下面我把“线性方程组”按一轮复习的逻辑链系统梳理一遍。核心目标不是背结论，而是建立一个统一认识：

线性方程组研究的本质，是：一个向量 $b$ 能不能由矩阵 $A$ 的列向量线性表示；如果能，这种表示有多少种。

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1. 核心直觉：线性方程组到底在研究什么？

一般线性方程组写成

$$\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}$$

矩阵形式是

$$Ax=b.$$

其中

$$A= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}, \qquad x= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}.$$

理解它，有两个非常重要的视角。

视角一：几何——若干超平面的公共交点

每一个线性方程

$$a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b$$

在 $n$ 维空间中代表一个“超平面”。

例如，在二维空间中：

$$a_1x+a_2y=b$$

是一条直线。

所以两个二元一次方程，就是在问：

两条直线有没有交点？有几个交点？

可能：

• 相交：唯一解；
• 平行：无解；
• 重合：无穷多解。

到了三维，方程对应平面；更高维则对应超平面。

因此：

$$\boxed{\text{解集}=\text{所有方程所代表超平面的公共交集}}$$

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视角二：代数——$b$ 能否由 $A$ 的列向量表示

设矩阵 $A$ 的列向量为

$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n).$$

则

$$Ax=b$$

实际上就是

$$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=b.$$

所以问题变成：

$b$ 能不能由 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性表示？

如果不能表示：

$$\boxed{\text{无解}}$$

如果能表示，还要问这种表示方式是否唯一：

• 只有一种表示：唯一解；
• 有多种表示：无穷多解。

这就是整章最重要的主线。

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2. 知识地图

这一章可以压缩成下面这条链：

$$\boxed{ \text{方程组} \longrightarrow \text{增广矩阵} \longrightarrow \text{初等行变换} \longrightarrow \text{阶梯形} \longrightarrow \text{秩} \longrightarrow \text{判断有无解} \longrightarrow \text{求解结构} }$$

进一步分成六个核心模块：

1. 线性方程组与增广矩阵
   把方程组转化成矩阵问题。

2. 高斯消元
   用初等行变换把复杂方程组变简单。

3. 矩阵的秩
   衡量矩阵中真正独立、真正有效的信息量。

4. 一般线性方程组的有解判定
   比较

   $$r(A),\qquad r(A|b).$$

5. 齐次方程组 $Ax=0$
   一定有解；重点研究解空间维数和基础解系。

6. 非齐次方程组 $Ax=b$
   若有解，则

   $$\boxed{\text{通解}=\text{一个特解}+\text{对应齐次方程组的通解}}.$$

这六块实际上是一件事的不同侧面。

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3. 逻辑链展开

3.1 线性方程组与增广矩阵

考虑方程组

$$\begin{cases} x+2y-z=3\\ 2x+y+z=4 \end{cases}$$

系数矩阵为

$$A= \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 2&1&1 \end{pmatrix},$$

右端向量为

$$b= \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}.$$

于是

$$Ax=b.$$

增广矩阵为

$$(A|b)= \left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&3\\ 2&1&1&4 \end{array} \right).$$

为什么要引入增广矩阵？

因为解方程过程中，我们真正关心的是：

各个方程之间如何进行线性组合。

把系数和右端项一起写进矩阵以后，整个消元过程就可以统一地用初等行变换完成。

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3.2 高斯消元：为什么可以做行变换？

允许三种初等行变换：

$$\begin{aligned} &\text{① 交换两行};\\ &\text{② 某一行乘非零常数};\\ &\text{③ 某一行加上另一行的若干倍}. \end{aligned}$$

为什么这些操作不会改变方程组的解？

因为它们对应的都是方程组中的等价操作。

例如

$$\begin{cases} x+y=2\\ x-y=0 \end{cases}$$

把第二个方程减去第一个方程，得到

$$-2y=-2.$$

这没有创造新条件，也没有丢掉原来的条件，只是把原有条件换了一种表达方式。

所以：

$$\boxed{\text{初等行变换不改变方程组的解集}}$$

这就是高斯消元合法性的根本原因。

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行阶梯形

经过消元后，矩阵可能化成

$$\begin{pmatrix} 1&2&0&3\\ 0&1&4&2\\ 0&0&1&5\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

它具有“楼梯”结构：

• 零行在下面；
• 每一非零行第一个非零元素的位置比上一行靠右。

这样的矩阵称为行阶梯形矩阵。

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行最简形

如果进一步要求：

• 每个主元都是 $1$；
• 主元所在列其他位置全是 $0$；

则得到行最简形，例如

$$\begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&1&3\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

