Мощность алфавита серийного номера

Анализ задачи

1. Условия хранения серийного номера

   • Серийный номер состоит из $34$ символов.
   • Все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит ($x$ бит на символ).
   • При этом общее количество бит на серийный номер $\,34 \cdot x\,$ должно укладываться в целое число байт. То есть $$\frac{34 \cdot x}{8} \;=\;\text{целое число}.$$

2. Условия хранения дополнительных сведений

   • На дополнительные сведения о каждом изделии отводится $28$ байт.

3. Общее ограничение по памяти

   • На хранение данных о $2000$ изделиях выделено не более $124$ Кбайт, то есть $\,124 \times 1024 = 126\,976\,$ байт.

4. Подсчёт памяти на одно изделие

   • Память для серийного номера: $\dfrac{34 \cdot x}{8}$ байт (обозначим это как $M$).
   • Память для доп. сведений: $28$ байт.
   • Итого на одно изделие: $$M + 28 \;=\; \frac{34 \cdot x}{8} + 28.$$

5. Подсчёт памяти на $2000$ изделий

   $$2000 \times \bigl(M + 28\bigr) \;=\; 2000 \times \left(\frac{34 \cdot x}{8} + 28\right) \;\le\; 126\,976.$$

6. Нахождение целых решений
   Обозначим $M = \dfrac{34 \cdot x}{8}$. Тогда

   $$2000 \cdot (M + 28) \;\le\; 126\,976 \quad\Longrightarrow\quad 2000 \,M + 2000 \cdot 28 \;\le\; 126\,976 \quad\Longrightarrow\quad 2000 \,M \;\le\; 126\,976 - 56\,000 \;=\; 70\,976.$$ $$M \;\le\; \frac{70\,976}{2000} \;=\; 35.488.$$

   Поскольку $M$ (число байт на серийный номер) должно быть целым, получаем $M \le 35$.

   Далее учитываем, что $M = \frac{34 \cdot x}{8}$ должно быть целым. Значит:

   $$\frac{34 \cdot x}{8} \;\le\; 35 \quad\Longrightarrow\quad 34 \cdot x \;\le\; 280 \quad\Longrightarrow\quad x \;\le\; \frac{280}{34} \;\approx\; 8.235.$$

   Поскольку $x$ — это целое число (число бит на символ), вытекает $x \le 8$.

7. Проверка, что при $x=8$ укладываемся в память

   • Если $x = 8$, то $$M = \frac{34 \cdot 8}{8} = 34 \;\text{(байта на серийный номер)},$$ $$M + 28 = 34 + 28 = 62 \;\text{(байта на одно изделие)},$$ $$2000 \times 62 = 124\,000 \;\text{байт} \;\le\; 126\,976.$$

   Всё корректно.

8. Почему не подходит $x=9$?

   • Если $x = 9$, то байт потребуется: $$\frac{34 \cdot 9}{8} = \frac{306}{8} = 38.25.$$ Поскольку число байт не может быть дробным, фактически надо округлить вверх до $39$ байт.
     Тогда на одно изделие уйдёт $39 + 28 = 67$ байт,
     а на $2000$ изделий: $67 \times 2000 = 134\,000$ байт, что превышает 126,976 байт.

Таким образом, максимальное значение $x$ (бит на символ), при котором суммарно данные о 2000 изделиях не выходят за $124$ Кбайт, равно $8$.

Мощность алфавита при $x=8$ бит на символ — это $\,2^8 = 256$.

Ответ

Максимально возможная мощность алфавита равна 256.

Чтобы найти максимально возможную длину маски (число единичных бит в сети), при которой адрес 137.219.220.63 не будет широковещательным (broadcast), рассмотрим, как формируется broadcast-адрес для разных масок.

Краткая теория

• IPv4-адрес состоит из 32 бит.
• Маска подсети (префикс) указывает, сколько бит в начале адреса относятся к сети, а сколько — к части хоста.
  • Например, запись «/25» означает, что 25 бит отводится под сеть и $32 - 25 = 7$ бит — под узлы в этой сети.
• Широковещательный (broadcast) адрес в каждой подсети — это адрес, у которого все биты хостовой части равны 1.

Проверка, когда 137.219.220.63 становится broadcast

Проверим подсети с разными масками:

1. /24 (255.255.255.0)

   • Сеть: 137.219.220.0
   • Хостовая часть: 8 бит (последний октет)
   • Broadcast: 137.219.220.255
   • Явно не 137.219.220.63, значит с маской /24 адрес .63 — обычный хост.

2. /25 (255.255.255.128)

   • Сеть: 137.219.220.0
   • Хостовая часть: 7 бит
   • Broadcast: 137.219.220.127
   • Адрес 137.219.220.63 — это середина диапазона (0...127), значит он тоже не является broadcast.

3. /26 (255.255.255.192)

   • Сети дробятся на диапазоны по 64 адреса:
     • 137.219.220.0 – 137.219.220.63 (broadcast = .63)
     • 137.219.220.64 – 137.219.220.127 (broadcast = .127)
     • и т.д.
   • Здесь в первом диапазоне широковещательный адрес — это .63. Значит, если наш адрес находится именно в сети, начинающейся с .0, он $.63$ становится broadcast.

   Поскольку нам сказано, что 137.219.220.63 не является broadcast, значит такая маска (/26) не подходит — у неё в первой подсети .63 есть именно broadcast.

4. Аналогично при ещё более «дробных» масках (/27, /28, /29, /30, /31, /32) интервал для хостов становится ещё меньше, и адрес .63 почти всегда оказывается последним в соответствующем диапазоне, то есть является broadcast.

Таким образом:

• С маской /25 адрес .63 не является broadcast (broadcast там .127).
• С маской /26 и уже «уже» (больше число бит сети) — .63 становится broadcast.

Значит максимальное количество единиц в маске (то есть максимально возможный префикс), при котором 137.219.220.63 остаётся хост-адресом, равно 25.

Ответ

Максимальное число единиц в маске — 25.