Число с наибольшими двоими

Created on: January 11, 2025

Question

Знаком «?» будем обозначать одну любую цифру от 0 до B (числа рассматриваем в двенадцатеричной записи).

Найдите среди всех чисел, которые подходят под шаблон 6??9???12 и у которых все цифры в записи различные, такое число, которое при разложении на простые числа имеет наибольше количество двоек в разложении. Если таких чисел несколько, напишите в ответ наибольшее. В ответ впишите число в десятеричной системе счисления

Thought

Deciphering a numeric puzzle

OK, let's break this down: the problem involves 12-based numbers, and the pattern is a combination of digits 0-9 and A-B. The question marks represent unknown digits.

Clarifying details

I’m re-evaluating the interpretation of "6??9???12" in base 12, considering the possibility of separate digits 1 and 2. This suggests a 9-digit number.

Identifying the pattern

I'm focusing on 9-digit base-12 numbers like "6??9???12," ensuring each digit is unique, and aiming to find the one with the most 2's in its prime factorization.

Ensuring digit uniqueness

I’m verifying each digit in the 9-digit base-12 number is distinct, excluding 6, 9, 1, and 2. The remaining digits must be unique and excluded from the set.

Mapping out possibilities

Avoiding digits 6, 9, 1, and 2, I identify 8 unique digits (0, 3, 4, 5, 7, 8, A, B) for the '?' slots. This ensures digit uniqueness.

Counting permutations

I’m calculating to find the number of permutations for the 5 unknown digits, each from a pool of 8 unique options, resulting in 6720 permutations.

Evaluating factors of 2

I'm working through maximizing the power of 2 in the base-12 number by checking its last digit. A last digit of 2 ensures a minimum of one factor of 2.

Breaking down the formula

I’m assembling the number in base 12 into a formula, calculating the 2-adic valuation using powers of 2. This approach leverages the structure of base 12.

Breaking down the problem

I'm thinking about each term in the base-12 number, calculating their 2-adic valuations. The smallest valuation will determine the maximum power of 2 that divides the entire number.

Mapping out v2 values

I’m calculating each term's 2-adic valuation, focusing on the smallest valuations to find the term with the smallest possible valuation that divides the entire number. Progress is steady and intriguing.

Mapping out digit impact

Calculating 2-adic valuations for possible digit values, focusing on smallest valuations. For example, x=3 yields a v2 of 14, while x=4 gives a v2 of 16.

Calculating and combining

I’m working through each term's 2-adic valuations, focusing on the smallest values. Adding these valuations, the sum's smallest valuation determines v2(N).

Balancing the equation

I'm balancing terms with high powers of 2 to determine if their sum is divisible by 2^17, aiming for the smallest possible valuation. This approach simplifies the calculation.

Piecing together the solution

To achieve v2(N) >= 17, every term must have a v2 of at least 17, or the sum of terms with lower v2 must be a multiple of 2^17.

Weighing options

Choosing large powers of 2 like '4' or '8' is tricky due to digit constraints. Deciding on '0' to keep terms zero is also an interesting idea to consider.

Mapping out digit choices

OK, let me see. I'm analyzing digit combinations to achieve a 2-adic valuation of 17, ensuring constraints are met. For example, starting with 6 already gives v2=17.

Assessing validity

I'm checking if the sum of specific terms is divisible by 2^17. The current calculations show this isn't achievable within the constraints.

Evaluating the sum

I’m thinking through the valuation of terms #3 to #9. Based on their 2-adic valuations, I assume their sum isn't divisible by 2^17, which might lower the overall valuation.

Assessing the influence

OK, let me see. I’m examining terms #3 through #9 to see if their sum is divisible by 2^k, with a maximum achievable valuation of 15 if y=8.

Breaking down the factors

I’m calculating the 2-adic valuations of terms #4, #8, and #9, finding v2(2239502)=1. I also determine the V2 of the term with y=8, concluding the calculations.

Charting the 2-adic valuation

OK, I’ve calculated the sum of #3, #4, #8, and #9, arriving at v2=10. Adding #5, #6, and #7 may lower this further.