行最简形最大的优点是：

解几乎可以直接读出来。

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3.3 矩阵的秩：真正起作用的方程有几个？

秩可以有很多定义。一轮复习阶段最实用的理解是：

$$\boxed{r(A)=A\text{经过初等行变换后非零行的个数}}$$

也等于：

$$\boxed{\text{阶梯形矩阵中主元的个数}}$$

例如

$$A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&4&6\\ 1&1&1 \end{pmatrix}.$$

第二行其实是第一行的 $2$ 倍。

因此三个方程中，并不是三个都提供了新的独立信息。

消元后可能得到

$$\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&-1&-2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

所以

$$r(A)=2.$$

人话理解

矩阵虽然有三行，但真正相互独立、有用的信息只有两条。

因此可以把秩理解为：

$$\boxed{\text{秩}=\text{有效约束的数量}}$$

这虽然不是严格定义，但非常有助于理解。

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3.4 解的存在唯一性定理

考虑

$$Ax=b,$$

其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，未知数有 $n$ 个。

最核心定理是：

$$\boxed{ Ax=b\text{ 有解} \iff r(A)=r(A|b) }$$

为什么？

因为 $A$ 表示左边已有的信息，$(A|b)$ 多加入了一列 $b$。

如果加入 $b$ 后秩突然增加：

$$r(A)<r(A|b),$$

说明 $b$ 带来了一个原来的列向量无法表示的新方向。

也就是：

$$b\notin \operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}.$$

所以不存在 $x$ 使

$$Ax=b.$$

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三种情况

设

$$r(A)=r,\qquad A\text{ 有 }n\text{ 列}.$$

情况一

$$\boxed{r(A)<r(A|b)}$$

则

$$\boxed{\text{无解}}$$

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情况二

$$\boxed{r(A)=r(A|b)=n}$$

则

$$\boxed{\text{唯一解}}$$

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情况三

$$\boxed{r(A)=r(A|b)<n}$$

则

$$\boxed{\text{无穷多解}}$$

并且自由未知数个数为

$$\boxed{n-r(A)}.$$

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4. 核心定理：“标准形式”+“人话翻译”

定理一：有解判定

标准形式

$$\boxed{ Ax=b\text{ 有解} \iff r(A)=r(A|b) }$$

人话翻译

加入右端常数以后，不能冒出新的矛盾。

如果消元后出现

$$(0,0,\dots,0|c),\qquad c\neq0,$$

就对应

$$0=c,$$

显然矛盾，因此无解。

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定理二：唯一解

标准形式

设有 $n$ 个未知数：

$$\boxed{ r(A)=r(A|b)=n \Rightarrow \text{唯一解} }$$

人话翻译

所有未知数都被有效方程彻底锁死，没有任何一个变量可以自由取值。

可以理解为：

有效条件刚好足够把 $n$ 个未知数全部确定。

注意，“方程个数等于未知数个数”本身并不够。

真正重要的是：

$$\boxed{\text{独立方程的个数}=n}$$

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定理三：无穷多解

标准形式

$$\boxed{ r(A)=r(A|b)=r<n }$$

则方程组有无穷多解，自由未知数个数为

$$\boxed{n-r}.$$

人话翻译

虽然方程组没有矛盾，但有效条件不够，所以有一些未知数没有被锁死，可以自由活动。

每多一个自由变量，就多一个“自由方向”。

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5. 齐次线性方程组

齐次方程组是

$$\boxed{Ax=0}.$$

它有一个非常特殊的性质：

$$x=0$$

永远是解。

因此：

$$\boxed{\text{齐次线性方程组永远不会无解}}$$

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什么时候只有零解？

设 $A$ 有 $n$ 列。

标准形式

$$\boxed{ Ax=0\text{ 只有零解} \iff r(A)=n }$$

人话翻译

所有未知数都被限制住了，没有自由变量。

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什么时候有非零解？

标准形式

$$\boxed{ Ax=0\text{ 有非零解} \iff r(A)<n }$$

特别地，如果

$$m<n,$$

即方程数少于未知数个数，则

$$r(A)\le m<n,$$

所以一定有

$$r(A)<n.$$

因此：

$$\boxed{ m<n \Rightarrow Ax=0\text{ 一定存在非零解} }$$

这是非常常见的选择题结论。

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6. 齐次方程组的解空间

假设

$$Ax=0.$$

如果 $x^{(1)},x^{(2)}$ 都是解，则

$$A(x^{(1)}+x^{(2)}) = Ax^{(1)}+Ax^{(2)} = 0.$$

又因为对任意数 $k$，

$$A(kx^{(1)})=kAx^{(1)}=0.$$

所以所有解构成一个线性空间，称为：

$$\boxed{\text{齐次方程组的解空间}}$$

也称 $A$ 的零空间：

$$N(A)=\{x:Ax=0\}.$$

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自由变量个数

若 $A$ 有 $n$ 列，且

$$r(A)=r,$$

则主变量有 $r$ 个，自由变量有

$$\boxed{n-r}.$$

这不是巧合，而是著名的秩-零化度关系：

$$\boxed{ \dim N(A)=n-r(A) }$$

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7. 基础解系

如果齐次方程组有无穷多解，就希望用尽量少的几个向量表示所有解。

例如解写成

$$x = s \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}.$$

那么

$$\eta_1= \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix}, \qquad \eta_2= \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}$$

