二次多項式解集分析

Created on: January 13, 2025

Answered using OpenAI 01 by OpenAI01

Question

題目內容如下:

已知實係數二次多項式函數 \( y = f(x) \) 的圖形與 x 軸交於 \( (1, 0) \)、\( (2, 0) \) 兩點;實係數二次多項式函數 \( y = g(x) \) 的圖形與 x 軸交於 \( (2, 0) \)、\( (3, 0) \) 兩點,則下列哪些選項可能為 \( f(x) + g(x) > 0 \) 的解?

選項:
1. \( x > 3 \) 或 \( x < 1 \)
2. \( x \) 為任意實數
3. \( x \neq 2 \)
4. 無解
5. \( \frac{3}{2} < x < 2 \)

Thought

Mapping out the polynomials

I’m analyzing two real-coefficient quadratics, f(x) and g(x), with zeros at specific x values. I'll explore where their combined sum is greater than zero. This involves examining their signs.

Examining interval possibilities

I’m considering if f(x) + g(x) > 0 for x > 3 or x < 1, by setting a positive or negative value for a and b. This approach helps gauge feasible intervals.

Evaluating options

I’m examining a negaitve sign for a or b, finding that f(x) + g(x) = 2(x-2), which is positive for x > 2 and negative for x < 2.

Reevaluating intervals

Taking a closer look, I’m examining combinations of a and b to understand if the solution set shifts to intervals x > 3 or x < 1.

Laying out the options

I’m looking into intervals x > 3 or x < 1, aiming to understand if one quadratic can be > 0 outside [1,3] by examining the parabola's shape and roots.

Piecing together polynomial equations

I’m working through polynomial equations to see if x > 3 or x < 1 can fit roots at 1 and 3, factoring as c(x-1)(x-3).

Breaking down the solution

I’m trying to factor f(x) + g(x) as c(x-1)(x-3). However, a contradiction arises, indicating no solution for c > 0, and x > 3 or x < 1 is not feasible.

Adjusting parameters

I’m tweaking a and b to ensure the polynomial remains > 0. The aim is for a negative discriminant, confirming no real roots and constant positivity.

Calculating the discriminant

I’m testing various a and b combinations to assess if the polynomial remains always positive. By examining the discriminant, it appears as a perfect square with positive results.

Determining the discriminant

I expanded and simplified the discriminant, confirming it as (a-b)^2, implying non-negativity. This indicates the polynomial always has real roots, making it impossible for the polynomial to stay strictly > 0 for all x.

Confirming polynomial properties

I verified that setting a = b leads to a repeated root. This ensures the polynomial is non-negative for all x, with equality at the repeated root, making solution #2 impossible.

Evaluating combinations

I examined a = 1 and b = 1, leading to f(x) + g(x) = 2(x-2)^2, which is non-negative for all x and zero at x = 2. This suggests the solution #3 is viable.

Evaluating feasibility

Considering a = b < 0, the polynomial becomes non-positive. For x > 1.5 and x < 2, the sum can turn positive, potentially fitting solution #5.

Analyzing polynomial behavior

I’m examining a downward-opening parabola with roots at 1.5 and 2. This setup can produce a positive interval between the roots, suggesting potential solution #5.

Mapping polynomial factors

I’m working through polynomial factors to see if a negative constant can meet conditions for solution #5, ensuring positive results between specific limits.

Thought about quadratic functions and solutions 花的時間為 40 秒

Answer

解析思路:

f(x)=a(x1)(x2),g(x)=b(x2)(x3),f(x)=a(x-1)(x-2),\quad g(x)=b(x-2)(x-3),

其中 a,ba,b 為實數常數。那麼

f(x)+g(x)=a(x23x+2)+b(x25x+6)=(a+b)x2+(3a5b)x+(2a+6b).f(x)+g(x) = a\bigl(x^2-3x+2\bigr)+b\bigl(x^2-5x+6\bigr) = (a+b)x^2 + (-3a-5b)\,x + (2a+6b).

1. 先觀察判別式

二次式 (a+b)x2+(3a5b)x+(2a+6b)(a+b)x^2 + (-3a-5b)x + (2a+6b) 的判別式為

Δ=[3a5b]2    4(a+b)(2a+6b).\Delta = \bigl[-3a - 5b\bigr]^2 \;-\; 4\,(a+b)\,(2a+6b).

