Факториал отрицательных чисел

Факториал положительного целого числа $n$, обозначаемый как $n!$, определяется как произведение всех положительных целых чисел от 1 до $n$:

$$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$$

Для натуральных чисел это определение имеет смысл, поскольку мы перемножаем конечное количество положительных целых чисел. Однако для отрицательных целых чисел такое произведение невозможно, так как нет последовательности положительных целых чисел от 1 до отрицательного числа.

Более того, при попытке обобщить факториал на отрицательные числа с помощью гамма-функции (которая является продолжением факториала на вещественные и комплексные числа), мы сталкиваемся с проблемой. Гамма-функция $\Gamma(n)$ определена для всех комплексных чисел, кроме отрицательных целых чисел и нуля, где она имеет полюсы (то есть значения стремятся к бесконечности):

$$n! = \Gamma(n + 1)$$

В точках отрицательных целых чисел гамма-функция не определена, что означает, что факториал для этих значений не существует. Это связано с тем, что при вычислении факториала отрицательного целого числа возникают бесконечности или неопределенности.

Таким образом, несмотря на то, что мы можем умножать отрицательные числа между собой, факториал отрицательного целого числа не определен из-за математических свойств функции факториала и ее обобщений.