就是一个基础解系。

严格地说，一组向量

$$\eta_1,\dots,\eta_k$$

是齐次方程组的基础解系，需要满足：

1. 每个 $\eta_i$ 都是解；
2. $\eta_1,\dots,\eta_k$ 线性无关；
3. 所有解都可以由它们线性表示。

因此：

$$\boxed{ \text{基础解系中的向量个数} = n-r(A) }$$

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人话理解

基础解系就是：

找到解空间中最少的一组“基本运动方向”，所有解都可以沿这些方向组合出来。

比如一个平面过原点，那么只需要两个不共线的方向向量就能描述整个平面。

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8. 非齐次线性方程组的解结构

现在考虑

$$Ax=b.$$

假设它有一个特解

$$x_0.$$

如果 $x$ 也是任意一个解，则

$$Ax=b, \qquad Ax_0=b.$$

两式相减：

$$A(x-x_0)=0.$$

所以

$$x-x_0$$

一定是齐次方程

$$Ax=0$$

的解。

于是

$$\boxed{ x=x_0+\xi }$$

其中

$$A\xi=0.$$

因此得到本章最漂亮的结构公式：

$$\boxed{ \text{非齐次通解} = \text{一个特解} + \text{对应齐次方程组通解} }$$

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为什么是这个结构？

可以把齐次解空间想象成一个“方向集合”。

非齐次方程组的解集，就是把整个齐次解空间从原点平移到某个特解 $x_0$。

例如在三维空间：

• $Ax=0$ 的解可能是一条过原点的直线；
• $Ax=b$ 的解则可能是一条不经过原点、但与它平行的直线。

所以：

$$\boxed{\text{齐次解决定方向，特解决定位置}}$$

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9. 一个含参数例子完整走一遍

讨论参数 $a$ 取何值时，下列方程组有唯一解、无解或无穷多解，并在有无穷多解时求通解：

$$\begin{cases} x+y+z=1,\\ x+2y+3z=2,\\ 2x+3y+(a+4)z=4. \end{cases}$$

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第一步：写增广矩阵

$$(A|b)= \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 1&2&3&2\\ 2&3&a+4&4 \end{array} \right).$$

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第二步：高斯消元

做

$$R_2\leftarrow R_2-R_1,$$ $$R_3\leftarrow R_3-2R_1.$$

得到

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 0&1&2&1\\ 0&1&a+2&2 \end{array} \right).$$

再做

$$R_3\leftarrow R_3-R_2,$$

得到

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 0&1&2&1\\ 0&0&a&1 \end{array} \right).$$

现在所有参数讨论都集中到了最后一行。

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情况一：$a\neq0$

最后一个方程是

$$az=1.$$

所以

$$z=\frac1a.$$

三个主元都存在，因此

$$r(A)=r(A|b)=3=n.$$

所以：

$$\boxed{a\neq0\text{ 时有唯一解}}$$

继续回代：

$$y+2z=1,$$

所以

$$y=1-\frac2a.$$

第一式：

$$x+y+z=1,$$

所以

$$x = 1-y-z = \frac1a.$$

故唯一解为

$$\boxed{ (x,y,z) = \left( \frac1a,\, 1-\frac2a,\, \frac1a \right) }$$

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情况二：$a=0$

最后一行变为

$$(0,0,0|1).$$

也就是说出现了

$$0=1.$$

显然矛盾。

此时

$$r(A)=2, \qquad r(A|b)=3.$$

所以

$$\boxed{a=0\text{ 时无解}}$$

这个例子没有出现无穷多解。

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10. 再稍微改一下：什么时候会出现无穷多解？

为了把三种情形一次看全，考虑

$$\begin{cases} x+y+z=1,\\ x+2y+3z=2,\\ 2x+3y+(a+4)z=b. \end{cases}$$

同样消元后得到

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 0&1&2&1\\ 0&0&a&b-3 \end{array} \right).$$

于是立刻分情况：

$a\neq0$

有第三个主元，

$$r(A)=r(A|b)=3.$$

所以唯一解。

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$a=0,\ b\neq3$

最后一行为

$$(0,0,0|b-3), \qquad b-3\neq0.$$

得到矛盾式

$$0=b-3.$$

因此

$$r(A)<r(A|b),$$

无解。

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$a=0,\ b=3$

最后一行全为零：

$$(0,0,0|0).$$

于是

$$r(A)=r(A|b)=2<3.$$

因此有无穷多解。

这时候方程化为

$$\begin{cases} x+y+z=1,\\ y+2z=1. \end{cases}$$

令自由变量

$$z=t.$$

则

$$y=1-2t.$$

进而

$$x = 1-y-z = t.$$

所以

$$\boxed{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}, \qquad t\in\mathbb R. }$$

