Количество синих чисел

Question

все натуральные числа от 1 до 3000 покрашены в два цвета красный и синий, по следующему правилу: если сумма двух разных чисел a и b является простым числом, то a и b покрашены в разные цвета. известно, что число 1 - красное. найдите количество синих чисел.

Thought

Mapping out the rule

I'm thinking about coloring every pair of distinct natural numbers whose sum is prime in different colors, starting with 1 as red. This involves figuring out a coloring pattern for numbers 2 through 3000.

Coloring numbers

I’m painting numbers to ensure that every pair whose sum is prime has different colors. Since 1 is red, I’ll start by marking 2 blue.

Allocating colors

I'm thinking through colors for 5 and 6. Confirming that the sum of any two distinct numbers whose sum is prime, they have different colors from each other, and consistent with previous assignments.

Confirming the alignment

Checking the ongoing pattern: evens are blue and odds are red. For example, number 7 is red, fitting the established color scheme.

Focusing on patterns

I’m noticing that even numbers are blue and odd ones are red, except for 1, which is red. So far, this aligns with the rule about prime sums.

Noticing odd pairs

OK, let me see. Since the sum of two odd numbers is even and only 2 is an even prime, odd pairs don't share the same color under the "prime sum" rule.

Confirming color patterns

I’m thinking through the lack of restrictions for odd and even numbers sharing colors, as their sums can't be prime due to parity and distinctness. This suggests a clear pattern in coloring.

Confirming the pattern

It’s worth noting that this pattern aligns with the rule of prime sums and the established color assignments, showing no contradictions so far.

Confirming the tally

Interestingly, there are 1500 even and 1500 odd numbers between 1 and 3000, which supports the established coloring pattern by summing the numbers efficiently.

Thought about раскраски чисел и простых числе for 16 seconds

Answer

Рассмотрим правило: если сумма двух разных чисел $a$ и $b$ является простым числом, то $a$ и $b$ должны быть окрашены в разные цвета. Известно, что $1$ красное. Покажем, что все нечётные числа будут красными, а все чётные – синими.

Сумма двух нечётных чисел всегда чётна и больше 2 (так как каждое из них $\ge 1$ ), а единственное чётное простое число – это $2$ . Значит, сумма двух разных нечётных чисел никогда не будет равна $2$ . Следовательно, между нечётными числами нет ограничения «должны быть разные цвета». Поскольку $1$ (нечётное) дано красным, логично все нечётные покрасить в красный цвет.
Сумма двух чётных чисел тоже чётна и по крайней мере $2+4=6$ . Так как любое чётное число, большее 2, не является простым, сумма двух чётных не может быть простым числом. Значит, между чётными числами тоже нет требования «разные цвета». Мы можем покрасить все чётные в один цвет – в синий.
Сумма чётного и нечётного числа всегда нечётна, и нередко бывает простым числом (например, $1+2=3$ , $3+4=7$ и т.д.). Чтобы удовлетворять условию «если сумма проста, то числа разного цвета», действительно нужно, чтобы все нечётные были одного цвета (красного), а все чётные – другого (синего).

Таким образом, единственная согласованная раскраска – все нечётные (включая 1) в красный, все чётные – в синий.

Среди чисел от $1$ до $3000$ ровно половина является чётными: это $2,4,6,\dots,3000$ . Количество чётных чисел в этом промежутке равно

\frac{3000}{2} = 1500.

Ответ: $1500$ .

Question

Thought

Answer

Share this Q&A