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Lean 4 证明分析

Created on: January 17, 2025

Answered using O1 by Chat01

Question

我正在使用Lean4，但是我不是很懂这个语言，如下有一段代码，请帮我分析讲解一下
import Mathlib
import Aesop

set_option maxHeartbeats 0

open BigOperators Real Nat Topology Rat

theorem solve_z_solution : 2 * z + 1 = z → z = 1
| h => by
{
have h : 2 * z + 1 = z := h
omega
}

Thought

Revisiting Lean 4 libraries

The code imports Lean 4 libraries Mathlib and Aesop, sets a configuration, and opens modules. It also introduces a theorem solve_z_solution to demonstrate the implication.

Breaking down the solution

The theorem solve_z_solution infers that if 2z + 1 = z, then z = 1. The proof employs the omega tactic to resolve the linear arithmetic equation presented.

Clarifying Lean 4 tactics

I’m explaining the pattern match on h => by and the use of the omega tactic for quantifier-free linear arithmetic, highlighting the restatement of the hypothesis.

Thought about Lean4代码解析，持续 5 秒

Answer

下面这段 Lean 4 代码的逻辑非常简单，做的事情是证明“若 2z+1=z2z + 1 = z，则 z=1z = 1”。代码如下：

lean
import Mathlib
import Aesop

set_option maxHeartbeats 0

open BigOperators Real Nat Topology Rat

theorem solve_z_solution : 2 * z + 1 = z → z = 1
  | h => by
  {
    have h : 2 * z + 1 = z := h
    omega
  }

以下分几部分为你讲解：

1. 导入库与环境设置

  • import Mathlib：导入 Lean 4 Mathlib 库，这是社区维护的数学库，其中提供了许多基本的数学定义和定理。
  • import Aesop：导入 Aesop，是 Lean 4 的一个自动化证明工具（tactic）库，能帮助简化或自动完成一些推理。
  • set_option maxHeartbeats 0：将“心跳数（heartbeats）”限制取消，避免在复杂证明或自动化证明时超时。在 Lean 中，“heartbeats”是一个用来限制搜索深度的机制。
  • open BigOperators Real Nat Topology Rat：把若干命名空间（BigOperators、Real、Nat、Topology、Rat）下的定义、定理等放到当前命名空间，书写上更方便。

2. 定理的声明

lean
theorem solve_z_solution : 2 * z + 1 = z → z = 1
  • 这句表示要证明的定理：若有假设 2∗z+1=z2 * z + 1 = z，则我们要得出 z=1z = 1。
  • theorem solve_z_solution : 2 * z + 1 = z → z = 1 可以看作一个函数类型：给定前提 2 * z + 1 = z，输出结论 z = 1。

3. 利用模式匹配与 tactic 块进行证明

lean
  | h => by
  {
    have h : 2 * z + 1 = z := h
    omega
  }

  1. | h => by ... 是 Lean 4 的一种“匹配参数”写法，表明如果我们的函数/定理接收到一个形参（此处即前提 2 * z + 1 = z），将其命名为 h，然后进入 by 后面的 tactic 块，进行证明。

  2. have h : 2 * z + 1 = z := h

    • 这一行其实有些“多余”，但有时是为了演示或让人容易看懂。它声明了一个新的“局部命题 h”（其实和外部的 h 同名），内容与原来的 h 一致： h:2∗z+1=z h : 2 * z + 1 = z
    • 在更简洁的写法中，完全可以直接用最开始的 h，无需再用 have h 重命名。

  3. omega

    • 这是一个自动解决“线性算术方程或不等式”类问题的 tactic。它擅长在形如“a∗z+b=0a * z + b = 0”、“≤\le”、“≥\ge” 等线性表达式中一键求解。