你可以非常清楚地看到：

$$\underbrace{ \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} }_{\text{非齐次方程的一个特解}} + t \underbrace{ \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} }_{\text{齐次方程的基础解}}$$

正好就是

$$\boxed{\text{特解}+\text{齐次通解}}.$$

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11. 参数题最重要的做题套路

看到含参数线性方程组，不要一开始就在原方程中疯狂讨论。

通常采用：

$$\boxed{ \text{写增广矩阵} \rightarrow \text{消元} \rightarrow \text{尽量把参数赶到右下角} \rightarrow \text{讨论参数是否为 }0 }$$

特别关注消元后有没有出现类似：

$$(0,\dots,0\,|\,c).$$

如果

$$c\neq0,$$

立即：

$$\boxed{\text{无解}}$$

如果整行全零，则意味着这一个方程其实是多余的，不增加秩。

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12. 总结表

秩的情况	解的情况	代数意义	几何意义	常见题型	易错点
$r(A)<r(A	b)$	无解	$b$ 不能由 $A$ 的列向量线性表示	超平面没有公共交点	参数取何值无解
$r(A)=r(A	b)=n$	唯一解	无自由变量	公共交集是一个点	唯一解条件、参数讨论
$r(A)=r(A	b)<n$	无穷多解	有 $n-r(A)$ 个自由变量	公共交集是一条线、平面或更高维仿射子空间	求通解
齐次 $Ax=0,\ r(A)=n$	只有零解	列向量线性无关	解空间只有原点	判断非零解	忘记齐次方程永远至少有零解
齐次 $Ax=0,\ r(A)<n$	有非零解，且无穷多解	存在自由变量	解空间维数 $n-r(A)$	基础解系	基础解系向量个数写成 $r(A)$
非齐次有解	特解 + 齐次通解	所有解之差属于 $N(A)$	齐次解空间的平移	已知特解求通解	特解本身不是基础解系

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13. 最值得形成的几个条件反射

做题时，建议把以下关系练到“看到就能反应”。

① 出现

$$0=非零数$$

立刻想到：

$$\boxed{\text{无解}}$$

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② 问“方程组有没有解”

首先想到：

$$\boxed{r(A)=r(A|b)}$$

而不是先想着算行列式。

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③ 问“唯一解”

想到：

$$\boxed{r(A)=r(A|b)=n}$$

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④ 问“齐次方程组是否有非零解”

想到：

$$\boxed{r(A)<n}$$

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⑤ 问“基础解系有几个向量”

想到：

$$\boxed{n-r(A)}$$

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⑥ 问“非齐次通解”

想到：

$$\boxed{x=x_0+\xi,\quad A\xi=0}$$

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14. 五道一轮复习自测题

第1题：判断解的情况

已知线性方程组有 $4$ 个未知数，并且

$$r(A)=r(A|b)=3.$$

问方程组有多少个解？有几个自由变量？

答案提示

因为

$$r(A)=r(A|b),$$

所以有解；又因为

$$3<4,$$

所以有无穷多解。

自由变量个数：

$$4-3=1.$$

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第2题：齐次方程组

设

$$A$$

是一个 $3\times5$ 矩阵。

证明齐次方程组

$$Ax=0$$

一定存在非零解。

答案提示

因为

$$r(A)\le3<5.$$

因此

$$r(A)<n.$$

自由变量至少有

$$5-r(A)\ge2.$$

所以必有非零解。

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第3题：求基础解系

求齐次方程组

$$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ x_2+2x_3+x_4=0 \end{cases}$$

的基础解系。

答案提示

从第二式：

$$x_2=-2x_3-x_4.$$

代入第一式：

$$x_1=x_3.$$

令

$$x_3=s,\qquad x_4=t.$$

则

$$x= s \begin{pmatrix} 1\\-2\\1\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\-1\\0\\1 \end{pmatrix}.$$

因此一个基础解系是

$$\boxed{ \left\{ \begin{pmatrix} 1\\-2\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\-1\\0\\1 \end{pmatrix} \right\}. }$$

---

第4题：参数讨论

讨论参数 $a$ 取何值时方程组

$$\begin{cases} x+y=1,\\ 2x+2y=a \end{cases}$$

有解，并说明解的个数。

答案提示

增广矩阵：

$$\left( \begin{array}{cc|c} 1&1&1\\ 2&2&a \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cc|c} 1&1&1\\ 0&0&a-2 \end{array} \right).$$

