a^9 + b^9 計算

Question

\text{令正實數 } a \text{ 與 } b \text{ 滿足 } \frac{a}{a+b^2} + \frac{b}{b+a^2} = \frac{7}{8} \text{ 且 } ab = 2，請問 } a^9 + b^9 \text{ 的值是什麼？}

解决数学问题

问题涉及两个正实数a和b，满足ab=2和a / (a + b^2) + b / (b + a^2) = 7/8。探讨a等于b时的情况，发现a和b分别为√2。

检验假设

当a等于b等于√2时，计算a / (a + b^2) + b / (b + a^2)，结果约为0.828，远小于7/8。说明a不等于b。

整理与归纳

我在写a / (a + b^2) = 1 / (1 + b^2 /a)和b / (b + a^2) = 1 / (1 + a^2 /b)时，使用共同分母，简化分子和分母，得到a^3 + b^3的表达式。

跨乘方程

通过交叉乘法我发现a^3 + b^3等于10。接下来，我将其转化为s^3 - 6s - 10 = 0，以求解a + b。

寻找有意义的根

我在计算s^3 - 6s - 10 = 0时，发现没有合适的有理根，可能是无理根。等式可以通过递推关系求解a^9 + b^9。

寻找递推关系

通过已知信息，尝试理解a^9 + b^9的递推关系，但尚不清楚a和b的精确值。如果找到s的值，可能会有更清晰的答案。

思考花的時間為 8 秒

要解這個問題，我們需要找出滿足以下條件的正實數 $a$ 和 $b$ ：

\frac{a}{a + b^2} + \frac{b}{b + a^2} = \frac{7}{8} \quad \text{且} \quad ab = 2

步驟 1：轉換方程式

首先，我們將原始方程式整理如下：

\frac{a}{a + b^2} + \frac{b}{b + a^2} = \frac{7}{8}

找到共同分母：

\frac{a(b + a^2) + b(a + b^2)}{(a + b^2)(b + a^2)} = \frac{7}{8}

展開分子和分母：

\frac{ab + a^3 + ab + b^3}{ab + a^3 + b^3 + a^2 b^2} = \frac{7}{8}

由於 $ab = 2$ ，代入後得到：

\frac{4 + a^3 + b^3}{6 + a^3 + b^3} = \frac{7}{8}

交叉相乘並整理：

32 + 8(a^3 + b^3) = 42 + 7(a^3 + b^3) \\ \Rightarrow a^3 + b^3 = 10

步驟 2：計算 $a^9 + b^9$

設 $x = a^3$ 和 $y = b^3$ ，則有：

x + y = 10 \\ xy = (ab)^3 = 8

我們需要計算 $x^3 + y^3$ ：

x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = 10^3 - 3 \times 8 \times 10 = 1000 - 240 = 760

因此：

a^9 + b^9 = x^3 + y^3 = 760

答案：

760