    • 在这个例子里，omega 可以从 2 * z + 1 = z 推出 z = 1，因为它会自动进行类似：

      2z+1=z  ⟹  2z−z=−1  ⟹  z=−1 2z + 1 = z \implies 2z - z = -1 \implies z = -1

      （注意：这里要看你的变量类型、上下文等，一般在自然数或整数环境中才有意义。如果 z 允许是整数，那么正确答案是 z = -1；若 z 是实数，则推出 z = -1。不过你的定理里结果是 z = 1，所以可能在具体上下文中你对 zz 有另外的假设，或是想证明某个固定值。不过就代码本身而言，它自动会尝试化简并得到结论。）

    • 若是在 Lean 3 或 Lean 4 里的 mathlib 环境下，一般 omega 或者 linarith 都是解决此类线性算术的利器。

需要特别留意的是，单纯从方程 2z+1=z2z + 1 = z 直接化简，会得出 z=−1z = -1。然而你的定理写的是 z = 1。如果这是一个演示性质的例子，那么要么是想演示如何用 omega 解决“线性方程证明”的框架，要么是上游条件有别的附加假设（如某个地方写错了演示而已）。
如果这段代码能在 mathlib 环境下正常通过，那就说明 Lean 的上下文中，也许 z 并非一般的自由变量，或者在别的地方有前置限制（例如：z : ℕ 并且 Lean 中做了其他假设使得推理结果变成 z = 1，等等）。实际情况要结合你项目中的上下文或额外假设来判断。

4. 总结

  • 这段代码主要展示了如何在 Lean 4 中使用模式匹配与tactic 块来完成一个简单的定理证明。
  • omega tactic 可以自动处理线性算术证明，将人力从繁琐的运算中解放出来。
  • 若从数学角度严格来看，2z+1=z2z + 1 = z 通常会推出 z=−1z = -1。若定理声明 z = 1，则需要确认你的上下文（如对 z 的额外约束）是否与此兼容，或者这只是一个演示例子。

希望这能帮助你理解 Lean 4 中这段代码的写法和使用思路。

Question

首先明显"2 * z + 1 = z → z = 1"这个定理是错的，我以为lean4在证明错误定理时，会给出一个类似于"报错"的信息，但其实没有，lean运行完就结束了。lean不是用来做定理证明的吗？为什么在面对错误定理的时候不报错呢

Thought

Appraising Lean's capabilities

I'm working through Lean's doctrinal proving, where imprecision in expressions doesn't flag an error unless the entire environment is specified. Lean's acceptance of proofs means the theorem is contextually valid.

Analyzing environment alignment

I’m thinking through how Lean's handling of missing assumptions and constraints excites debates about completeness, consistency, and contradictions in theorem proving.

Clarifying Lean's mechanics

I’m explaining that Lean doesn’t flag contradictions without domain specifics or constraints. The globally bounded omega tactic might also produce unexpected results.

Spotting potential flaws

I’m thinking through Lean's kernel verification, noting that errors in assumptions or domain specifics might cause contradictions, especially with the omega tactic.

Spotting contradictions

I’m analyzing the contradictions in Lean by evaluating "2z + 1 = z" with z as a natural number. It uniquely resolves to z = -1, a non-natural number, leading to contradictions.

Analyzing contradictions

Hmm, I’m thinking about how Lean’s acceptance of the statement leads to contradictions. This highlights Lean's reliance on "ex falso quodlibet" to establish truth from falsehood.

Clarifying Lean's logic

I’m explaining that Lean's acceptance of contradictory statements highlights its classical logic approach, where a statement might hold true if there are no z values satisfying the given condition.

Clarifying logical approach

I’m detailing how Lean's method respects conditional proofs, taking advantage of logical principles to conclude with the support of available assumptions, and disregarding trivial solutions.

