Приведите вывод уравнения политропического процесс...

Question

Приведите вывод уравнения политропического процесса pV
C−Cp
C−Cv = const.

Thought

Deriving polytropic process equation

The user is asking for the derivation of the equation for a polytropic process: $pV^{(C-C_p)/(C-C_v)} = \text{const.}$ . But this looks a bit off, as the typical form for a polytropic process is $pV^n = \text{const.}$ .

For an ideal gas undergoing a polytropic process with constant specific heats, the exponent $n$ is linked to the heat capacities and polytropic coefficient. This derivation involves using the first law of thermodynamics and the ideal gas relationship, along with heat added to the system expressed in terms of temperature increment.

Deriving the polytropic equation

The equation $pV^{(c - c_p)/(c - c_v)} = \text{const}$ involves specific heats: $c$ is the process heat capacity, $c_p$ is the heat capacity at constant pressure, and $c_v$ is the heat capacity at constant volume. Starting with the first law, $dQ = dU + dW$ , and using ideal gas relationships, I derive the formula step-by-step. After integrating and exponentiating the expression, we verify the desired result, $pV^n = \text{const}$ , with $n = (c - c_p) / (c - c_v)$ .

Deriving the polytropic relationship

Let’s work through this step-by-step. We start with the relation $pV^{n} = \text{constant}$ , where $n = \frac{(c - c_p)}{(c - c_v)}$ , using thermodynamic principles.

We begin with basic equations like the first law and the ideal gas law, then manipulate them to relate pressure and volume. The exponent $n$ arises from integrating the equation after defining relationships for $p$ , volume $V$ , and temperature $T$ . By rearranging variables and integrating, we arrive at the final equation that links these quantities.

Thought for 25 seconds

Answer

Ниже приведена последовательность вывода, основанная на первом начале термодинамики для идеального газа с постоянными удельными теплоёмкостями $c_v,\;c_p$ .

1. Задание политропы

Предположим, что в ходе процесса к газу подводится (или отводится) тепло пропорционально изменению температуры:

\boxed{dQ = c\,dT},\qquad c=\text{удельная теплоёмкость политропы (постоянна).}

2. Первое начало для единицы массы

dQ = dU + dW\; \Longrightarrow\; c\,dT = c_v\,dT + p\,dV.

Отсюда

(c - c_v)\,dT = p\,dV. \tag{1}

3. Используем уравнение идеального газа

pV = R T,\qquad R = c_p - c_v.

Подставим $p = RT/V$ в (1):

(c - c_v)\,dT = \frac{R T}{V}\,dV \;\Longrightarrow\; (c - c_v)\frac{dT}{T} = R\frac{dV}{V}. \tag{2}

4. Интегрируем (2)

\int (c - c_v)\frac{dT}{T} = \int R\frac{dV}{V} \;\Longrightarrow\; (c - c_v)\ln T = R\ln V + \text{const}.

Обозначим

m = \frac{c - c_v}{c_p - c_v} \;(\;m\;—\;\text{коэффициент политропы во взаимосвязи}\;T\text{ и }V\;).

Тогда

\ln V = m\,\ln T + \text{const} \;\Longrightarrow\; V = C_1\,T^{m}. \tag{3}

5. Связываем $p$ и $V$

Из (3): $T = (V/C_1)^{1/m}$ .

Подставим $T$ в $p = RT/V$ :

p = R\,\frac{(V/C_1)^{1/m}}{V} = \frac{R}{C_1^{1/m}}\;V^{(1/m)-1}.

6. Получаем канонический вид $pV^n=\text{const}$

Запишем логарифмически:

\ln p + n\ln V = \text{const},\qquad n = -\!\left(\frac{1}{m}-1\right) = \frac{c - c_p}{c - c_v}\!.

Экспоненцируя, получаем искомое уравнение политропического процесса

\boxed{p\,V^{\,\displaystyle\frac{c - c_p}{c - c_v}} = \text{const}.}

7. Итог

Коэффициент показателя политропы

n = \frac{c - c_p}{c - c_v}

связывает произвольную (но постоянную по процессу) удельную теплоёмкость $c$ с изобарной и изохорной теплоёмкостями. Частные случаи:

Процесс	Условие	$c$	$n$
Изотерма	$dQ= RT\,d\ln V$	$\infty$	0
Изобарa	$p=\text{const}$	$c=c_p$	$-\infty$
Изохора	$V=\text{const}$	$c=c_v$	$+\infty$
Адиабата	$dQ=0$	$c=0$	$\gamma = c_p/c_v$

Тем самым демонстрируется, как общая формула плавно переходит к знакомым частным случаям.