所以：

$$a\neq2$$

时出现

$$0=a-2,$$

矛盾，无解。

而

$$a=2$$

时，

$$r(A)=r(A|b)=1<2,$$

所以有无穷多解。

令

$$y=t,$$

则

$$x=1-t.$$

---

第5题：非齐次解结构

已知

$$Ax=b$$

的一个特解为

$$x_0= \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix},$$

而对应齐次方程组

$$Ax=0$$

的基础解系为

$$\eta_1= \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}, \qquad \eta_2= \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}.$$

写出 $Ax=b$ 的通解。

答案提示

直接使用

$$\boxed{\text{非齐次通解}=\text{特解}+\text{齐次通解}}$$

得到

$$\boxed{ x= \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}, \quad c_1,c_2\in\mathbb R. }$$

---

15. 最后把整章压缩成一句话

如果只允许记住一条主线，可以记：

$$\boxed{ Ax=b \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} r(A)<r(A|b) &: \text{无解},\\[2mm] r(A)=r(A|b)=n &: \text{唯一解},\\[2mm] r(A)=r(A|b)<n &: \text{无穷多解}. \end{cases} }$$

而一旦有无穷多解，

$$\boxed{\text{自由变量数}=n-r(A)}$$

对于齐次方程组，

$$\boxed{\dim N(A)=n-r(A)}$$

对于非齐次方程组，

$$\boxed{ \text{通解} = \text{特解} + \text{齐次方程通解}. }$$

因此，“线性方程组”这一章表面上在解 $x$，实际上从头到尾都在研究三个东西：

$$\boxed{\text{秩、线性表示、自由度}}$$

把这三个概念真正打通之后，后面的向量组线性相关、极大无关组、向量空间、线性变换、特征值等内容都会顺很多。

可以把“幂级数”看成数学分析里一个非常关键的转折点：前面的数项级数研究“无穷多个数能不能加起来”，到了幂级数，则开始研究“无穷多个函数能不能像多项式一样使用”。

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1. 核心直觉：幂级数就是“无穷多项式”

普通多项式是

$$P_n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n.$$

幂级数则把次数无限延伸：

$$\boxed{ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots }$$

所以第一直觉就是：

$$\boxed{\text{幂级数}=\text{无穷多项式}}$$

但要注意，“无穷”会带来一个普通多项式没有的问题：

这个无穷和到底存不存在？

例如

$$1+x+x^2+x^3+\cdots$$

当 $|x|<1$ 时，

$$1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x};$$

但当 $x=2$ 时，它变成

$$1+2+4+8+\cdots,$$

显然发散。

所以同一个幂级数，会随着 $x$ 的变化，出现不同的收敛性。

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另一个非常重要的直觉

把

$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$

看作一个“带变量权重的求和”。

每个 $a_n$ 的权重是 $x^n$。

当

$$|x|<1$$

时，$x^n$ 越来越小，所以高次项会受到强烈压制。

而当

$$|x|>1$$

时，$x^n$ 越来越大，高次项反而被放大。

这就是为什么幂级数的收敛区域往往以某个中心为圆心，形成一个半径 $R$：

$$|x|<R.$$

在实数轴上，就是：

$$(-R,R).$$

因此幂级数有一个极其漂亮的特点：

不是东边收敛、西边发散得乱七八糟，而是从中心向外存在一个明确的“安全半径”。

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2. 知识地图

这一章可以压缩成以下逻辑：

$$\boxed{ \text{幂级数} \to \text{收敛域} \to \text{收敛半径 }R \to \text{端点单独判断} }$$

在得到收敛区间以后，进一步研究：

$$\boxed{ \text{内闭一致收敛} \to \text{和函数连续} \to \text{逐项积分、逐项求导} }$$

再进一步：

$$\boxed{ \text{泰勒公式} \to \text{泰勒级数} \to \text{初等函数展开} \to \text{求和与近似计算} }$$

所以整个“幂级数”章节可以分成七块：

1. 幂级数与收敛域；
2. 收敛半径 $R$；
3. 两个端点的收敛性；
4. 内闭一致收敛及和函数连续性；
5. 逐项求导与逐项积分；
6. 泰勒级数与常见函数展开；
7. 利用展开式求和、求极限、近似计算。

其中最核心的一张图是：

$$\boxed{ \underbrace{|x|<R}_{\text{内部：性质非常好}} \qquad \underbrace{|x|=R}_{\text{边界：单独审判}} \qquad \underbrace{|x|>R}_{\text{一定发散}} }$$