Thought about Lean 4 error handling，持续 14 秒

Answer

在初学 Lean（或其他同类的定理证明器）时，很多人会产生一个直观的疑惑：

「明明这个定理在数学上是“错误”的（例如从 2z+1=z2z + 1 = z 推出 z=1z = 1），为什么 Lean 接受了这个“证明”，也不报错呢？」

其实，这背后涉及到逻辑语言和自动证明的几个关键点：

1. Lean 验证的到底是什么？

Lean 的内核（kernel）在做的事情是：检查你给出的**“证明脚本（proof term）”是否与声明的“结论”匹配，并确保整个过程在 Lean 的逻辑规则体系内自洽**。如果证明脚本（即一系列 tactic 拼接而成）成功构造出一个合法的证明对象，Lean 就会说“好，这个定理通过了”。

对于「形如 P → Q」的命题，只要 Lean 能通过一系列推理（或 tactic）验证“在假设 P 的条件下可以得出结论 Q”，那它就会接受此定理，不会报错。

2. 「假设不可能成立时，P → Q 恒为真」

我们常在初等逻辑里学过：

P→Q≡¬P∨Q.P \to Q \quad \equiv\quad \neg P \lor Q.

如果 PP 本身是“永假”或者“无解”、永远不可能满足，那么 P→QP \to Q 在逻辑上是真的——这称为“真值表”或“vacuous truth（真空真）”：

  • 「若月亮是绿色奶酪，那么 1=2」
  • 「若 2z+1=z，则 z=1」

只要「2z+1=z2z+1=z」在当前上下文里根本没有可行解，那么这个命题在逻辑上就成立了：因为它从一个“不会发生的前提”推出了任意结论，这在经典逻辑中是允许的（前提永假时，P -> Q 就为真）。

因此，如果 Lean 里并没有限制 zz 为某个可以让 2z+1=z2z+1=z 成立的类型或取值，那么 Lean 只会看到「你给了一个前提 2z+1=z，但是这个前提实际上在这环境下是 false（或不可满足）。那就等价于“false → z=1”，逻辑上这自动为真。」内核不会认为这是什么矛盾，也就“欣然接受”。

3. 从矛盾中可以推出任何东西

进一步说，Lean（以及大部分定理证明系统）都遵循经典逻辑或某种构造逻辑的规则，其中有条著名原则：

ex falso quodlibet（从假可得任意结论）

也就是说，如果某一步推理中我们“假设”了一个矛盾式（如「2z+1=z2z+1=z 在特定上下文里无解」）或直接得到了“False”，那么在那之后，你想要证明“1=2”也好，“z=1”也好，理论上都能推出——因为“从假可得任意结论”。在 Lean 里，如果 tactic 能够看出前提不可满足，就能自动用这个逻辑原则，把你想要的结论强行“证明”出来。

4. 为什么 Lean 不提示“错误定理”？

因为在 Lean 看来，这条定理并不是“自相矛盾”或者“与其余上下文冲突”的东西：它是一条条件命题（→），而前提恰好在当前环境下无法满足，于是它就被判定为真。Lean 的内核只要能 type-check 整个证明，就不会抛出报错。

一个类比是：

  • 如果你在数学课堂上写「若 1=2，则我就是宇宙之王」，数学老师不会说你“写错了”。在经典逻辑里，这句话是“真”的，因为 “1=2” 不成立，所以 false -> anything 成立。

5. 如何让 Lean 报错/识别“确实有解却推错了”？

  • 你需要在 Lean 中明确地设置「zz 的类型」或额外的事实，确保 2z+1=z 在你给定的类型/假设里确实可解、却解不出 z=1。
    例如，你可以尝试在 Lean 里加一条： 
    lean
    variable (z : ℤ)  -- z 是任意整数
theorem my_thm (h : 2*z + 1 = z) : z = 1 := by
  ...
    然后看看 Lean 是否真的能让 omega 或 linarith 完成这个证明。如果 Lean 仍然能完成，那说明 Lean 逻辑上判断这个前提对于整数是不可满足的（但其实对整数来说有解 z=-1 啊？）就会报错或无法完成，因为 Lean 会发现“2*z+1=z ⇒ z=-1”的推导，与 z=1 冲突。这种情况下，Lean 可能自动化战术失败或报错“目标无法证明”，从而无法完成定理。
  • 如果你用的 tactic 足够聪明，它能立即推导出「2z+1=z2z + 1 = z 等价于 z=−1z = -1」，再比对“要证 z=1”显然冲突，就会失败。于是 Lean 就会告诉你，无法完成该定理，也就不会接受它作为“已证事实”。

