伽罗瓦群计算解析

解答：

1. $x^3 - x - 1$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ 上的群

首先，计算多项式的判别式。对于三次多项式 $x^3 + ax^2 + bx + c$，判别式为 $D = -4a^3c + a^2b^2 - 4b^3 - 27c^2 + 18abc$。

对于 $x^3 - x - 1$，系数为 $a = 0$，$b = -1$，$c = -1$，则判别式为：

$$D = -4(0)^3(-1) + (0)^2(-1)^2 - 4(-1)^3 - 27(-1)^2 + 18(0)(-1)(-1) = -23$$

因此，判别式在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ 中是平方数，意味着伽罗瓦群是 $A_3$ 的子群。由于多项式在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，所以在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ 上，其伽罗瓦群是 3 阶的循环群 $C_3$。

答：伽罗瓦群是 3 阶循环群 $C_3$。

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2. 设 $K/\mathbb{Q}$ 为二次扩张，求 $x^3 - 3x -1$ 在 $K$ 上的群

首先，计算判别式：

$$D = -4(0)^3(-1) + (0)^2(-3)^2 - 4(-3)^3 - 27(-1)^2 + 18(0)(-3)(-1) = 81$$

判别式为 $81 = 9^2$，是有理数的平方，因此在 $\mathbb{Q}$ 上伽罗瓦群是 $A_3$ 的子群，即 3 阶循环群。由于 $K$ 是二次扩张，且判别式在 $K$ 中仍为平方数，故在 $K$ 上伽罗瓦群仍为 3 阶循环群。

答：伽罗瓦群是 3 阶循环群 $C_3$。

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3. $x^4 - 2$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ 上的群

多项式 $x^4 - 2$ 的根为 $\sqrt[4]{2}$，$i\sqrt[4]{2}$，$-\sqrt[4]{2}$，$-i\sqrt[4]{2}$。在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ 上，我们已经有 $i$，因此只需加入 $\sqrt{2}$。扩张度为 2，所以伽罗瓦群为 2 阶循环群。

答：伽罗瓦群是 2 阶循环群 $C_2$。

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4. $x^4 - 4x + 5$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 上的群

尝试将多项式在 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 上分解为二次因式：

设 $x^4 - 4x + 5 = (x^2 + a x + b)(x^2 - a x + c)$

展开并比较系数，可求得 $a$，$b$，$c$ 满足的方程组。经过计算，可发现多项式在 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 上可以分解为二次因式，因此其分裂域在 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 上是二次扩张，伽罗瓦群为 2 阶循环群或 4 阶阿贝尔群。考虑到多项式的对称性，伽罗瓦群是 4 阶的克莱因四元组 $V_4$。

答：伽罗瓦群是 4 阶阿贝尔群，具体为克莱因四元组 $V_4$。

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5. $x^4 - 8x + 12$ 在 $\mathbb{Q}$ 的任意二次扩张上的群

首先，在 $\mathbb{Q}$ 上，此多项式不可分解。设 $K$ 为 $\mathbb{Q}$ 的二次扩张，在 $K$ 上，多项式可能分解为两个二次因式，因此其分裂域在 $K$ 上为二次扩张，对应的伽罗瓦群为 2 阶循环群。

答：伽罗瓦群是 2 阶循环群 $C_2$。

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综上，对于给定的多项式和域，计算得到的伽罗瓦群分别为：

1. 3 阶循环群 $C_3$；
2. 3 阶循环群 $C_3$；
3. 2 阶循环群 $C_2$；
4. 4 阶克莱因四元组 $V_4$；
5. 2 阶循环群 $C_2$。

因此，答案是：

1. 伽罗瓦群是 3 阶循环群 $C_3$。
2. 伽罗瓦群是 3 阶循环群 $C_3$。
3. 伽罗瓦群是 2 阶循环群 $C_2$。
4. 伽罗瓦群是 4 阶阿贝尔群，即克莱因四元组 $V_4$。
5. 伽罗瓦群是 2 阶循环群 $C_2$。

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Answer:

1. The Galois group is the cyclic group of order 3 (𝐶₃).
2. The Galois group is the cyclic group of order 3 (𝐶₃).
3. The Galois group is the cyclic group of order 2 (𝐶₂).
4. The Galois group is the Klein four-group of order 4 (𝑉₄).
5. The Galois group is the cyclic group of order 2 (𝐶₂).

解答：

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1. 找出 $\mathbb{Q}(\zeta_5)$ 的所有子域

首先，考虑 5 次本原单位根 $\zeta_5$ 所生成的域 $\mathbb{Q}(\zeta_5)$。其扩张度为：

$$[\mathbb{Q}(\zeta_5) : \mathbb{Q}] = \varphi(5) = 4，$$

其中 $\varphi$ 是欧拉函数。

伽罗瓦群

伽罗瓦群 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q})$ 同构于乘法群 $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times$，这是一个 4 阶循环群 $C_4$。其元素为：

$$(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times = \{1, 2, 3, 4\}。$$

子群及对应的子域

该群的子群有：

1. 平凡子群 $\{1\}$：对应固定域 $\mathbb{Q}(\zeta_5)$；
2. 阶为 2 的子群 $\{1, 4\}$：对应固定域为某个二次扩张；
3. 全群 $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times$：对应固定域为 $\mathbb{Q}$。

确定二次子域

阶为 2 的子群 $\{1, 4\}$ 对应的固定域是：

$$\mathbb{Q}(\zeta_5 + \zeta_5^{-1})。$$

因为自同构 $\sigma: \zeta_5 \mapsto \zeta_5^4 = \zeta_5^{-1}$ 的固定元素就是 $\zeta_5 + \zeta_5^{-1}$。

