Основные формулы, которые помогут вам решить задачи на городской олимпиаде по астрономии:

1. Законы Кеплера

   • Первый закон (Эллиптические орбиты): Орбита каждой планеты является эллипсом, в одном из фокусов которого находится Солнце.
   • Второй закон (Равные площади): Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.
   • Третий закон (Гармонический): $T^2 \propto a^3$, где $T$ — период обращения планеты, $a$ — большая полуось орбиты.

2. Закон всемирного тяготения Ньютона

   $$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$
   • $F$ — сила гравитационного притяжения;
   • $G$ — гравитационная постоянная ($6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3\text{кг}^{-1}\text{с}^{-2}$);
   • $m_1$ и $m_2$ — массы взаимодействующих тел;
   • $r$ — расстояние между центрами масс этих тел.

3. Орбитальная скорость

   • Круговая орбитальная скорость: $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$ где $M$ — масса центрального тела.

4. Первая и вторая космические скорости

   • Первая космическая скорость: $$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$ где $R$ — радиус планеты.
   • Вторая космическая скорость: $$v_2 = \sqrt{2} \, v_1 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

5. Связь между видимой и абсолютной звёздной величиной

   $$m - M = 5 \log_{10} \left( \frac{d}{10 \, \text{пк}} \right)$$
   • $m$ — видимая звёздная величина;
   • $M$ — абсолютная звёздная величина;
   • $d$ — расстояние до звезды в парсеках.

6. Закон Стефана-Больцмана

   $$L = 4\pi R^2 \sigma T^4$$
   • $L$ — светимость звезды;
   • $R$ — радиус звезды;
   • $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана ($5.670374419 \times 10^{-8} \, \text{Вт} \, \text{м}^{-2} \, \text{К}^{-4}$);
   • $T$ — эффективная температура поверхности звезды.

7. Закон Вина

   $$\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}$$
   • $\lambda_{\text{max}}$ — длина волны максимального излучения;
   • $b$ — постоянная Вина ($2.897771955 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}$);
   • $T$ — температура.

8. Эффект Доплера

   $$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v_r}{c}$$
   • $\Delta \lambda$ — изменение длины волны;
   • $\lambda_0$ — исходная длина волны;
   • $v_r$ — радиальная скорость объекта;
   • $c$ — скорость света ($3 \times 10^8 \, \text{м/с}$).

9. Параллакс

   $$d = \frac{1}{p}$$
   • $d$ — расстояние до звезды в парсеках;
   • $p$ — параллакс в угловых секундах.

10. Закон Хаббла

    $$v = H_0 d$$
    • $v$ — скорость удаления галактики;
    • $H_0$ — постоянная Хаббла ($\approx 70 \, \text{км/с/Мпк}$);
    • $d$ — расстояние до галактики в мегапарсеках.

11. Угловой размер объекта

    $$\theta = \frac{S}{d}$$
    • $\theta$ — угловой размер в радианах;
    • $S$ — реальный размер объекта;
    • $d$ — расстояние до объекта.

12. Время распространения света

    $$t = \frac{d}{c}$$
    • $t$ — время в секундах;
    • $d$ — расстояние в метрах.

13. Синодический и сидерический периоды

    $$\frac{1}{P_{\text{син}}} = \left| \frac{1}{P_{\text{план}}} - \frac{1}{P_{\text{Зем}}} \right|$$
    • $P_{\text{син}}$ — синодический период планеты;
    • $P_{\text{план}}$ — сидерический период планеты;
    • $P_{\text{Зем}}$ — сидерический период Земли (1 год).

14. Масса и светимость звезды

    $$L \propto M^\alpha$$
    • $L$ — светимость звезды;
    • $M$ — масса звезды;
    • $\alpha$ — показатель степени (для звёзд главной последовательности $\alpha \approx 3.5$).

15. Поток и светимость

    $$F = \frac{L}{4\pi d^2}$$
    • $F$ — наблюдаемый поток излучения;
    • $L$ — светимость звезды;
    • $d$ — расстояние до звезды.

16. Связь между периодом и средней плотностью для шаровых тел

    $$T = \sqrt{\frac{3\pi}{G \rho}}$$
    • $T$ — период обращения;
    • $\rho$ — средняя плотность тела.

17. Формулы сферической тригонометрии

    • Закон косинусов для сферического треугольника: $$\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C$$ Используется для расчёта углов и расстояний на небесной сфере.

18. Преобразование координат

    • Часовой угол:

      $$t = \text{LST} - \alpha$$

      где $\text{LST}$ — местное звёздное время, $\alpha$ — прямое восхождение.

    • Высота светила:

      $$\sin h = \sin \phi \sin \delta + \cos \phi \cos \delta \cos t$$

      где $h$ — высота над горизонтом, $\phi$ — широта места наблюдения, $\delta$ — склонение светила.

19. Закон Погсона для звёздных величин

    $$m_2 - m_1 = -2.5 \log_{10} \left( \frac{F_2}{F_1} \right)$$
    • $m_1$, $m_2$ — звёздные величины двух объектов;
    • $F_1$, $F_2$ — соответствующие им потоки излучения.

20. Уравнение состояния идеального газа (для астрофизических применений)

    $$P = nkT$$
    • $P$ — давление;
    • $n$ — концентрация частиц;
    • $k$ — постоянная Больцмана ($1.380649 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}$);
    • $T$ — температура.