先將括號展開、整理:

  1. [3a5b]2=9a2+30ab+25b2.\bigl[-3a - 5b\bigr]^2 = 9a^2 + 30ab + 25b^2.
  2. (a+b)(2a+6b)=2a2+8ab+6b2.(a+b)(2a+6b) = 2a^2 + 8ab + 6b^2.
    再乘上 4 得 4(2a2+8ab+6b2)=8a2+32ab+24b2.4\,(2a^2 + 8ab + 6b^2) = 8a^2 + 32ab + 24b^2.

因此

Δ=(9a2+30ab+25b2)(8a2+32ab+24b2)=a22ab+b2=(ab)2  0.\Delta = (9a^2 + 30ab + 25b^2) - (8a^2 + 32ab + 24b^2) = a^2 - 2ab + b^2 = (\,a - b\,)^2 \;\ge 0.

結論

f(x)+g(x)f(x) + g(x) 這個二次式的判別式永遠是 (ab)2(a-b)^2,因此它要嘛有兩個實根、要嘛是一對重根 (當 a=ba=b 時)。
這也意味著,不可能 出現「對所有實數 xx 都大於 0」(即整個拋物線完全在 xx-軸上方且無交點) 的情形。


2. 檢驗各選項可否「成為」 f(x)+g(x)>0f(x)+g(x)>0 的解集

題目列出的候選解集有:

  1. x>3x>3x<1x<1
  2. xx 為任意實數。
  3. x2x \neq 2
  4. 無解。
  5. 32<x<2\tfrac{3}{2}<x<2

我們要判斷:對某些 a,ba,b 的選取,有沒有可能 使得 f(x)+g(x)>0f(x)+g(x) > 0 的解正好是這些集合之一。


(A) 選項 2:「xx 為任意實數」是否可能?

若要對所有實數 xx 都有 f(x)+g(x)>0f(x)+g(x) > 0,那代表整條拋物線「永遠在 xx-軸之上且無交點」。
然而上面判別式分析已知 Δ=(ab)20\Delta = (a-b)^2 \ge 0,所以二次式一定有實根(單、雙根都算)。

  • Δ>0\Delta>0,有兩 distinct 實根,拋物線一定會有一段在 xx-軸下方。
  • Δ=0\Delta=0,只有一個重根,頂多做到「0\ge0 for all xx」,而在重根處等於 0,並沒有「嚴格大於 0」。

因此不可能「對所有 xx 都嚴格大於 0」;選項 2 不可能


(B) 選項 3:「(x \neq 2\」是否可能?

如果希望 f(x)+g(x)f(x)+g(x) 只有在 x=2x=2 時等於 0、其他時候都 > 0,表示整個拋物線只有一個重根,而且開口向上。

  1. 一個重根在 x=2x=2
  2. 開口向上     a+b>0\implies a+b>0
  3. 並且在該重根處 f(x)+g(x)=0f(x)+g(x)=0

讓我們嘗試最簡單情形:令 a=b=1a=b=1,則

f(x)=(x1)(x2),g(x)=(x2)(x3).f(x)= (x-1)(x-2),\quad g(x)= (x-2)(x-3).

f(x)+g(x)=(x23x+2)  +  (x25x+6)=2x28x+8=2(x2)2.f(x)+g(x) = (x^2-3x+2)\;+\;(x^2-5x+6) = 2x^2 -8x + 8 = 2\,(x-2)^2.

這個拋物線正好只在 x=2x=2 時碰到 0,其他 xx 值均為正。
因此其解集為 x2x \neq 2

證實選項 3 可以實現。


(C) 選項 4:「無解」是否可能?

「無解」表示 f(x)+g(x)>0f(x)+g(x) > 0 根本沒有任何解,也就是對所有 xx 都「\le 0) 或至少「從不大於 0」。

要做到「整條拋物線永遠在 xx-軸之下或剛好壓在上面」,需要

  1. 開口向下 (即 a+b<0a+b < 0),
  2. 且判別式 Δ0\Delta \le 0 讓它不「抬頭」穿過 xx-軸。

我們已知 Δ=(ab)2\Delta=(a-b)^2。若要 Δ=0\Delta=0a=ba=b

  • 再加上 a+b<0a+b<0,可令 a=b<0a=b<0

舉例:

a=b=1f(x)+g(x)=1(x1)(x2)  +  1(x2)(x3).a=b=-1\quad\Longrightarrow\quad f(x)+g(x) = -1\,(x-1)(x-2)\;+\; -1\,(x-2)(x-3).

