{6x} \;=\; 1.$$

Эквивалентно,

$$x^{6x} \;=\;\frac{1}{9} \;=\; 3^{-2}.$$

То есть требуется

$$x^{6x} \;=\;3^{-2} \;\;\Longleftrightarrow\;\; 6x\,\ln|x|\;=\;\ln\bigl(3^{-2}\bigr)\;=\;-\,2\,\ln 3.$$

(Ниже мы будем внимательно отсекать те $x$, где выражение $x^{6x}$ действительно определено как вещественная функция.)

---

1. Положительные решения

1.1. Запись через логарифм

Для $x>0$ всё корректно: $\ln|x|=\ln x$. Тогда уравнение перепишется как

$$6x \,\ln x \;=\; -\,2\,\ln 3 \quad\Longleftrightarrow\quad x\,\ln x \;=\; -\,\frac{1}{3}\,\ln 3.$$

Обозначим

$$f(x) \;=\; x\,\ln x.$$

Задача сводится к

$$f(x)\;=\;-\,\tfrac{1}{3}\,\ln 3.$$

График $y = x\ln x$ на $(0,\infty)$ устроен так:

• При $0 < x < 1$ функция $x\ln x$ отрицательна и имеет минимум в точке $x = e^{-1}$ (поскольку производная $f'(x) = \ln x + 1$ обнуляется при $\ln x = -1$).
• При $x=1$ имеем $f(1)=1\cdot 0=0$.
• При $x>1$ функция $x\ln x$ растёт положительно.

Число $-\tfrac{1}{3}\ln 3$ тоже отрицательно. Из-за формы графика (спускается, достигает минимума, а потом поднимается) уравнение $f(x)= \text{const}<0$ может иметь либо 0, 1 или 2 решений в $(0,\infty)$.

Чтобы выяснить, сколько именно, посмотрим на значение минимума:

• Минимум $f(x)$ при $x=e^{-1}$: $$f(e^{-1}) = e^{-1}\ln(e^{-1}) = e^{-1}\cdot(-1) = -\tfrac{1}{e}\,\approx -0.3679.$$
• Правая часть $-\tfrac{1}{3}\,\ln 3$ численно примерно равна $$-\frac{1}{3}\ln 3 \;\approx\; -0.36654.$$

Видно, что $-\tfrac{1}{3}\ln 3$ чуть выше (менее отрицательна), чем минимум $-\tfrac{1}{e}$. Значит прямая $y = \text{const}$ пересечёт кривую $y=f(x)$ дважды:

• Один корень будет левее $x=e^{-1}$ (то есть в интервале $(0, e^{-1})$);
• Второй корень будет правее $x=e^{-1}$, но ещё до 1 (так как при $x=1$ функция уже $=0$, а нам нужно отрицательное).

Точный корень $x=\tfrac{1}{3}$

Оказывается, $x=\tfrac{1}{3}$ даёт:

$$x\ln x \;=\;\tfrac{1}{3}\,\ln\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) \;=\;\tfrac{1}{3}\cdot(-\ln 3) \;=\; -\,\tfrac{1}{3}\,\ln 3.$$

Значит $x=\tfrac{1}{3}$ действительно является точным решением. Подставляя обратно:

$$(1/3)^{6\cdot(1/3)} \;=\; (1/3)^2 \;=\; \tfrac{1}{9}, \quad \text{тогда }9\cdot\tfrac{1}{9}=1.$$

Это даёт первый положительный корень.

Второй корень $x\approx 0.40$

Чтобы найти другой корень (численно), решают

$$x\,\ln x \;=\; -\,\frac{1}{3}\,\ln 3 \;\approx\; -0.36654.$$

Поиск показывает, что это $x$ лежит между $0.3$ и $0.5$, причём мы уже знаем один корень $x=\tfrac{1}{3}\approx 0.3333$.

Фактически оказывается, что второе решение около $0.40$. Более точные уточнения дают $x\approx 0.4016$ (в разных методах – порядка $0.40\ldots0.41$).

Таким образом, уравнение имеет ровно два положительных решения:

1. $x_1 = \tfrac{1}{3} \;(\text{точно}).$
2. $x_2 \approx 0.40$ (получается из численного решения).

---

2. Есть ли отрицательные корни?