---

3. 逻辑链展开

3.1 幂级数：收敛点、发散点、收敛域

一般幂级数写成

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n.$$

其中 $x_0$ 称为幂级数的中心。

为了先把思想讲清楚，我们经常研究中心为 $0$ 的情形：

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.$$

---

什么叫收敛点？

固定一个 $x=x_1$，原来的函数项级数就变成一个普通数项级数：

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx_1^n.$$

如果这个数项级数收敛，就称 $x_1$ 是幂级数的收敛点。

如果发散，则称为发散点。

所有收敛点组成的集合称为收敛域。

---

幂级数最重要的“圆盘现象”

如果

$$\sum a_nx^n$$

在某个 $x_1\neq0$ 处收敛，那么对任意

$$|x|<|x_1|,$$

它一定绝对收敛。

反过来，如果它在 $x_2$ 处发散，那么当

$$|x|>|x_2|$$

时，一定发散。

这意味着收敛和发散不是随机分布的。

必然存在一个

$$R\in[0,+\infty]$$

使：

$$\boxed{ \begin{cases} |x|<R,&\text{绝对收敛},\\ |x|>R,&\text{发散}. \end{cases} }$$

$R$ 就叫收敛半径。

而

$$|x|=R$$

怎么办？

答案是：

$$\boxed{\text{不知道，必须单独判断。}}$$

这是本章第一大易错点。

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3.2 收敛半径

考虑

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.$$

最常用的三种求法是：

• 比值法；
• 根值法；
• Cauchy-Hadamard 公式。

---

方法一：比值法

如果极限

$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| =L$$

存在，那么通常有

$$\boxed{R=L}.$$

更准确地，从比值判别法出发：

$$\left| \frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n} \right| = |x| \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|.$$

若

$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| =l,$$

则要求

$$l|x|<1.$$

所以

$$\boxed{R=\frac1l}.$$

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人话翻译

系数 $a_n$ 自己有一种增长或衰减速度。

变量 $x^n$ 又有一种增长或衰减速度。

两者在“拔河”。

临界点就是

$$R.$$

---

方法二：根值法

考察

$$\sqrt[n]{|a_nx^n|} = \sqrt[n]{|a_n|}\,|x|.$$

如果

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=l,$$

那么

$$\boxed{R=\frac1l}.$$

---

方法三：Cauchy-Hadamard 公式

最一般的形式为

$$\boxed{ \frac1R = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} }$$

约定：

$$\frac1{0}=+\infty, \qquad \frac1{+\infty}=0.$$

这是理论上最完整的公式。

---

三种特殊情况

$R=+\infty$

所有实数 $x$ 都收敛。

例如：

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.$$

---

$0<R<+\infty$

典型情况。

例如：

$$\sum x^n, \qquad R=1.$$

---

$R=0$

除中心 $x=0$ 外全部发散。

例如：

$$\sum n!x^n.$$

---

3.3 端点为什么必须单独判断？

假设求出

$$R=1.$$

这只能告诉我们：

$$|x|<1\quad\text{绝对收敛},$$

以及

$$|x|>1\quad\text{发散}.$$

但对于

$$x=1,\qquad x=-1$$

没有任何保证。

例如

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}.$$

半径为

$$R=1.$$

当 $x=1$：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$$

是调和级数，发散。

但 $x=-1$：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$$

是交错调和级数，收敛。

所以其收敛域为

$$\boxed{[-1,1)}.$$

端点的命运完全可能不同。

---

4. 端点常用判别工具

到端点以后，就不要再把它当“幂级数问题”。

正确思维是：

代入端点以后，它已经变成普通数项级数，按照数项级数的方法判断。

常用工具包括：

• 正项级数比较判别法；
• $p$-级数；
• Leibniz 判别法；
• Dirichlet 判别法；
• Abel 判别法；
• 绝对收敛与条件收敛。

---

Leibniz 判别法

标准条件

如果

$$a_n\ge0,$$

且最终单调递减，并且

$$a_n\to0,$$

那么交错级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$$

收敛。

人话翻译

正一下、负一下，而且振幅越来越小并趋于零，前后的误差会不断互相抵消。

经典例子：

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots.$$

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Dirichlet 判别法

标准形式

若

$$\sum_{k=1}^{n}a_k$$

的部分和一致有界，而 $b_n$ 单调趋于 $0$，则

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$$

收敛。

人话翻译

一个因子负责不断振荡、互相抵消；另一个因子负责把振幅慢慢压到 $0$。

例如：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}$$

的很多收敛性问题就是这一思想。

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5. Abel 定理：从内部走向端点

幂级数理论中，Abel 定理特别重要。

假设

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$

的收敛半径为 $R>0$，且它在右端点

$$x=R$$

收敛。

那么当

$$x\to R^-$$

时，

$$\boxed{ \lim_{x\to R^-} \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty}a_nR^n }$$