小结

  • Lean（以及类似 Coq、Isabelle 等定理证明器）默认是在严格的逻辑演算规则下验证你的“证明脚本”。
  • “2z + 1 = z → z = 1”之所以不报错，很大概率是因为：要么 zz 在该环境下根本无解而前提恒为假，要么你用的 tactic（如 omega）直接用“从假可得任意结论”的方式完成了证明。
  • Lean 不会“自动去检查你的结论在通常的实数/整数直觉下是否符合常识”，它只关心“若在该逻辑环境中，前提可被视作假或可导出矛盾，那么从该前提推出什么都可以”。这完全符合经典逻辑。

所以结论就是：

Lean 不会对 “2z+1=z→z=12z+1=z \to z=1” 报错，是因为在它的逻辑规则中，这可能是一个从“假设不可成立”到“任意结论”都可以的 vacuous truth，而非真正的矛盾。

要想让 Lean 确切地告诉你“这确实推不出来”，就要在环境中让该前提确实可成立、并且与结论冲突，这时 Lean 的自动化证明就会失败，从而“报错”或无法完成定理。

Question

Lean中有什么办法判断这种前提是否有错吗？
我不想再遇到这种由于前提是错的，所以导致尽管命题有问题，我也发现不了的情况。

Thought

Taking a closer look

I’m thinking about verifying the premise 2 * z + 1 = z → z = 1 in Lean, especially in the integer domain, and exploring methods like proof by contradiction, rewriting, or using tactics like linarith or ring.

Testing disproval strategies

I’m thinking about using Lean tactics like "refine", "apply", "linarith", "contradiction", or "exfalso" to check if the premise 2 * z + 1 = z has solutions, aiming to identify any contradictions.

Testing consistency

I’m curious about using Lean's "linarith" tactic to check if the premise 2 * z + 1 = z holds true in the natural numbers environment. This might help clarify its validity.

Piecing together details

I'm noting that proving z = 1 doesn't resolve 2 * z + 1 = z suggests a contradiction or absence of solutions, guiding us to further explore conflicting possibilities.

Thought about Lean错误前提检测，持续 9 秒

Answer

在 Lean（乃至绝大部分主流定理证明器）里，“前提是否可行/是否有解”这一点并不会被系统自动“保驾护航”——Lean 内核本身不做可满足性检测，它只负责验证“给定前提之下，你的证明脚本是否能构造出结论”。如果前提在当前环境下不可满足(即“假命题”)，那么根据经典逻辑的“前提永假则 P→QP \to Q 成立”原则，这样的定理就会被 Lean 接受。

然而，在实际数学或形式化工程中，我们常常想尽早发现“前提其实无解”或“与已知条件冲突”之类的问题。下面介绍几种在 Lean 中主动检查前提可满足性的思路与技巧，帮助你及时发现错误定理。

1. 在 Lean 中显式限定变量的类型或范围

很多时候，引起“前提真空”的原因是：我们在 Lean 里写了一个“过于泛型化”的定理声明，比如没有指明 z 是哪种类型。Lean 会把 z 当成一个完全任意的类型中的元素，这可能导致 2*z + 1 = z 在“没有任何额外约束”的世界里是“永假”，从而 → z = 1 就 vacuously true 了。

做法：

  • 在 Lean 4 里，用 variable 或在定理声明中加类型限定。例如让 z : ℤ（整数）、z : ℕ（自然数）等。这样 Lean 的自动化算术工具（如 linarith, omega）就能对该类型上的方程进行真正的化简和求解。

示例：

lean
theorem test_z (z : ℤ) (h : 2*z + 1 = z) : z = 1 := by
  omega   -- or linarith

在整数类型下，2*z + 1 = z 化简后得到 z = -1，跟“z = 1”冲突。此时 Lean 的自动化工具会无法完成这个证明脚本，报出类似“tactic failed to prove the goal”，从而暴露出「前提可满足，但想推 z = 1 是假的」。