Изучение и понимание этих формул поможет вам эффективно решать различные задачи по астрономии. Рекомендуется также практиковаться в их применении на типичных задачах олимпиадного уровня.

Конечно! Ниже представлены основные формулы и теоретические концепции, необходимые для подготовки к городской олимпиаде по астрономии для 11 класса.

---

1. Законы Кеплера

Первый закон (Закон эллиптических орбит)

Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Второй закон (Закон площадей)

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

• Формула площади: $$\frac{dA}{dt} = \text{const}$$

Третий закон (Гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

• Формула: $$\frac{T^2}{a^3} = \text{const}$$ где:
  • $T$ — период обращения;
  • $a$ — большая полуось орбиты.

Теория: Третий закон Кеплера позволяет определить связь между периодом обращения планеты и расстоянием до Солнца, что важно для понимания движения небесных тел.

---

2. Закон всемирного тяготения Ньютона

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

• $F$ — сила притяжения;
• $G$ — гравитационная постоянная ($6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$);
• $m_1$, $m_2$ — массы взаимодействующих тел;
• $r$ — расстояние между центрами масс.

Теория: Этот закон описывает силу гравитационного взаимодействия между любыми двумя массами и является фундаментальным для понимания движения планет и других небесных тел.

---

3. Орбитальная скорость

Круговая орбитальная скорость

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

• $v$ — скорость объекта на круговой орбите;
• $M$ — масса центрального тела;
• $r$ — расстояние до центра масс.

Теория: Орбитальная скорость необходима для того, чтобы объект мог находиться на стабильной круговой орбите вокруг центрального тела.

---

4. Космические скорости

Первая космическая скорость

$$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$

• $R$ — радиус планеты.

Вторая космическая скорость

$$v_2 = \sqrt{2} \, v_1 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

Теория:

• Первая космическая скорость — минимальная скорость, необходимая для выхода на круговую орбиту вокруг планеты.
• Вторая космическая скорость — минимальная скорость, необходимая для преодоления гравитационного поля планеты и выхода в космическое пространство.

---

5. Закон Стефана-Больцмана

$$L = 4\pi R^2 \sigma T^4$$

• $L$ — светимость звезды;
• $R$ — радиус звезды;
• $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана ($5.670374419 \times 10^{-8} \, \text{Вт} \cdot \text{м}^{-2} \cdot \text{К}^{-4}$);
• $T$ — эффективная температура поверхности.

Теория: Закон устанавливает зависимость между светимостью звезды, ее радиусом и температурой, что позволяет определять энергетические характеристики звезд.

---

6. Закон Вина

$$\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}$$

• $\lambda_{\text{max}}$ — длина волны максимального излучения;
• $b$ — постоянная Вина ($2.897771955 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}$);
• $T$ — температура.

Теория: Закон Вина позволяет определить температуру звезды по максимуму ее спектра излучения, что важно для классификации звезд по спектральным классам.

---

7. Эффект Доплера

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v_r}{c}$$

• $\Delta \lambda$ — изменение длины волны;
• $\lambda_0$ — исходная длина волны;
• $v_r$ — радиальная скорость (положительна при удалении, отрицательна при приближении);
• $c$ — скорость света ($3 \times 10^8 \, \text{м/с}$).

Теория: Эффект Доплера используется для измерения скоростей движения звезд и галактик относительно Земли, что помогает в изучении расширения Вселенной.

---

8. Связь между видимой и абсолютной звёздной величиной

$$m - M = 5 \log_{10} \left( \frac{d}{10 \, \text{пк}} \right)$$

• $m$ — видимая звёздная величина;
• $M$ — абсолютная звёздная величина;
• $d$ — расстояние до звезды в парсеках.

Теория: Эта формула позволяет вычислить расстояние до звезды или ее абсолютную светимость, что важно для определения размеров и структуры нашей галактики.

---

9. Параллакс

$$d = \frac{1}{p}$$

• $d$ — расстояние до звезды в парсеках;
• $p$ — параллакс в угловых секундах.

Теория: Метод параллакса основан на измерении видимого смещения звезды на небесной сфере при наблюдении с разных точек орбиты Земли.

---

10. Закон Хаббла

$$v = H_0 d$$

• $v$ — скорость удаления галактики;
• $H_0$ — постоянная Хаббла ($\approx 70 \, \text{км/с/Мпк}$);
• $d$ — расстояние до галактики в мегапарсеках.

Теория: Закон Хаббла демонстрирует, что Вселенная расширяется, и скорость удаления галактик пропорциональна их расстоянию от нас.

---

11. Угловой размер объекта

$$\theta = \frac{S}{d}$$

• $\theta$ — угловой размер в радианах;
• $S$ — реальный размер объекта;
• $d$ — расстояние до объекта.

Теория: Эта формула используется для определения реальных размеров небесных объектов, таких как планеты, звезды и галактики.

---

12. Закон Погсона

$$m_2 - m_1 = -2.5 \log_{10} \left( \frac{F_2}{F_1} \right)$$

• $m_1$, $m_2$ — звёздные величины двух объектов;
• $F_1$, $F_2$ — потоки излучения от этих объектов.

Теория: Закон связывает разницу в звёздных величинах с отношением их светимости, что позволяет сравнивать яркость различных звезд.