Mapping out the sum

I'm thinking the overall 2-adic valuation might settle at 1 or 2, given the sum of #8 and #9 equals 14. Alternatively, more careful alignment could increase it to 2.

Assessing modulo effects

I’m analyzing how the base-12 number's digits affect the highest power of 2 in the result by focusing on modulo 16. This approach simplifies the calculations.

Assessing digit impacts

I’m realizing that for terms #1 to #7, the modulo 16 results are zeroes. With #8 and #9 contributing 14, the highest power of 2 is 1.

Pinpointing the outcome

I'm realizing that regardless of the '?' digits, the 2-adic valuation consistently stays at 1. This turns out to be a tricky aspect of the problem.

Choosing the best fit

I'm mapping out the largest possible base-12 number with distinct digits. Restricting choices to 0-3, 5, 7, 8, A, B, the aim is to find the optimal combination.

Finalizing the sequence

I’m selecting the largest distinct digits for the base-12 number from left to right: B=11, A=10, 8, 7, and 5. This ensures the number remains as large as possible.

Once again, calculating

I’m working through each digit's value in the base-12 number to determine its decimal equivalent, ensuring all terms are accurate and distinct.

Pulling together the sum

Aligning each term value carefully, I’m summing the distinct numbers to determine the final decimal equivalent, ensuring everything is done meticulously and accurately. This method keeps the process clear and precise.

Piecing together

I’m cross-checking the terms and carefully adding them up. The final decimal sum is a result of meticulous calculations, ensuring no detail is overlooked.

Thought about числах в двенадцатеричной системе cho 1m 34s

Answer

Разберём задачу по шагам.

1. Разбор формата числа

Все числа даны в двенадцатеричной системе счисления (base 12). Цифры в base 12 – это:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (десять в десятичной), B (одиннадцать в десятичной).

Дано шаблонное (масочное) число:

6 ?? 9 ??? 1 2

Где каждое «?» – это одна любая разрешённая в base 12 цифра, причём во всём числе все цифры должны быть различны.

Важно: последний «12» в записи – это две отдельные цифры 1 и 2 (а не «двенадцать» как одно целое).

Таким образом, всего цифр девять:

Причём цифры 6, 9, 1, 2 уже заняты, а пять символов «?» нужно заполнить другими различными цифрами, не совпадающими с уже имеющимися.

2. Требование к простому разложению (максимум двоек)

Задача говорит: среди всех подходящих (по маске и «различности» цифр) чисел выбрать то, у которого в разложении на простые множители (уже в десятичном виде) показатель степени простого числа 2 (то есть $v_2$ от числа) будет наибольшим. Если таких несколько, надо взять наибольшее в десятичной системе и вывести именно это десятичное число.

Проверка на степень двойки (наблюдение)

Оказывается (и это ключевой «трюк» задачи), что какое бы сочетание цифр мы ни подставляли в «?», последняя пара цифр 12 в base 12 делает всё число при переводе в десятичную систему оканчивающимся на 2 в модуле 4, а точнее:

В двенадцатеричной системе $12 \equiv 0 \pmod{4}$ , следовательно все старшие разряды (начиная с $12^2$ ) дают вклад, кратный 4.
Остаются лишь последние два разряда в base 12:
$\dots + 1 \times 12^1 + 2 \times 12^0$ .
Но $12^1 \equiv 0 \pmod{4}$ и $12^0 = 1$ .
Значит сумма последних двух разрядов по модулю 4 есть
$1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \;=\; 2 \pmod{4}.$

Иными словами, вне зависимости от того, что мы подставим вместо «?», число в десятичной системе даёт остаток 2 по модулю 4, то есть оно делится на 2 (чётное), но не делится на 4.

Следовательно, для любого подходящего числа $v_2(\text{число}) = 1$ . То есть все кандидаты имеют в точности одну двойку в факторизации (одну степень 2).

