Шифрование и дешифрование

Для шифрования текста "ИТ" с использованием аффинного шифра и последующего дешифрования выполним следующие шаги.

Шаг 1: Определение числовых значений букв

Предположим, что мы используем стандартный русский алфавит из 33 букв, где каждая буква соответствует числу от 0 до 32:

text
0: А, 1: Б, 2: В, 3: Г, 4: Д, 5: Е, 6: Ё, 7: Ж, 8: З, 9: И,
10: Й, 11: К, 12: Л, 13: М, 14: Н, 15: О, 16: П, 17: Р, 18: С,
19: Т, 20: У, 21: Ф, 22: Х, 23: Ц, 24: Ч, 25: Ш, 26: Щ, 27: Ъ,
28: Ы, 29: Ь, 30: Э, 31: Ю, 32: Я

Таким образом:

• И соответствует числу 9
• Т соответствует числу 19

Шаг 2: Шифрование текста "ИТ"

Используем формулу шифрования аффинным шифром: $y = (a \cdot x + b) \mod 33$ где:

• $a = 8$
• $b = 9$

Шифрование буквы "И" ($x = 9$):

$$y = (8 \cdot 9 + 9) \mod 33 = (72 + 9) \mod 33 = 81 \mod 33 = 15$$

Число 15 соответствует букве О.

Шифрование буквы "Т" ($x = 19$):

$$y = (8 \cdot 19 + 9) \mod 33 = (152 + 9) \mod 33 = 161 \mod 33 = 29$$

Число 29 соответствует букве Ь.

Таким образом, зашифрованный текст "ИТ" превращается в "ОЬ".

Шаг 3: Вычисление обратного элемента $a^{-1}$ для $a = 8$ по модулю 33

Для дешифрования нам необходим обратный элемент $a^{-1}$, такой что:

$$8 \cdot a^{-1} \equiv 1 \mod 33$$

Используем расширенный алгоритм Евклида для нахождения $a^{-1}$:

1. Разложение на шаги:

   $$33 = 4 \cdot 8 + 1$$ $$8 = 8 \cdot 1 + 0$$

   Таким образом, НОД(8, 33) = 1.

2. Обратный элемент находится как:

   $$1 = 33 - 4 \cdot 8$$

   Следовательно:

   $$a^{-1} \equiv -4 \mod 33 \equiv 29 \mod 33$$

Проверка:

$$8 \cdot 29 = 232 \mod 33 = 1$$

Таким образом, $a^{-1} = 29$.

Шаг 4: Дешифрование зашифрованного текста "ОЬ"

Используем формулу дешифрования:

$$D = a^{-1} \cdot (y - b) \mod 33$$

где:

• $a^{-1} = 29$
• $b = 9$

Дешифрование буквы "О" ($y = 15$):

$$D = 29 \cdot (15 - 9) \mod 33 = 29 \cdot 6 \mod 33 = 174 \mod 33 = 9$$

Число 9 соответствует букве И.

Дешифрование буквы "Ь" ($y = 29$):

$$D = 29 \cdot (29 - 9) \mod 33 = 29 \cdot 20 \mod 33 = 580 \mod 33 = 19$$

Число 19 соответствует букве Т.

Таким образом, расшифрованный текст "ОЬ" возвращается к исходному "ИТ".

Шаг 5: Вычисление обратного элемента $a^{-1}$ для $a = 5$ по модулю 33

Для примера, найдем обратный элемент $a^{-1}$ для $a = 5$:

$$5 \cdot a^{-1} \equiv 1 \mod 33$$

Используем расширенный алгоритм Евклида:

1. Разложение:

   $$33 = 6 \cdot 5 + 3$$ $$5 = 1 \cdot 3 + 2$$ $$3 = 1 \cdot 2 + 1$$ $$2 = 2 \cdot 1 + 0$$

   Таким образом, НОД(5, 33) = 1.

2. Обратный элемент:

   $$1 = 3 - 1 \cdot 2$$ $$= 3 - 1 \cdot (5 - 1 \cdot 3)$$ $$= 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5$$ $$= 2 \cdot (33 - 6 \cdot 5) - 1 \cdot 5$$ $$= 2 \cdot 33 - 13 \cdot 5$$

   Таким образом:

   $$1 \equiv -13 \cdot 5 \mod 33$$ $$a^{-1} \equiv -13 \mod 33 \equiv 20 \mod 33$$

Проверка:

$$5 \cdot 20 = 100 \mod 33 = 1$$

Таким образом, $a^{-1} = 20$.

Вывод

• Зашифрованный текст "ИТ" с использованием аффинного шифра ($a = 8$, $b = 9$) получается "ОЬ".
• Для дешифрования необходимо использовать обратный элемент $a^{-1} = 29$.
• Дополнительно, обратный элемент для $a = 5$ по модулю 33 равен 20.