---

13. Синодический и сидерический периоды

$$\frac{1}{P_{\text{син}}} = \left| \frac{1}{P_{\text{план}}} - \frac{1}{P_{\text{Зем}}} \right|$$

• $P_{\text{син}}$ — синодический период планеты;
• $P_{\text{план}}$ — сидерический период планеты;
• $P_{\text{Зем}}$ — сидерический период Земли (1 год).

Теория: Синодический период — время между одинаковыми фазами планеты относительно Земли, важен для планирования наблюдений.

---

14. Формулы сферической тригонометрии

Закон косинусов для сферического треугольника

$$\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C$$

Закон синусов

$$\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}$$

Теория: Эти формулы используются для расчетов на небесной сфере, таких как определение углов и расстояний между объектами.

---

15. Уравнение состояния идеального газа

$$P = nkT$$

• $P$ — давление;
• $n$ — концентрация частиц;
• $k$ — постоянная Больцмана ($1.380649 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}$);
• $T$ — температура.

Теория: Уравнение описывает поведение газа в звездах и планетных атмосферах, важно для понимания процессов внутри звезд.

---

16. Энергия фотона

$$E = h \nu = \frac{h c}{\lambda}$$

• $E$ — энергия фотона;
• $h$ — постоянная Планка ($6.62607015 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}$);
• $\nu$ — частота;
• $\lambda$ — длина волны.

Теория: Эта формула связывает энергию излучения с его частотой и длиной волны, что важно для спектроскопических исследований.

---

17. Масса звезды по законам Кеплера

$$M = \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2}$$

• $M$ — масса звезды;
• $a$ — большая полуось орбиты спутника или планеты;
• $T$ — период обращения.

Теория: Формула позволяет определить массу звезды, наблюдая движение объектов вокруг нее, что важно для изучения двойных систем.

---

18. Светимость и масса звезды

$$L \propto M^\alpha$$

• $L$ — светимость звезды;
• $M$ — масса звезды;
• $\alpha$ — показатель степени (для звезд главной последовательности $\alpha \approx 3.5$).

Теория: Связь между светимостью и массой звезды помогает понять процессы звездообразования и эволюции звезд.

---

19. Распределение Максвелла-Больцмана

$$f(v) = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{3/2} v^2 e^{- \frac{mv^2}{2kT}}$$

• $f(v)$ — функция распределения скоростей частиц;
• $m$ — масса частицы;
• $k$ — постоянная Больцмана;
• $T$ — температура.

Теория: Распределение описывает вероятностное распределение скоростей частиц в газе, что важно для понимания процессов в звездных атмосферах.

---

20. Радиус Шварцшильда

$$R_s = \frac{2GM}{c^2}$$

• $R_s$ — радиус Шварцшильда (граница черной дыры);
• $M$ — масса объекта.

Теория: Радиус Шварцшильда определяет границу, за которой гравитация становится настолько сильной, что даже свет не может ее покинуть.

---

Теоретические концепции

Диаграмма Герцшпрунга — Рассела

• График зависимости светимости звезд от их температуры (или спектрального класса).
• Позволяет классифицировать звезды и отслеживать их эволюцию.

Ядерные реакции в звездах

• Протон-протонный цикл: основной источник энергии в звездах, подобных Солнцу.
• Цикл CNO: доминирует в более массивных звездах.

Эволюция звезд

• Главная последовательность: стадия стабильного горения водорода в ядре.
• Гиганты и сверхгиганты: стадии после исчерпания водорода в ядре.
• Белые карлики, нейтронные звезды, черные дыры: конечные стадии эволюции в зависимости от массы звезды.

Гравитационное линзирование

• Явление искривления света массивными объектами.
• Позволяет наблюдать далекие галактики и изучать распределение массы во Вселенной.

Космологический принцип

• Вселенная однородна и изотропна в больших масштабах.
• Основа для современных космологических моделей.

---

Рекомендации для подготовки

• Изучите формулы и их применение: Решайте задачи, применяя приведенные формулы, чтобы укрепить понимание.
• Понимайте физический смысл: Не ограничивайтесь запоминанием формул, старайтесь понять, что они означают.
• Следите за единицами измерения: Правильное использование единиц поможет избежать ошибок в расчетах.
• Практикуйтесь с реальными данными: Используйте данные наблюдений для решения задач, это поможет связать теорию с практикой.
• Читайте дополнительную литературу: Книги и статьи по астрономии расширят ваш кругозор и углубят понимание предмета.

---

Желаю вам успехов на олимпиаде и в дальнейшем изучении астрономии!

К сожалению, у меня нет доступа к конкретным заданиям предстоящей городской олимпиады по астрономии в Чебоксарах. Однако я могу предоставить информацию о типичных темах и видах задач, которые обычно встречаются на олимпиадах по астрономии для 11 класса. Это поможет вам эффективно подготовиться к соревнованию.

---

Типичные темы и задания на олимпиадах по астрономии

1. Кинематика и динамика небесных тел

• Применение законов Кеплера: расчёт параметров орбит планет и спутников.
• Закон всемирного тяготения: задачи на вычисление сил притяжения и орбитальных скоростей.
• Расчёт космических скоростей: первая, вторая и третья космические скорости.

2. Астрофизика звёзд

• Определение параметров звёзд: масса, радиус, температура, светимость.
• Диаграмма Герцшпрунга — Рассела: классификация звёзд и их эволюция.
• Ядерные реакции: протон-протонный цикл, цикл CNO.