左端点也有相应结论。

---

人话翻译

如果端点本身“站得住”，那么从收敛区间里面一路走向这个端点时，和函数不会突然跳一下。

也就是：

$$\boxed{\text{端点收敛}\Rightarrow\text{和函数可以连续地接到这个端点}}$$

注意方向不能乱。

Abel 定理不是说：

$$\boxed{\text{所有端点都收敛}}$$

而是：

已经知道端点收敛之后，再推出和函数在该端点具有相应的单侧连续性。

---

6. 内闭一致收敛

这是幂级数理论里非常重要但容易被忽略的一块。

假设

$$\sum a_n(x-x_0)^n$$

的收敛半径为 $R$。

那么在任意严格位于收敛区间内部的闭区间

$$[x_0-r,x_0+r], \qquad 0<r<R$$

上，幂级数一致收敛。

也就是说：

$$\boxed{ \text{幂级数在收敛区间的任意内闭区间上一致收敛} }$$

这叫内闭一致收敛。

---

为什么非要强调“内闭”？

假设收敛区间是

$$(-1,1).$$

那么：

$$[-0.5,0.5],\quad [-0.9,0.9],\quad [-0.999,0.999]$$

都属于内闭区间。

但不能直接说它在整个

$$(-1,1)$$

上就一定一致收敛。

更不能轻率地把端点一起加入。

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为什么内部这么安全？

对于任意

$$|x|\le r<R,$$

有

$$|a_nx^n| \le |a_n|r^n.$$

而因为 $r<R$，数项级数

$$\sum |a_n|r^n$$

收敛。

于是通过 Weierstrass 判别法，可以得到一致收敛。

这就是理论上的根源。

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7. 和函数连续性

设

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$

的收敛半径为 $R$。

那么：

$$\boxed{ f(x)\text{ 在 }(x_0-R,x_0+R)\text{ 内连续} }$$

为什么？

每一个部分和

$$S_N(x)=\sum_{n=0}^{N}a_n(x-x_0)^n$$

都是多项式，所以连续。

而在任意内闭区间上，

$$S_N\to f$$

一致收敛。

“连续函数列的一致极限仍连续”，因此和函数连续。

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人话翻译

在收敛半径内部，这个“无穷多项式”非常听话：

普通多项式连续，它也连续。

这就是为什么我们一直说：

$$\boxed{\text{收敛半径内部是安全区}}$$

---

8. 逐项求导

设

$$f(x)= \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$$

收敛半径为 $R$。

那么在

$$|x|<R$$

内：

$$\boxed{ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} }$$

即

$$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$$

可以像普通多项式一样逐项求导：

$$a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots.$$

并且：

$$\boxed{\text{求导后的幂级数收敛半径仍然是 }R.}$$

---

人话翻译

在收敛区间内部：

$$\boxed{\text{可以大胆地把幂级数当多项式求导。}}$$

甚至可以反复求导。

所以幂级数的和函数在内部不是仅仅“连续”，而是

$$C^\infty.$$

也就是说可以无限次求导。

---

9. 逐项积分

同理，

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$

在 $|x|<R$ 内可以逐项积分：

$$\boxed{ \int_0^x f(t)\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} }$$

而积分以后：

$$\boxed{\text{收敛半径仍然是 }R.}$$

---

但端点可能发生变化！

这一点非常重要。

原级数：

$$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$$

收敛域为

$$(-1,1).$$

逐项积分得到：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}.$$

也就是

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}.$$

半径仍然是

$$R=1.$$

但是端点：

• $x=1$：发散；
• $x=-1$：收敛。

所以积分后的收敛域成为

$$[-1,1).$$

因此必须记住：

$$\boxed{\text{逐项求导、积分不改变收敛半径，但可能改变端点收敛性。}}$$

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10. 逐项求导、积分的核心定理

标准形式

若

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$

收敛半径为 $R$，则导级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} na_n(x-x_0)^{n-1}$$

和积分级数

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}$$

的收敛半径均为

$$R.$$

并且在

$$|x-x_0|<R$$

内可以逐项求导、逐项积分。

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人话翻译

$$\boxed{\text{收敛半径里面，幂级数基本就是普通多项式。}}$$

加减可以，连续可以，求导可以，积分也可以。

真正需要提高警惕的是：

$$\boxed{\text{端点}}$$

因为端点不享受这些内部性质的自动保护。

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11. 一个极重要的关系链

如果

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,$$

那么

$$f(0)=a_0.$$

求导：

$$f'(x) = a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots,$$

所以

$$f'(0)=a_1.$$

再求导：

$$f''(0)=2!a_2.$$

一般：

$$\boxed{ f^{(n)}(0)=n!a_n }$$

所以

$$\boxed{ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} }$$

这就是泰勒级数的来源。

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12. 泰勒级数

如果函数 $f$ 可以在 $x_0$ 附近展开成幂级数：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,$$

