Признак деления на 7

Объясняю правило делимости

Я описываю правило делимости числа на 7, объясняя процесс удвоения последней цифры и вычитания результата из оставшейся части числа.

Использование метода делимости

Похоже, что удвоение последней цифры и вычитание из оставшейся зоны описывают делимость на 7. Интересно, как это действует на примере.

Признак деления на 7:

Чтобы определить, делится ли число на 7, можно воспользоваться следующим правилом:

1. Удвоить последнюю цифру числа.
2. Отнять полученное число от оставшейся части исходного числа.
3. Если результат делится на 7 (или равен 0), то исходное число делится на 7.

Пример 1:

Проверим число 203.

1. Последняя цифра: 3. Удваиваем: $3 \times 2 = 6$.
2. Отнимаем от оставшейся части: $20 - 6 = 14$.
3. 14 делится на 7, значит, 203 делится на 7.

Пример 2:

Проверим число 371.

1. Последняя цифра: 1. Удваиваем: $1 \times 2 = 2$.
2. Отнимаем от оставшейся части: $37 - 2 = 35$.
3. 35 делится на 7, значит, 371 делится на 7.

Этот процесс можно повторять, если полученное число всё ещё слишком велико для быстрой оценки.

Соблюдение правил

Использование правил

Ок, давайте посмотрим. Применяю правило делимости на 13: умножаю последнюю цифру на 4 или на 9, затем проверяю, делится ли результат на 13.

Проверяю делимость

Я исследую правила делимости на 13, умножая последнюю цифру на 4 и прибавляя к остатку числа, чтобы определить делимость.

Разбирайся с числом

Умножаю первую цифру на 4, добавляю остаток и проверяю делимость.

Проверяю делимость

Я оцениваю делимость на 13, умножая последнюю цифру на 4 и складывая с остальными цифрами. Если результат делится на 13, исходное число делится на 13.

Признак делимости на 13:

Чтобы определить, делится ли число на 13, можно воспользоваться следующим правилом:

1. Умножьте последнюю цифру числа на 4.
2. Сложите полученное число с оставшейся частью исходного числа.
3. Если результат делится на 13 (или равен 0), то исходное число делится на 13.

Пример 1:

Проверим число 858.

1. Последняя цифра: 8. Умножаем: $8 \times 4 = 32$.
2. Складываем с оставшейся частью: $85 + 32 = 117$.
3. 117 делится на 13 (поскольку $13 \times 9 = 117$), значит, 858 делится на 13.

Пример 2:

Проверим число 1001.

1. Последняя цифра: 1. Умножаем: $1 \times 4 = 4$.
2. Складываем с оставшейся частью: $100 + 4 = 104$.
3. 104 делится на 13 (поскольку $13 \times 8 = 104$), значит, 1001 делится на 13.

Если полученный результат всё ещё велик, процесс можно повторить с новым числом, чтобы упростить проверку.

Признак делимости на 17

Проверяю соответствие

Я проверяю, что ответ соответствует политикам, включая точность и исключение запрещенного контента. Признак делимости на 17 описывается с примерами, чтобы лучше понять.

Проверяю делимость

Окей, давайте разберемся с примером делимости на 17. Умножаю последнюю цифру на 5 и вычитаю из числа, чтобы понять, делится ли результат на 17.

Признак делимости на 17:

Чтобы определить, делится ли число на 17, можно использовать следующий метод:

1. Умножьте последнюю цифру числа на 5.
2. Вычтите полученное число из оставшейся части исходного числа.
3. Если результат делится на 17 (или равен 0), то исходное число делится на 17.

Пример 1:

Проверим число 289.

1. Последняя цифра: 9. Умножаем: $9 \times 5 = 45$.
2. Вычитаем из оставшейся части: $28 - 45 = -17$.
3. $-17$ делится на 17, значит, 289 делится на 17.

Пример 2:

Проверим число 867.

1. Последняя цифра: 7. Умножаем: $7 \times 5 = 35$.
2. Вычитаем из оставшейся части: $86 - 35 = 51$.
3. 51 не делится на 17, значит, 867 не делится на 17.

Пример 3:

Проверим число 1020.

1. Последняя цифра: 0. Умножаем: $0 \times 5 = 0$.
2. Вычитаем из оставшейся части: $102 - 0 = 102$.
3. $102$ делится на 17 ($17 \times 6 = 102$), значит, 1020 делится на 17.

Если полученное число всё ещё велико, процесс можно повторить с новым числом для упрощения проверки.

Проясняя вопрос

Размышляю над контекстом

Я думаю о "Proof of Fermat's theorem". Возможно, речь идет о "Proof of Fermat's Little Theorem", но также можно рассматривать "Великой теоремы Ферма". Фокус на дамо оси реа ри пользователем.

Уточняю детали

Я смотрю, подтверждение теоремы Ферма будет предоставлено, если это запрос пользователя. Важно уточнить, речь идет о Малой или Великой теореме Ферма.