3. Наблюдательная астрономия

• Методы определения расстояний: параллакс, цефеиды, сверхновые типа Ia.
• Анализ спектров: определение химического состава, температур и скоростей звёзд.
• Эффект Доплера: задачи на вычисление радиальных скоростей.

4. Сферическая астрономия

• Системы небесных координат: экваториальная, горизонтальная, эклиптическая.
• Преобразование координат: расчёт часового угла, высоты и азимута светила.
• Время в астрономии: звёздное время, юлианские даты, синодические и сидерические периоды.

5. Солнечная система

• Движение планет и малых тел: орбиты астероидов, комет, расчёт затмений.
• Фазы Луны и планет: задачи на определение видимых фаз и их периодов.
• Транснептуновые объекты и экзопланеты: методы обнаружения и изучения.

6. Космология

• Закон Хаббла: вычисление скорости удаления галактик и расстояний до них.
• Модель Большого взрыва: базовые концепции расширения Вселенной.
• Темная материя и темная энергия: их роль в эволюции Вселенной.

7. Гравитационные явления

• Гравитационное линзирование: расчёт отклонения света массивными объектами.
• Чёрные дыры: понятие радиуса Шварцшильда, признаки существования.

8. Инструментальная астрономия

• Работа телескопов: оптические системы, разрешающая способность, сбор света.
• Наблюдения в разных диапазонах: радиоволны, инфракрасное, ультрафиолетовое и рентгеновское излучение.
• Влияние атмосферы: турбулентность, атмосферная дисперсия, методы коррекции.

9. Астрометрия

• Определение положений небесных тел: задачи на вычисление координат.
• Собственное движение звёзд: измерение и значение в астрономии.

10. Астробиология

• Условия обитаемости: понятие "зоны Златовласки", критерии наличия жизни.
• Методы поиска экзопланет: транзитный метод, радиальные скорости, микролинзирование.

---

Рекомендации по подготовке

1. Изучите теорию по ключевым темам: Убедитесь, что вы хорошо понимаете основные концепции и законы.

2. Практикуйтесь в решении задач: Решайте задачи из сборников олимпиад прошлых лет, это поможет понять формат и уровень сложности заданий.

3. Повторите математику и физику: Астрономия тесно связана с этими предметами, поэтому знания в них будут крайне полезны.

4. Обратите внимание на единицы измерения: Часто ошибки возникают из-за неверного перевода единиц.

5. Следите за астрономическими новостями: Бывает полезно знать о последних открытиях и исследованиях.

6. Используйте дополнительные ресурсы:

   • Книги: учебники по астрономии для старших классов, специализированные издания.
   • Онлайн-курсы и лекции: многие университеты и образовательные платформы предлагают бесплатные материалы.
   • Сообщества и кружки: участие в астрономических кружках или онлайн-форумах может предоставить дополнительную поддержку и мотивацию.

---

Примерные типы задач

• Расчёт орбитальных элементов: определение параметров орбиты по заданным условиям.
• Анализ светимости и температуры звёзд: использование закона Стефана-Больцмана и закона Вина.
• Определение времени восхода и захода светил: задачи на сферическую тригонометрию и время.
• Вычисление гравитационного взаимодействия: задачи с использованием закона всемирного тяготения.
• Спектральный анализ: определение скоростей и химического состава по спектрам.
• Космологические расчёты: использование закона Хаббла для определения расстояний и возрастов галактик.

---

Советы перед олимпиадой

• Отдохните перед экзаменом: свежая голова поможет лучше сосредоточиться.
• Внимательно читайте задания: убедитесь, что вы понимаете, что требуется найти.
• Планируйте время: распределите своё время так, чтобы успеть выполнить все задания.
• Проверяйте ответы: если позволяет время, перепроверьте свои расчёты и выводы.

---

Желаю вам успехов в подготовке и на самой олимпиаде! Пусть ваши знания и увлечённость астрономией приведут к отличным результатам.

Конечно! Ниже приведены примеры заданий, которые могут встретиться на городской олимпиаде по астрономии для 11 класса, вместе с подробными решениями.

---

Задача 1: Орбитальная механика

Условие:

Искусственный спутник движется по круговой орбите вокруг Земли на высоте $h = 500$ км над поверхностью. Вычислите:

1. Скорость спутника на орбите.
2. Период обращения спутника вокруг Земли.

Дано:

• Высота орбиты: $h = 500$ км.
• Радиус Земли: $R_{\text{Зем}} = 6371$ км.
• Гравитационная постоянная: $G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2$.
• Масса Земли: $M_{\text{Зем}} = 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}$.

Решение:

1. Скорость спутника на орбите:

   Орбитальная скорость спутника на круговой орбите определяется формулой:

   $$v = \sqrt{\frac{G M_{\text{Зем}}}{r}}$$

   где $r$ — расстояние от центра Земли до спутника:

   $$r = R_{\text{Зем}} + h = 6371 \, \text{км} + 500 \, \text{км} = 6871 \, \text{км} = 6.871 \times 10^6 \, \text{м}$$

   Подставляем значения:

   $$v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{6.871 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{3.986 \times 10^{14}}{6.871 \times 10^6}}$$

   Вычисляем:

   $$v = \sqrt{5.8 \times 10^7} \approx 7610 \, \text{м/с}$$

2. Период обращения спутника вокруг Земли:

   Период обращения определяется формулой:

   $$T = \frac{2\pi r}{v}$$

   Подставляем значения:

   $$T = \frac{2\pi \times 6.871 \times 10^6}{7610} \approx \frac{43.168 \times 10^6}{7610} \approx 5676 \, \text{с}$$

   Переведем в минуты:

   $$T = \frac{5676}{60} \approx 94.6 \, \text{мин}$$

Ответ:

1. Скорость спутника: $v \approx 7610 \, \text{м/с}$.
2. Период обращения: $T \approx 94.6 \, \text{минут}$.