先分別展開:

f(x)=(x23x+2)=x2+3x2,f(x) = -(x^2-3x+2)= -x^2 +3x -2, g(x)=(x25x+6)=x2+5x6.g(x) = -(x^2 -5x+6)= -x^2 +5x -6.

相加得到

f(x)+g(x)=2x2+8x8  =  2(x24x+4)=2(x2)2.f(x)+g(x) = -2x^2 +8x -8 \;=\; -2\,\bigl(x^2 -4x +4\bigr) = -2\,(x-2)^2.

整條拋物線開口向下,且最大值在 x=2x=2 處為 0,其它地方更小,因此

f(x)+g(x)    0,f(x) + g(x) \;\le\; 0,

「嚴格大於 0」的解不存在

證實選項 4 可以實現。


(D) 選項 1:「x>3x>3x<1x<1」是否可能?

要讓「解集是 x<1x<1x>3x>3」表示拋物線在區間 (1,3)(1,3) 之間整段 < 0、而在外面 > 0。
換言之,該二次式若開口向上,則它的兩個交點應該是 x=1x=1x=3x=3,使得外側呈現 > 0、內側 < 0。

我們想看看:能否令

f(x)+g(x)  =  c(x1)(x3),且 c>0?f(x) + g(x)\;=\; c\,(x-1)(x-3), \quad \text{且 } c>0\,?

若可以,就會得到解集 x<1x<1x>3x>3

但是透過「把 f(x)+g(x)f(x)+g(x)c(x1)(x3)c\,(x-1)(x-3) 比較係數」去解聯立方程,最終會發現無法同時滿足(會導致參數矛盾)。實際計算可見:

  • 若令 f(x)+g(x)=(a+b)x2+(3a5b)x+(2a+6b)f(x)+g(x) = (a+b)x^2 + (-3a-5b)x + (2a+6b),想要它正好等於 c(x24x+3)c(x^2 -4x +3),需滿足: a+b=c,3a5b=4c,2a+6b=3c.a+b=c,\quad -3a-5b = -4c,\quad 2a+6b = 3c. 解此系統會出現衝突(最終會逼出 c=0c=0),代表無法同時滿足。

因此,選項 1 不可能 透過某對 a,ba,b 來實現。


(E) 選項 5:「32<x<2\tfrac{3}{2}<x<2」是否可能?

想要解集是「在 32\tfrac{3}{2}22 之間」才 > 0,代表

  • 這條拋物線應該開口向下(才能在兩根之間為正、外側為負),
  • 且兩個交點正好是 x=32x=\frac{3}{2}x=2x=2

也就是

f(x)+g(x)=c(x32)(x2),c<0.f(x)+g(x) = c\,(x - \tfrac{3}{2})(x - 2), \quad c<0.

展開得

(x32)(x2)=x272x+3,(x - \tfrac{3}{2})(x - 2) = x^2 - \tfrac{7}{2}x + 3,

所以

f(x)+g(x)=c(x23.5x+3),f(x)+g(x) = c\,\bigl(x^2 -3.5\,x +3\bigr),

並比較係數:(設 α=a+b,  β=3a5b,  γ=2a+6b\alpha=a+b,\;\beta=-3a-5b,\;\gamma=2a+6b)

α=c,β=3.5c,γ=3c.\alpha = c,\quad \beta = -3.5\,c,\quad \gamma = 3c.

去解

a+b=c,3a5b=3.5c,2a+6b=3c,a+b = c,\quad -3a -5b = -3.5\,c,\quad 2a +6b = 3c,

只要能在 c<0c<0 下找到實數 a,ba,b 即可。實際運算確可解出一整組參數(不會矛盾)。例如選 c=4c=-4,就能求出 a=3,b=1a=-3,\,b=-1(或其他對應解),最後得到拋物線的根果然是 32,2\frac{3}{2},\,2,開口向下,區間 32<x<2\frac{3}{2}<x<2 為正。

證實選項 5 可以實現。


3. 總結

  • 選項 1 (x>3x>3x<1x<1):不可能。
  • 選項 2 (xx 為任意實數):不可能。
  • 選項 3 (x2x \neq 2):可以。
  • 選項 4 (無解):可以。
  • 選項 5 (32<x<2\tfrac{3}{2}<x<2):可以。

答案:3、4、5

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