2. 利用自动化算术工具检查“前提 + 结论”的一致性

Lean 中常用的线性算术自动化 tactic 有：

  • linarith：适用于线性方程组/不等式等。
  • omega：针对整数/自然数模型下的 Presburger 算术。

如果你想要知道一个假设在 Lean 当前环境下是否矛盾，可以尝试在同一个 proof block 中使用 linarith 或 omega，令其帮你看看能否推出不等式冲突或其他矛盾。

示例：

lean
example (z : ℤ) (h : 2*z + 1 = z) : False := by
  -- 如果 2z+1=z 在 ℤ 下可解且会导致其他冲突，可以试着让 linarith 检查
  linarith
  • 如果 linarith 成功了，说明它推出了矛盾 (False)。
  • 如果 linarith 失败了，它会报“no contradiction found”等，说明前提并不与当前所有假设冲突，或者不够线性可解。

在 z : ℤ 的情况下，其实 2*z + 1 = z 有解 z = -1，是完全一致的，不会直接推出 False。不过如果你接着说“然后证明 z = 1”，就和 z = -1 碰撞了，这才会让自动化工具报错。

3. 明确想要“检查前提本身是否有解”

有时我们并不是要用前提推结论，而是先想知道“这个前提到底有没有解？”。在 Lean 里可以通过**构造一个“辅助定理”**的方式来探路：

  1. 若前提真的有解，那就证明“前提 ⇒ 存在某个具体解”或直接求解。
  2. 若前提无解，那就证明“前提 ⇒ False”。

3.1 前提在整数下有解

lean
example (z : ℤ) (h : 2*z + 1 = z) : z = -1 := by
  linarith
  • 如果 Lean 能完成这个证明，就说明你的前提确实有解，而且必须是 z = -1。
  • 相反，如果这行在 Lean 中“莫名其妙地成功了”，却跟你一开始宣称的 “z=1z=1” 矛盾，说明你的结论写错了。

3.2 前提在自然数下无解

lean
example (z : ℕ) (h : 2*z + 1 = z) : False := by
  linarith
  • 在 ℕ 里，2*z + 1 = z 无解，linarith 可以直接发现 2z + 1 >= 1，与 z 的值不匹配时得到矛盾，从而成功证明 False。
  • 这样，你就能知道“该前提对自然数是个假命题，后续推什么都行，但在数学意义上它并不有意义”。

通过这种做法，你就能显式地**“检验”**某个假设在给定类型下是否自相矛盾。

4. 使用 Lean 的“#check”/“#reduce”/“#eval”等命令做简单代数检验

虽然 #check 常用于查看定义类型，#reduce/#eval 常用于简化表达式，但有时候它们也能帮你做一些小规模的算术检验。比如说如果 z 是个具体数值、或你能在 Lean 里做某些归纳检验，就可以用它们来看看 Lean 对某段表达式的归约结果是否如你所料。

不过对于“2*z + 1 = z 在抽象的 ℤ 或 ℕ 下有没有解”这种问题，这些命令就不如 linarith/omega 来得直观。

5. 小结：如何防止“前提真空”导致的“假命题也被 Lean 接收”？

  1. 给变量加上合适的类型或范围，避免 Lean 默认为它是“随意类型”而导致 vacuous truth。
  2. **使用自动化算术工具（linarith, omega 等）**尝试证明“该前提 ⇒ 矛盾”或“该前提 ⇒ 某具体解”。
  3. 把“我要的结论”也放进同一个 proof block 里交给自动化工具，看它能否一次性完成。如果推导过程中出现冲突，Lean 会报错，你就发现问题了。
  4. 若你只想知道“前提是否可满足”，可以专门写一个小辅助定理来测试：要么试图证明 h : P ⇒ ∃ x, ...，要么证明 h : P ⇒ False。如果 Lean 说“行，能成功证明”，就说明 P 真的不可满足；如果 Lean 说“行，可以给出某具体解”，说明 P 可满足。

通过这些手段，你就可以在 Lean 里主动发现像「2z+1=z2z+1=z 在当前上下文里是否真是“假命题”」的问题，从而避免因为 vacuous truth 而不小心让 Lean 接收了“错误定理”。

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