---

Задача 2: Закон Вина

Условие:

Звезда имеет максимум излучения на длине волны $\lambda_{\text{max}} = 290$ нм. Определите эффективную температуру поверхности звезды. Какой это спектральный класс звезды?

Дано:

• $\lambda_{\text{max}} = 290 \, \text{нм}$.
• Постоянная Вина: $b = 2.897771955 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}$.

Решение:

1. Определим температуру звезды:

   Используем закон Вина:

   $$\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}$$

   Отсюда:

   $$T = \frac{b}{\lambda_{\text{max}}}$$

   Переведем длину волны в метры:

   $$\lambda_{\text{max}} = 290 \, \text{нм} = 290 \times 10^{-9} \, \text{м}$$

   Теперь вычислим температуру:

   $$T = \frac{2.897771955 \times 10^{-3}}{290 \times 10^{-9}} \approx \frac{2.897771955 \times 10^{-3}}{2.9 \times 10^{-7}} \approx 10\,000 \, \text{К}$$

2. Определим спектральный класс:

   Спектральный класс звезды определяется по её температуре:

   • O: $T > 30\,000 \, \text{К}$
   • B: $10\,000 \, \text{К} < T \leq 30\,000 \, \text{К}$
   • A: $7\,500 \, \text{К} < T \leq 10\,000 \, \text{К}$
   • F: $6\,000 \, \text{К} < T \leq 7\,500 \, \text{К}$
   • G: $5\,200 \, \text{К} < T \leq 6\,000 \, \text{К}$
   • K: $3\,700 \, \text{К} < T \leq 5\,200 \, \text{К}$
   • M: $T \leq 3\,700 \, \text{К}$

   Температура звезды $T \approx 10\,000 \, \text{К}$, значит, это звезда спектрального класса B.

Ответ:

1. Температура звезды: $T \approx 10\,000 \, \text{К}$.
2. Спектральный класс: B.

---

Задача 3: Эффект Доплера

Условие:

В спектре далёкой галактики наблюдается линия, соответствующая линии с длиной волны $\lambda_0 = 656{,}3$ нм в лабораторных условиях, смещённая до $\lambda = 700$ нм. Определите скорость удаления галактики.

Дано:

• $\lambda_0 = 656{,}3 \, \text{нм}$.
• $\lambda = 700 \, \text{нм}$.
• Скорость света: $c = 3 \times 10^8 \, \text{м/с}$.

Решение:

Используем формулу для красного смещения:

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v}{c}$$

Где:

$$\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = 700 \, \text{нм} - 656{,}3 \, \text{нм} = 43{,}7 \, \text{нм}$$

Теперь вычислим скорость:

$$v = c \cdot \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \times \frac{43{,}7}{656{,}3}$$

Вычислим отношение:

$$\frac{43{,}7}{656{,}3} \approx 0{,}0666$$

Теперь:

$$v = 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \times 0{,}0666 \approx 2 \times 10^7 \, \text{м/с}$$

Ответ:

Скорость удаления галактики: $v \approx 20\,000 \, \text{км/с}$.

---

Задача 4: Закон Погсона

Условие:

Две звезды имеют видимые звёздные величины $m_1 = 2{,}0$ и $m_2 = 7{,}0$. Во сколько раз первая звезда ярче второй?

Решение:

Используем закон Погсона:

$$m_2 - m_1 = -2{,}5 \log_{10} \left( \frac{F_2}{F_1} \right)$$

Перепишем формулу:

$$\frac{F_1}{F_2} = 10^{0{,}4 (m_2 - m_1)}$$

Подставим значения:

$$\frac{F_1}{F_2} = 10^{0{,}4 (7{,}0 - 2{,}0)} = 10^{0{,}4 \times 5} = 10^{2} = 100$$

Ответ:

Первая звезда ярче второй в 100 раз.

---

Задача 5: Параллакс

Условие:

Звезда имеет параллакс $p = 0{,}02''$. Определите расстояние до звезды в парсеках и световых годах.

Решение:

1. Расстояние в парсеках:

   $$d = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}02''} = 50 \, \text{пк}$$

2. Перевод в световые годы:

   Зная, что 1 парсек ≈ 3{,}26 световых лет:

   $$d = 50 \times 3{,}26 \approx 163 \, \text{световых года}$$

Ответ:

Расстояние до звезды: $50 \, \text{пк}$ или $163 \, \text{световых года}$.

---

Задача 6: Синодический период

Условие:

Сидерический период обращения Марса вокруг Солнца составляет $T_{\text{Марс}} = 687$ суток. Вычислите синодический период Марса.

Решение:

Сидерический период Земли $T_{\text{Земля}} = 365$ суток.

