Расстояние между кругами

Question

Три круга радиусами 2, 4, 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и 4 касаются в точке А, а круги радиусом 4 и 6 в точке Б. Найдите расстояние АБ, умноженное на √5

Thought

Устанавливаю координаты

На данном этапе я определяю координаты центров трёх окружностей и расстояния между ними, используя их радиусы и внешние касания.

Размещение кругов

Пытаюсь разместить круги радиусов 2, 4 и 6 так, чтобы они касались внешне. Круг радиуса 4 ставлю в центр, а круги радиусов 2 и 6 – на расстоянии (2+4)=6 и (4+6)=10 единиц соответственно.

Определяем координаты

Я начинаю с координат центра C2 (0,0). Затем вычисляю координаты центров C1 и C3, зная расстояния между центрами и радиусы окружностей.

Задаюсь вопросом о расположении кругов C2 и C1. Поскольку радиус C2 равен 6, я устанавливаю его в начале координат. Затем я выбираю круг C1 дистанцией 6 единиц вправо от C2, на x=6.

Ищу расстояние

Определяю координаты точек A и B, которые находятся на пересечении окружностей C1, C2 и C3. Затем вычисляю расстояние между ними.

Определяю расположение окружностей

Рассматриваю расстояние между центрами окружностей. Отметка окасного радиуса начинает развиваться, что показывает, как охватывается пространство между элементами на плоскости.

Описание взаимного расположения окружностей и их касаний.

Расстановка координат

Я определяю координаты центра C1 и C2, а затем использую расстояния для нахождения координат центра C3, чтобы удовлетворить заданные условия.

Определяю координаты

Я вычитаю одно уравнение из другого, упростив и решив, нахожу, что x = 6. Подставляю x = 6 в первое уравнение и получаю два значения y: 8 и -8.

Выявляю контактные точки

Сейчас я определяю точку B как точку соприкосновения окружностей C2 и C3, которая находится на линии, соединяющей их центры, на расстоянии r2 от C2 и r3 от C3.

Определяю вектор

Рассматриваю вектор от C2 до C3, вычисляю его направление и масштабный вектор, который затем использую для нахождения координат точки B, находящейся на линии между C2 и C3.

Определяю местоположение

Я вычисляю координаты точки B, используя вектор и масштабирую его на 4, чтобы понять, где она находится. Получаются две точки: (2.4, 3.2) и (2.4, -3.2).

Answer

Чтобы решить задачу, давайте визуализируем ситуацию и введём систему координат.

Шаг 1: Расположение кругов

Установим центр круга радиуса 4 в начале координат: $C_2(0, 0)$ .
Круг радиуса 2 ( $C_1$ ) касается круга радиуса 4 в точке $A$ и находится на расстоянии $r_1 + r_2 = 2 + 4 = 6$ от центра $C_2$ . Разместим его центр на оси $x$ в точке $C_1(6, 0)$ .
Круг радиуса 6 ( $C_3$ ) касается круга радиуса 4 в точке $B$ и находится на расстоянии $r_2 + r_3 = 4 + 6 = 10$ от центра $C_2$ . Его центр будет в точке $C_3(6, 8)$ или $C_3(6, -8)$ , поскольку расстояние между $C_1$ и $C_3$ должно быть $r_1 + r_3 = 2 + 6 = 8$ .

Шаг 2: Нахождение точек касания

Точка $A$ находится на прямой между центрами $C_1$ и $C_2$ на расстоянии $r_2 = 4$ от $C_2$ . Поэтому её координаты: $A(4, 0)$ .
Точка $B$ находится на прямой между центрами $C_2$ и $C_3$ на расстоянии $r_2 = 4$ от $C_2$ . Направляющий вектор от $C_2$ к $C_3(6, 8)$ нормализуем: $u = \left( \frac{6}{10}, \frac{8}{10} \right) = (0{,}6; 0{,}8)$ Тогда координаты точки $B$ : $B = C_2 + 4u = (0 + 4 \times 0{,}6; 0 + 4 \times 0{,}8) = (2{,}4; 3{,}2)$

Шаг 3: Вычисление расстояния между точками $A$ и $B$

Вычисляем квадрат расстояния: $AB^2 = (2{,}4 - 4)^2 + (3{,}2 - 0)^2 = (-1{,}6)^2 + (3{,}2)^2 = 2{,}56 + 10{,}24 = 12{,}8$
Следовательно, расстояние $AB = \sqrt{12{,}8} = \frac{8}{\sqrt{5}}$ .

Шаг 4: Умножение на $\sqrt{5}$

AB \times \sqrt{5} = \frac{8}{\sqrt{5}} \times \sqrt{5} = 8

Ответ: 8.

Ответ: 8

Question

Thought

Answer

Share this Q&A