Обычно в вещественном анализе функция $x^p$ при $x<0$ определена лишь в случаях, когда показатель $p$ — целое число (или более общий рациональ с нечётным знаменателем даёт знак ±, но в целом часто ведёт к комплексным значениям).

Здесь показатель $6x$ сам зависит от $x$. Чтобы $x^{6x}$ оставалось вещественным:

• Нужно, чтобы $6x$ был целым, когда $x<0$. Иначе $x^{6x}$ на вещественной оси просто не определено (возникают комплексные значения).

Проверим “целочисленные” кандидаты $x = \dfrac{k}{6}$ (k – целое, $x<0\Rightarrow k<0$):

$$x^{6x} \;=\;\Bigl(\tfrac{k}{6}\Bigr)^{6\cdot(k/6)} \;=\; \Bigl(\tfrac{k}{6}\Bigr)^{k}.$$

Тогда уравнение $9\,(\tfrac{k}{6})^k=1$. Посмотрим на несколько k<0:

• При $k=-1$: $x=-\tfrac16$. Тогда $\Bigl(-\tfrac16\Bigr)^{-1} = -6$, что отрицательно, и уж точно 9 умножить на отрицательное не даст 1.
• При $k=-2$: $x=-\tfrac{1}{3}$. Тогда $\bigl(-\tfrac13\bigr)^{-2} = 1/((-1/3)^2) = 1/(1/9)=9$. Умножаем на 9, получаем 81 $\ne 1$.
• При $k=-3$: $x=-\tfrac12$. $\bigl(-\tfrac12\bigr)^{-3} = 1/((-1/2)^3)=1/(-1/8)=-8$. Умножаем на 9, получаем -72 $\ne 1$.
• И т.д. Аналогично для других отрицательных $\tfrac{k}{6}$ мы получим либо отрицательные, либо неподходящие значения.

Следовательно, действительных решений с $x<0$ (где бы $x^{6x}$ оставалось определённым и равнялось $1/9$) нет.

---

3. Итог

1. Положительных корней уравнения $9 x^{6x}=1$ ровно два. Один — точный $x=\tfrac13$, другой — приблизительно $x\approx 0.40$.
2. Отрицательных (вещественных) корней данное уравнение не имеет.

Теорема. Предел (если он существует) у последовательности единственный.

Доказательство (от противного):

Пусть $\{x_n\}$ — последовательность, которая имеет два различных предела, то есть:

$$x_n \,\to\, a \quad\text{и}\quad x_n \,\to\, b \quad \text{при }n\to\infty,$$

при этом $a \neq b$.

1. По определению предела:

   • Из $x_n \to a$ следует, что для любого $\varepsilon>0$ существует $N_1$ такое, что для всех $n>N_1$ выполняется $\lvert x_n - a\rvert < \varepsilon$.
   • Из $x_n \to b$ следует, что для того же $\varepsilon>0$ (или любого другого) существует $N_2$ такое, что для всех $n>N_2$ выполняется $\lvert x_n - b\rvert < \varepsilon$.

2. Возьмём $\varepsilon = \dfrac{|a - b|}{3}$. Тогда существуют такие $N_1$ и $N_2$, что при $n > \max(N_1,\,N_2)$ одновременно выполняются:

   $$\lvert x_n - a\rvert < \frac{|a - b|}{3} \quad\text{и}\quad \lvert x_n - b\rvert < \frac{|a - b|}{3}.$$

   Тогда, используя неравенство треугольника:

   $$|a - b| \;=\; \bigl|\, (a - x_n) + (x_n - b)\bigr| \;\le\; \lvert a - x_n\rvert + \lvert x_n - b\rvert \;<\; \frac{|a - b|}{3} + \frac{|a - b|}{3} \;=\; \frac{2}{3}\,|a - b|.$$

   Отсюда следует

   $$|a - b| < \tfrac{2}{3}\,|a - b|.$$

   Но это невозможно для $a \neq b$, так как тогда $|a-b|>0$ и мы приходим к неравенству $1 < \tfrac{2}{3}$, что абсурд.

3. Полученное противоречие показывает, что наше предположение о двух разных пределах было неверно. Значит, предел (если он есть) может быть только один.

$\boxed{\text{Таким образом, у всякой сходящейся последовательности есть ровно один предел.}}$