Синодический период определяется формулой:

$$\frac{1}{T_{\text{син}}} = \left| \frac{1}{T_{\text{Земля}}} - \frac{1}{T_{\text{Марс}}} \right|$$

Подставим значения:

$$\frac{1}{T_{\text{син}}} = \left| \frac{1}{365} - \frac{1}{687} \right| = \left| \frac{687 - 365}{365 \times 687} \right| = \frac{322}{250\,755}$$

Теперь вычислим $T_{\text{син}}$:

$$T_{\text{син}} = \frac{250\,755}{322} \approx 779 \, \text{суток}$$

Ответ:

Синодический период Марса составляет примерно $779$ суток.

---

Задача 7: Светимость звезды

Условие:

Звезда имеет радиус в 2 раза больше солнечного ($R = 2R_{\odot}$) и температуру поверхности в 1{,}5 раза выше солнечной ($T = 1{,}5T_{\odot}$). Во сколько раз светимость этой звезды больше светимости Солнца?

Решение:

Используем закон Стефана-Больцмана:

$$L = 4\pi R^2 \sigma T^4$$

Отношение светимостей двух звёзд:

$$\frac{L}{L_{\odot}} = \left( \frac{R}{R_{\odot}} \right)^2 \left( \frac{T}{T_{\odот}} \right)^4$$

Подставим значения:

$$\frac{L}{L_{\odot}} = (2)^2 \times (1{,}5)^4 = 4 \times 5{,}0625 = 20{,}25$$

Ответ:

Светимость звезды в $20{,}25$ раза больше светимости Солнца.

---

Задача 8: Расстояние до галактики по закону Хаббла

Условие:

Галактика удаляется от нас со скоростью $v = 14\,000$ км/с. Используя закон Хаббла с постоянной $H_0 = 70 \, \text{км/с/Мпк}$, определите расстояние до галактики.

Решение:

Закон Хаббла:

$$v = H_0 d$$

Отсюда:

$$d = \frac{v}{H_0} = \frac{14\,000 \, \text{км/с}}{70 \, \text{км/с/Мпк}} = 200 \, \text{Мпк}$$

Ответ:

Расстояние до галактики: $200 \, \text{Мпк}$.

---

Задача 9: Высота светила над горизонтом

Условие:

Определите высоту звезды над горизонтом в момент её кульминации для наблюдателя с широтой $\phi = 50^\circ$. Склонение звезды $\delta = 20^\circ$.

Решение:

В момент верхней кульминации высота звезды над горизонтом:

$$h = 90^\circ - |\phi - \delta|$$

Подставим значения:

$$h = 90^\circ - |50^\circ - 20^\circ| = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$

Ответ:

Высота звезды в момент кульминации: $60^\circ$ над горизонтом.

---

Задача 10: Радиус Шварцшильда

Условие:

Определите радиус Шварцшильда для чёрной дыры с массой в 10 раз больше солнечной.

Дано:

• Масса Солнца: $M_{\odot} = 1{,}989 \times 10^{30} \, \text{кг}$.
• Гравитационная постоянная: $G = 6{,}674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2$.
• Скорость света: $c = 3 \times 10^8 \, \text{м/с}$.

Решение:

Радиус Шварцшильда:

$$R_s = \frac{2GM}{c^2}$$

Масса чёрной дыры:

$$M = 10 M_{\odot} = 10 \times 1{,}989 \times 10^{30} \, \text{кг} = 1{,}989 \times 10^{31} \, \text{кг}$$

Теперь вычислим $R_s$:

$$R_s = \frac{2 \times 6{,}674 \times 10^{-11} \times 1{,}989 \times 10^{31}}{(3 \times 10^8)^2}$$

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель:

$$N = 2 \times 6{,}674 \times 10^{-11} \times 1{,}989 \times 10^{31} = 2{,}653 \times 10^{21}$$

Знаменатель:

$$D = (3 \times 10^8)^2 = 9 \times 10^{16}$$

Теперь:

$$R_s = \frac{2{,}653 \times 10^{21}}{9 \times 10^{16}} \approx 29{,}5 \, \text{км}$$

Ответ:

Радиус Шварцшильда чёрной дыры: примерно $29{,}5 \, \text{км}$.

---

Эти примеры задач охватывают различные темы, которые могут быть представлены на олимпиаде. Рекомендуется внимательно изучить решения и попробовать решить подобные задачи самостоятельно для лучшей подготовки.

---

Понимаю, что времени осталось совсем мало. В такой ситуации лучше всего сосредоточиться на самых важных формулах и понятиях, которые часто встречаются на олимпиадах по астрономии. Вот краткий список того, что стоит повторить за оставшееся время:

---

1. Законы Кеплера

• Первый закон: Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
• Второй закон: Радиус-вектор планеты описывает равные площади за равные промежутки времени.
• Третий закон: $$\frac{T^2}{a^3} = \text{const}$$ где $T$ — период обращения, $a$ — большая полуось орбиты.

2. Закон всемирного тяготения Ньютона

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

• $G \approx 6{,}674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)$.

3. Космические скорости

• Первая космическая скорость: $$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$
• Вторая космическая скорость: $$v_2 = \sqrt{2} \, v_1$$

4. Закон Стефана-Больцмана

$$L = 4\pi R^2 \sigma T^4$$

• $\sigma \approx 5{,}670 \times 10^{-8} \, \text{Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)$.