Вывод: по количеству двоек в разложении все «допустимые» числа одинаковы (каждое имеет ровно одну 2). Значит надо просто выбрать максимальное число (в десятичном смысле) из всех, которые удовлетворяют шаблону и условию «все цифры различны».

3. Поиск самого большого подходящего числа в base 12

Шаблон в base 12:

6 ? ? 9 ? ? ? 1 2

Запрещено повторять уже зафиксированные: 6, 9, 1, 2.

Оставшиеся свободные пять «?» мы хотим сделать как можно больше (идя слева направо), используя при этом самые крупные из доступных цифр $\{0,3,4,5,7,8,A,B\}$ , где

$A = 10_{(10)}$ ,
$B = 11_{(10)}$ .

Слева направо максимизация даёт:

Первая «?» (вторая цифра числа) = B (11)
Вторая «?» (третья цифра) = A (10)
Третья «?» (пятая цифра) = 8
Четвёртая «?» (шестая цифра) = 7
Пятая «?» (седьмая цифра) = 5

(Цифры 0, 3, 4 остались неиспользованными, но они меньше 5–7–8–A–B.)

Таким образом, самое большое число в двенадцатеричной записи есть:

6  B  A  9  8  7  5  1  2

где

$B = 11$ ,
$A = 10$ .

4. Перевод этого числа из base 12 в десятичную

Позиции (считаем слева направо, начиная с старшей степени):

\underbrace{6}_{12^8} \quad \underbrace{B=11}_{12^7} \quad \underbrace{A=10}_{12^6} \quad \underbrace{9}_{12^5} \quad \underbrace{8}_{12^4} \quad \underbrace{7}_{12^3} \quad \underbrace{5}_{12^2} \quad \underbrace{1}_{12^1} \quad \underbrace{2}_{12^0}

Обозначим это число за $N$ . Тогда

N = 6 \times 12^8 + 11 \times 12^7 + 10 \times 12^6 + 9 \times 12^5 + 8 \times 12^4 + 7 \times 12^3 + 5 \times 12^2 + 1 \times 12^1 + 2 \times 12^0.

Чтобы перевести, выпишем степени 12:

$12^0 = 1$
$12^1 = 12$
$12^2 = 144$
$12^3 = 1728$
$12^4 = 20736$
$12^5 = 248832$
$12^6 = 2985984$
$12^7 = 35831808$
$12^8 = 429981696$

Теперь умножаем и складываем:

$6 \times 12^8 = 6 \times 429981696 = 2579890176.$
$11 \times 12^7 = 11 \times 35831808 = 394149888.$
Сумма после 2‑го шага: $2579890176 + 394149888 = 2974040064$ (проверим аккуратно, получается $2{,}974{,}040{,}064$ ).
$10 \times 12^6 = 10 \times 2985984 = 29859840.$
Сумма: $2974040064 + 29859840 = 3003899904.$
$9 \times 12^5 = 9 \times 248832 = 2239488.$
Сумма: $3003899904 + 2239488 = 3006139392.$
$8 \times 12^4 = 8 \times 20736 = 165888.$
Сумма: $3006139392 + 165888 = 3006305280.$
$7 \times 12^3 = 7 \times 1728 = 12096.$
Сумма: $3006305280 + 12096 = 3006317376.$
$5 \times 12^2 = 5 \times 144 = 720.$
Сумма: $3006317376 + 720 = 3006318096.$
$1 \times 12^1 = 12.$
Сумма: $3006318096 + 12 = 3006318108.$
$2 \times 12^0 = 2.$
Итоговая сумма: $3006318110.$

Итак, искомое максимальное десятичное значение:

\boxed{3006318110}.

5. Ответ на задачу

Все числа по шаблону имеют ровно одну двойку в своём простом разложении ( $v_2(N)=1$ ).
Следовательно, выбираем наибольшее из допустимых.
В двенадцатеричной системе это $6\,B\,A\,9\,8\,7\,5\,1\,2$ .
При переводе в десятичную систему оно равно $3006318110$ .

Ответ (в десятеричной системе):

3006318110