машины продолжают подтверждать

Ферматова малая теорема выражает, что если простое $p$ делит $a^{p-1} - 1$, то действительно $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$.

Доказательство Малой теоремы Ферма

Теорема:

Если $p$ — простое число и $a$ — целое число, не делящееся на $p$, то выполняется сравнение:

$$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$$

Доказательство:

1. Рассмотрим множество остатков:

Поскольку $a$ и $p$ взаимно просты (так как $p$ — простое и $a \not\equiv 0 \mod p$), числа $a, 2a, 3a, \ldots, (p-1)a$ при делении на $p$ дают остатки, которые являются перестановкой чисел от 1 до $p-1$.

2. Запишем произведение этих чисел:

С одной стороны:

$$a \cdot 2a \cdot 3a \cdots (p-1)a = a^{p-1} \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1))$$

С другой стороны, поскольку остатки при делении на $p$ являются перестановкой чисел от 1 до $p-1$, их произведение сравнимо с произведением $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1) \mod p$:

$$a \cdot 2a \cdot 3a \cdots (p-1)a \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1) \mod p$$

3. Получаем равенство:

$$a^{p-1} \cdot (p-1)! \equiv (p-1)! \mod p$$

4. Сокращаем на $(p-1)!$:

Поскольку $(p-1)!$ и $p$ взаимно просты (все множители $(p-1)!$ меньше $p$), мы можем сократить на $(p-1)!$:

$$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$$

Что и требовалось доказать.

---

Пример использования теоремы:

Пусть $a = 2$ и $p = 7$:

$$2^{7-1} = 2^6 = 64$$

Проверим сравнение:

$$64 \mod 7 = 64 - 7 \times 9 = 64 - 63 = 1$$

Получаем $64 \equiv 1 \mod 7$, что подтверждает теорему.

Размышляю о доказательстве

Я думаю о доказательстве большой теоремы Ферма. Оказывается, это была трудная задача, которую решил Эндрю Уайлс в 1994 году.

Раскрываю сведения

Примечаю, что полный процесс доведения теоремы выходит за рамки ответа, и на данный момент мы обсуждаем её вкратце.

Уточняю детали

Андрей Уайлс доказал теорему, используя технику эллиптических кривых и модульных форм.

Идея доказательства

Я нахожу, что Великой теоремы Ферма требует обращения к алгебраической геометрии и теории чисел, а не прямого доказательства.

Доказательство Великой теоремы Ферма

Формулировка теоремы:

Для целых чисел $n > 2$ уравнение:

$$a^n + b^n = c^n$$

не имеет ненулевых целочисленных решений $a$, $b$, $c$.

Исторический контекст:

Великая теорема Ферма была сформулирована Пьером де Ферма в 1637 году. Он отметил на полях книги, что имеет "поистине замечательное доказательство", но поля книги недостаточно велики для его изложения. На протяжении более 350 лет эта теорема оставалась недоказанной, становясь одной из самых знаменитых проблем в математике.

Доказательство Эндрю Уайлса:

В 1994 году британский математик Эндрю Уайлс представил доказательство Великой теоремы Ферма, опираясь на современные методы алгебраической геометрии и теории чисел. Доказательство было опубликовано в журнале "Annals of Mathematics" в 1995 году после небольшой доработки совместно с Ричардом Тейлором.

Основные идеи доказательства:

1. Гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля:

   Эта гипотеза связывает эллиптические кривые над полем рациональных чисел с модулярными формами. В частности, она утверждает, что каждая рациональная эллиптическая кривая является модулярной.

2. Связь с уравнением Ферма:

   Кен Рибет доказал, что если существует не тривиальное решение уравнения Ферма для степени $n > 2$, то существует определенная эллиптическая кривая, которая не является модулярной. Это известно как теорема Рибета.

3. Доказательство модулярности:

   Уайлс сфокусировался на доказательстве того, что определенный класс эллиптических кривых действительно являются модулярными. Это означало, что предположение о существовании не модулярной кривой (возникающей из гипотетического решения уравнения Ферма) приводит к противоречию.

4. Использование теории деформаций:

   Для доказательства модулярности Уайлс разработал новые методы в теории деформаций гальвовых представлений, которые позволили ему связать свойства эллиптических кривых с модулярными формами.

Заключение:

Доказательство Уайлса показало, что все рациональные эллиптические кривые являются модулярными в рассматриваемом случае, что в сочетании с теоремой Рибета приводит к невозможности существования ненулевых целочисленных решений уравнения Ферма для $n > 2$.

Примечание:

Полное понимание доказательства Уайлса требует глубокого знания современной алгебраической геометрии, теории чисел и модульных форм. Доказательство занимает несколько сотен страниц и является одним из самых сложных в математике. Тем не менее, его значимость не только в решении древней проблемы, но и в развитии новых методов и идей, которые продолжают влиять на современные исследования в математике.