5. Закон Вина

$$\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}$$

• $b \approx 2{,}898 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}$.

6. Эффект Доплера

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v}{c}$$

• $c = 3 \times 10^8 \, \text{м/с}$.

7. Связь видимой и абсолютной звёздной величины

$$m - M = 5 \log_{10} \left( \frac{d}{10 \, \text{пк}} \right)$$

8. Закон Хаббла

$$v = H_0 d$$

• $H_0 \approx 70 \, \text{км/с/Мпк}$.

9. Параллакс

$$d = \frac{1}{p}$$

• $d$ в парсеках, $p$ в секундах дуги.

10. Закон Погсона

$$m_2 - m_1 = -2{,}5 \log_{10} \left( \frac{F_2}{F_1} \right)$$

---

Советы:

• Единицы измерения: Обратите внимание на перевод единиц (километры в метры, нано-метры в метры и т.д.).
• Константы: Запомните значения основных физических констант.
• Логика и приближения: Если не знаете точную формулу, попробуйте рассуждать логически или использовать приближенные значения.
• Системы координат: Помните про экваториальную и горизонтальную системы координат, основы преобразования между ними.

Важно: Постарайтесь сохранять спокойствие и не паниковать. Даже за короткое время можно вспомнить ключевые моменты. На олимпиадах часто ценится умение рассуждать, поэтому внимательно читайте условия задач и используйте знания, которые у вас уже есть.

Желаю удачи на олимпиаде!

Конечно! Давайте рассмотрим, в каких задачах используется каждая из перечисленных формул. Это поможет вам понять, когда и как их применять на олимпиаде.

---

1. Законы Кеплера

• Третий закон Кеплера: $$\frac{T^2}{a^3} = \text{const}$$

Применение:

• Задачи на расчёт периодов обращения: Определение периода обращения планеты или спутника, если известна большая полуось орбиты, и наоборот.
• Сравнение планетных систем: Сопоставление периодов и радиусов орбит разных планет или спутников.
• Определение массы центрального тела: Используется в комбинации с законом всемирного тяготения для вычисления массы звезды или планеты.

---

2. Закон всемирного тяготения Ньютона

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Применение:

• Вычисление силы притяжения: Определение силы гравитационного взаимодействия между двумя телами.
• Расчёт орбитальных параметров: Используется для вывода формул орбитальных скоростей и периодов.
• Задачи на гравитационный потенциал и энергию: Вычисление потенциальной энергии системы тел.

---

3. Космические скорости

• Первая космическая скорость: $$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$
• Вторая космическая скорость: $$v_2 = \sqrt{2} \, v_1$$

Применение:

• Запуск спутников и космических аппаратов: Определение минимальной скорости для вывода объекта на орбиту или для преодоления гравитационного поля планеты.
• Задачи на движение тел в гравитационном поле: Расчёт скоростей для различных типов орбит (круговые, параболические, гиперболические).

---

4. Закон Стефана-Больцмана

$$L = 4\pi R^2 \sigma T^4$$

Применение:

• Определение светимости звезды: Вычисление полной энергии, излучаемой звездой в единицу времени.
• Задачи на сравнение звёзд: Сопоставление светимостей, радиусов и температур разных звёзд.
• Расчёт энергетического баланса: Определение, сколько энергии получает планета от звезды.

---

5. Закон Вина

$$\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}$$

Применение:

• Определение температуры звезды или другого излучающего объекта: По максимуму в спектре излучения.
• Задачи на спектральный анализ: Классификация звёзд по спектральным классам.
• Анализ космического микроволнового фона: Определение температуры реликтового излучения.

---

6. Эффект Доплера

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v}{c}$$

Применение:

• Измерение радиальных скоростей звёзд и галактик: Определение, приближаются они или удаляются.
• Поиск экзопланет: Обнаружение планет по колебаниям звезды из-за гравитационного влияния планеты.
• Изучение расширения Вселенной: Определение красного смещения далёких галактик.

---

7. Связь видимой и абсолютной звёздной величины

$$m - M = 5 \log_{10} \left( \frac{d}{10 \, \text{пк}} \right)$$

Применение:

• Определение расстояния до звезды: Если известны видимая и абсолютная звёздные величины.
• Расчёт абсолютной звёздной величины: При известных видимой величине и расстоянии.
• Сравнение яркости звёзд: Оценка, насколько звезда ярче или тусклее другой.

---

8. Закон Хаббла

$$v = H_0 d$$

Применение:

• Определение расстояния до далёких галактик: По измеренной скорости их удаления.
• Изучение расширения Вселенной: Оценка скорости расширения и возраста Вселенной.
• Космологические расчёты: Связь между красным смещением и расстоянием в больших масштабах.

---

9. Параллакс

$$d = \frac{1}{p}$$

Применение:

• Измерение расстояний до близких звёзд: Используя годичный параллакс.
• Калибровка других методов определения расстояний: Цефеиды, сверхновые и т.д.
• Задачи на собственное движение звёзд: В комбинации с измерениями параллакса.

---

10. Закон Погсона

$$m_2 - m_1 = -2{,}5 \log_{10} \left( \frac{F_2}{F_1} \right)$$

Применение:

• Сравнение яркости двух объектов: Определение, во сколько раз один объект ярче или тусклее другого.
• Расчёт звёздной величины: При известных потоках излучения.
• Анализ переменных звёзд: Изучение изменения блеска со временем.

