Нахождение N для фигур

To solve this problem, we need to compare the number of ways a 2×2 square and a P-pentomino can be placed within an $N \times N$ grid, considering all rotations and reflections.

Step 1: Calculate the number of ways to place a 2×2 square

The 2×2 square can be placed in any position where it fits within the grid. The number of positions it can occupy is: $\text{Total positions for 2×2 square} = (N - 1) \times (N - 1) = (N - 1)^2$

Step 2: Determine the orientations of the P-pentomino

The P-pentomino has 8 distinct orientations when considering rotations and reflections (4 rotations for each of its two mirror images).

Step 3: Calculate the number of ways to place the P-pentomino

For each orientation, the bounding box dimensions are either $2 \times 3$ or $3 \times 2$. The number of positions for each orientation is: $\text{Positions per orientation} = (N - \text{width} + 1) \times (N - \text{height} + 1)$

Since each orientation has dimensions of $2 \times 3$ or $3 \times 2$, the number of positions per orientation is: $\text{Positions per orientation} = (N - 2)(N - 3) \text{ or } (N - 3)(N - 2)$ $\text{Positions per orientation} = (N - 1)(N - 2)$

There are 8 orientations, so the total number of positions is: $\text{Total positions for P-pentomino} = 8 \times (N - 1)(N - 2)$

Step 4: Set up the equation based on the given ratio

Given that the number of ways to place the 2×2 square is 7 times less than the number of ways to place the P-pentomino: $8 \times (N - 1)(N - 2) = 7 \times (N - 1)^2$

Step 5: Solve for $N$

Divide both sides by $(N - 1)$: $8(N - 2) = 7(N - 1)$ Simplify: $8N - 16 = 7N - 7$ $N = 9$

Answer: 9

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти длину линии сгиба, по которой прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 10$ и $BC = 24$ сложен так, что вершина $D$ совпадает с вершиной $B$.

Шаг 1: Выбор системы координат

Расположим прямоугольник в декартовой системе координат:

• Точка $A(0, 0)$
• Точка $B(24, 0)$
• Точка $C(24, 10)$
• Точка $D(0, 10)$

Шаг 2: Определение линии сгиба

Линия сгиба является осью симметрии, по которой точка $D$ отражается в точку $B$. Это означает, что линия сгиба — это серединный перпендикуляр к отрезку $DB$.

Шаг 3: Нахождение середины отрезка $DB$

Координаты точек $D(0, 10)$ и $B(24, 0)$.

Находим середину $M$ отрезка $DB$:

$$M_x = \frac{0 + 24}{2} = 12, \quad M_y = \frac{10 + 0}{2} = 5$$

То есть, точка $M(12, 5)$ лежит на линии сгиба.

Шаг 4: Определение наклона линии сгиба

Вектор $\overrightarrow{DB} = (24 - 0, 0 - 10) = (24, -10)$.

Наклон прямой $DB$:

$$k_{DB} = \frac{-10}{24} = -\frac{5}{12}$$

Поскольку линия сгиба перпендикулярна $DB$, ее наклон:

$$k = -\frac{1}{k_{DB}} = -\frac{1}{-\frac{5}{12}} = \frac{12}{5}$$

Шаг 5: Уравнение линии сгиба

Используем точку $M(12, 5)$ и наклон $k = \frac{12}{5}$:

$$y - 5 = \frac{12}{5}(x - 12)$$

Шаг 6: Нахождение точек пересечения линии сгиба с прямоугольником

• Пересечение с нижней стороной $y = 0$:

$$0 - 5 = \frac{12}{5}(x - 12) \\ -5 = \frac{12}{5}(x - 12) \\ x - 12 = -\frac{25}{12} \\ x = 12 - \frac{25}{12} = \frac{119}{12}$$

Точка пересечения $P_1\left(\frac{119}{12},\ 0\right)$.

• Пересечение с верхней стороной $y = 10$:

$$10 - 5 = \frac{12}{5}(x - 12) \\ 5 = \frac{12}{5}(x - 12) \\ x - 12 = \frac{25}{12} \\ x = 12 + \frac{25}{12} = \frac{169}{12}$$

Точка пересечения $P_2\left(\frac{169}{12},\ 10\right)$.

Шаг 7: Вычисление длины линии сгиба

Разность координат:

$$\Delta x = \frac{169}{12} - \frac{119}{12} = \frac{50}{12} = \frac{25}{6} \\ \Delta y = 10 - 0 = 10$$

Длина линии сгиба $L$:

$$L = \sqrt{\left(\frac{25}{6}\right)^2 + 10^2} = \sqrt{\frac{625}{36} + 100} = \sqrt{\frac{625}{36} + \frac{3600}{36}} = \sqrt{\frac{4225}{36}} = \frac{65}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{\dfrac{65}{6}}$$