结论

因此，$\mathbb{Q}(\zeta_5)$ 的所有子域为：

• $\mathbb{Q}$
• $\mathbb{Q}(\zeta_5 + \zeta_5^{-1})$
• $\mathbb{Q}(\zeta_5)$

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答：所有子域是 $\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}(\zeta_5 + \zeta_5^{-1})$ 和 $\mathbb{Q}(\zeta_5)$。

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2. 找出 $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ 的所有子域

计算扩张度

对于 8 次本原单位根 $\zeta_8$，有：

$$[\mathbb{Q}(\zeta_8) : \mathbb{Q}] = \varphi(8) = 4。$$

伽罗瓦群

$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_8)/\mathbb{Q})$ 同构于 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times$，该群为：

$$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times = \{1, 3, 5, 7\}。$$

注意到 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times$ 不是循环群，而是克莱因四元组 $V_4$，即 $C_2 \times C_2$。

子群及对应的子域

该群的子群有：

1. 平凡子群 $\{1\}$：对应固定域 $\mathbb{Q}(\zeta_8)$；
2. 三个阶为 2 的子群：
   • $H_1 = \{1, 3\}$
   • $H_2 = \{1, 5\}$
   • $H_3 = \{1, 7\}$
3. 全群 $V_4$：对应固定域 $\mathbb{Q}$。

确定二次子域

每个阶为 2 的子群对应一个二次扩张：

• 对应 $H_1$ 的固定域：$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$
  • 因为 $\zeta_8 + \zeta_8^{-1} = \sqrt{2}$
• 对应 $H_2$ 的固定域：$\mathbb{Q}(i)$
  • 因为 $\zeta_8^2 = i$
• 对应 $H_3$ 的固定域：$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$
  • 因为 $\zeta_8 + \zeta_8^3 = i\sqrt{2}$，所以包含 $\sqrt{-2}$

结论

$\mathbb{Q}(\zeta_8)$ 的所有子域为：

• $\mathbb{Q}$
• $\mathbb{Q}(i)$
• $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$
• $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$
• $\mathbb{Q}(\zeta_8)$

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答：所有子域是 $\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}(i)$、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ 和 $\mathbb{Q}(\zeta_8)$。

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3. 证明 $n > 2$ 时，$\mathbb{Q}(\zeta_n + \zeta_n^{-1})$ 是 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 中的最大实子域

步骤 1：确定自同构

在复数域 $\mathbb{C}$ 中，复共轭 $\overline{\cdot}$ 是一个自同构，满足：

$$\overline{\zeta_n} = \zeta_n^{-1}。$$

因此，复共轭在 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 上诱导出自同构 $\sigma$，定义为：

$$\sigma: \zeta_n \mapsto \zeta_n^{-1}。$$

步骤 2：固定域

自同构 $\sigma$ 的固定域为：

$$\mathrm{Fix}(\sigma) = \{ x \in \mathbb{Q}(\zeta_n) \mid \sigma(x) = x \}。$$

由于 $\sigma$ 是复共轭，因此固定域由 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 中的实数组成。

步骤 3：证明 $\mathbb{Q}(\zeta_n + \zeta_n^{-1})$ 是固定域

注意到：

$$\sigma(\zeta_n + \zeta_n^{-1}) = \zeta_n^{-1} + \zeta_n = \zeta_n + \zeta_n^{-1}。$$

因此，$\zeta_n + \zeta_n^{-1}$ 属于固定域 $\mathrm{Fix}(\sigma)$，即：

$$\mathbb{Q}(\zeta_n + \zeta_n^{-1}) \subseteq \mathrm{Fix}(\sigma)。$$

步骤 4：最大实子域

由于 $\sigma$ 的固定域由所有实元素组成，而 $\mathbb{Q}(\zeta_n + \zeta_n^{-1})$ 包含了所有这样的元素，所以它就是 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 的最大实子域。

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答：因为复共轭自同构 $\zeta_n \mapsto \zeta_n^{-1}$ 的固定域是 $\mathbb{Q}(\zeta_n + \zeta_n^{-1})$，所以 $\mathbb{Q}(\zeta_n + \zeta_n^{-1})$ 是 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 中的最大实子域。

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总结：

1. $\mathbb{Q}(\zeta_5)$ 的所有子域：
   • $\mathbb{Q}$
   • $\mathbb{Q}(\zeta_5 + \zeta_5^{-1})$
   • $\mathbb{Q}(\zeta_5)$
2. $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ 的所有子域：
   • $\mathbb{Q}$
   • $\mathbb{Q}(i)$
   • $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$
   • $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$
   • $\mathbb{Q}(\zeta_8)$
3. 对于 $n > 2$，$\mathbb{Q}(\zeta_n + \zeta_n^{-1})$ 是 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 的最大实子域

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Answer:

1. All subfields of $\mathbb{Q}(\zeta_5)$ are $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}(\zeta_5 + \zeta_5^{-1})$, and $\mathbb{Q}(\zeta_5)$.
2. All subfields of $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ are $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}(i)$, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$, and $\mathbb{Q}(\zeta_8)$.
3. For $n > 2$, $\mathbb{Q}(\zeta_n + \zeta_n^{-1})$ is the maximal real subfield of $\mathbb{Q}(\zeta_n)$, since it is the fixed field of the automorphism $\zeta_n \mapsto \zeta_n^{-1}$ induced by complex conjugation.