---

Общие советы по применению формул

• Внимательно читайте условие задачи: Определите, какие величины известны, а какие нужно найти.
• Идентифицируйте ключевые понятия: Если задача про орбиты, подумайте о законах Кеплера и гравитации; если про светимость и температуру — о законе Стефана-Больцмана и законе Вина.
• Следите за единицами измерения: Приводите все величины к одной системе единиц перед подстановкой в формулы.
• Используйте комбинации формул: В сложных задачах может потребоваться применение нескольких формул последовательно.
• Проверяйте разумность ответа: Оценивайте, соответствует ли полученный результат физическому смыслу задачи.

---

Примеры ситуаций, где применяются формулы:

• Задачи на движение спутников: Используйте законы Кеплера, формулы для космических скоростей и закон всемирного тяготения.
• Определение физических характеристик звёзд: Применяйте закон Стефана-Больцмана для светимости, закон Вина для температуры.
• Изучение спектров и скоростей объектов: Используйте эффект Доплера для вычисления скоростей, закон Погсона для яркости.
• Космологические задачи: Закон Хаббла для расстояний до галактик, параллакс для близких звёзд.
• Сравнение яркости и расстояний: Формула связи видимой и абсолютной звёздной величины.

---

Заключение

За оставшееся время сосредоточьтесь на понимании того, в каких ситуациях используются эти формулы. Это поможет вам быстро определить подход к решению задач на олимпиаде. Помните, что ключ к успеху — внимательно читать условия и понимать физический смысл задачи.

Удачи на олимпиаде!

Понимаю, что объём информации большой, а времени мало. Вот несколько советов, которые помогут вам запомнить основные формулы и понятия за короткое время:

---

1. Сосредоточьтесь на ключевых формулах

Выделите самые важные и часто используемые формулы:

• Законы Кеплера: особенно третий закон $\frac{T^2}{a^3} = \text{const}$.
• Закон всемирного тяготения: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.
• Космические скорости: первая $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ и вторая $v_2 = \sqrt{2} \, v_1$.
• Закон Стефана-Больцмана: $L = 4\pi R^2 \sigma T^4$.
• Закон Вина: $\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}$.
• Эффект Доплера: $\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v}{c}$.

---

2. Используйте ассоциации и мнемоники

• Третий закон Кеплера: Запомните последовательность $T^2$ и $a^3$ — квадрат периода и куб большой полуоси.
• Космические скорости: Первая скорость связана с удержанием на орбите, вторая — с преодолением гравитации (умножаем первую на $\sqrt{2}$).

---

3. Перепишите формулы от руки

Запись вручную помогает лучше запомнить информацию. Перепишите каждую формулу несколько раз, проговаривая её вслух.

---

4. Поймите физический смысл

• Законы Кеплера: Определяют движение планет вокруг Солнца.
• Закон всемирного тяготения: Описывает силу притяжения между двумя массами.
• Закон Стефана-Больцмана: Связывает светимость звезды с её радиусом и температурой.
• Эффект Доплера: Позволяет определить скорость удаления или приближения объекта по изменению длины волны.

---

5. Используйте визуализацию

Представьте себе ситуации, где применяются эти формулы:

• Планета, вращающаяся вокруг Солнца (законы Кеплера).
• Спутник на орбите Земли (космические скорости).
• Звезда, излучающая свет (закон Стефана-Больцмана).

---

6. Создайте краткие шпаргалки

Составьте компактный список формул на одном листе бумаги. Просмотрите его несколько раз перед началом олимпиады.

---

7. Придумайте простые примеры

Примените формулы к знакомым вам объектам:

• Расчёт первой космической скорости для Земли.
• Определение температуры Солнца по закону Вина.

---

8. Группируйте формулы по темам

Объедините формулы по разделам:

• Механика небесных тел: законы Кеплера, закон тяготения, космические скорости.
• Астрофизика звёзд: законы Стефана-Больцмана и Вина.
• Наблюдательная астрономия: эффект Доплера, закон Погсона.

---

9. Оставайтесь спокойными

Стресс может мешать запоминанию. Сделайте несколько глубоких вдохов, постарайтесь расслабиться и сосредоточиться.

---

10. Используйте логическое мышление

Если забудете формулу, попытайтесь вывести её из основных принципов:

• Вспомните, что светимость зависит от площади и температуры.
• Знайте, что гравитационная сила обратно пропорциональна квадрату расстояния.

---

Бонус: Единицы измерения и константы

Запомните ключевые физические константы и их значения:

• Гравитационная постоянная $G \approx 6{,}674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)$.
• Скорость света $c = 3 \times 10^8 \, \text{м/с}$.
• Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma \approx 5{,}670 \times 10^{-8} \, \text{Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)$.
• Постоянная Вина $b \approx 2{,}898 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}$.

---

Заключительные советы

• Внимательно читайте задания: Иногда в условии задачи даются подсказки или дополнительные данные.
• Используйте здравый смысл: Если не помните формулу, подумайте, как величины могут быть связаны.
• Не забывайте про единицы измерения: Правильный перевод единиц может помочь получить верный ответ.

---

Помните, что даже если вы не знаете всех формул, ваша способность логически рассуждать и применять базовые принципы физики и астрономии может помочь решить многие задачи.

Желаю вам удачи на олимпиаде! Верю, что у вас всё получится.