那么系数必然满足

$$\boxed{ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} }$$

因此：

$$\boxed{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n }$$

这就是 $f$ 在 $x_0$ 处的泰勒级数。

当

$$x_0=0$$

时，称为 Maclaurin 级数：

$$\boxed{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n }$$

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13. 函数展开的唯一性

这是非常重要的理论结论。

如果在 $x_0$ 的某个邻域内：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,$$

那么这些系数是唯一的，而且必然有：

$$\boxed{ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}. }$$

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人话翻译

一个函数如果真的能展开成幂级数，那么它没有“两套不同的幂级数身份证”。

展开式是唯一的。

原因就是不断求导并代入 $x=x_0$，可以一个一个把系数“揪出来”。

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14. 一个重要警告：泰勒级数不一定等于原函数

一个函数即使拥有各阶导数，我们可以形式上写出它的泰勒级数，但不能自动推出：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$$

真正需要的是泰勒余项满足

$$R_n(x)\to0.$$

所以：

$$\boxed{ \text{无限可导} \not\Rightarrow \text{一定等于自己的泰勒级数} }$$

能在局部表示成收敛幂级数的函数称为解析函数。

这是数学分析中“光滑”和“解析”之间的重要区别。

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15. 常见初等函数展开

这些建议达到“看到就会写”的程度。

① 几何级数

母公式中的母公式：

$$\boxed{ \frac1{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n = 1+x+x^2+\cdots, \qquad |x|<1 }$$

大量展开式都从它通过换元、积分、求导得到。

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② 指数函数

$$\boxed{ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1+x+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+\cdots }$$

对所有

$$x\in\mathbb R$$

成立。

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③ 正弦

$$\boxed{ \sin x = x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!}+\cdots }$$

即

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$

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④ 余弦

$$\boxed{ \cos x = 1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!}+\cdots }$$

即

$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}.$$

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⑤ 对数

从

$$\frac1{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots$$

积分得到：

$$\boxed{ \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+\cdots }$$

其收敛区间为

$$\boxed{(-1,1]}$$

注意：

• $x=1$：交错调和级数，收敛；
• $x=-1$：变成 $-\sum1/n$，发散。

---

⑥ $-\ln(1-x)$

$$\boxed{ -\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}, \qquad -1\le x<1 }$$

其中 $x=-1$ 条件收敛。

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⑦ 反正切

由

$$\frac1{1+x^2} = 1-x^2+x^4-x^6+\cdots$$

积分：

$$\boxed{ \arctan x = x-\frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{5} -\frac{x^7}{7}+\cdots }$$

在端点 $x=\pm1$ 也收敛，因此

$$\boxed{-1\le x\le1}.$$

特别地，

$$\arctan1=\frac{\pi}{4},$$

得到

$$\boxed{ \frac{\pi}{4} = 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots }$$

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⑧ 广义二项式

$$\boxed{ (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n, \qquad |x|<1 }$$

其中

$$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.$$

端点需要根据具体 $\alpha$ 另行讨论。

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16. 常见展开技巧：不要每次都硬算导数

实际考试中，更多时候不是让你从定义计算

$$f^{(n)}(0),$$

而是让你从基本展开式“变形”。

核心母式：

$$\frac1{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n.$$

例如要求展开：

$$\frac1{1+x^2}.$$

直接把

$$x\mapsto -x^2$$

得到：

$$\boxed{ \frac1{1+x^2} = 1-x^2+x^4-x^6+\cdots, \qquad |x|<1. }$$

再积分：

$$\arctan x = x-\frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{5}-\cdots.$$

所以常用路线是：

$$\boxed{ \text{母公式} \overset{\text{换元}}{\longrightarrow} \text{新展开} \overset{\text{求导/积分}}{\longrightarrow} \text{目标展开} }$$

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17. 利用幂级数求数项级数的和

这是考试中的重要应用。

基本思想：

先找到

$$f(x) = \sum a_nx^n,$$

然后选择一个合适的 $x=x_0$。

于是：

$$\sum a_nx_0^n=f(x_0).$$

---

例子

由

$$-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$$

取

$$x=-1$$

并结合端点收敛与 Abel 定理，可以得到

$$-\ln2 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}.$$

于是：

$$\boxed{ 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln2. }$$

---

18. 利用幂级数近似计算

例如：

$$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+\cdots.$$

当 $x$ 很小时，高次幂迅速变小。

所以：

$$e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2}.$$

例如：

$$e^{0.1} \approx 1+0.1+\frac{0.01}{2} = 1.105.$$

真实值约为 $1.10517$，已经很接近。

本质上：

$$\boxed{ \text{幂级数把复杂函数变成多项式，从而便于计算。} }$$

当然，严谨的近似还需要通过余项估计误差。

---

19. 完整例子：$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}$

我们完整走一遍：

$$\boxed{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2} }$$

---

第一步：求收敛半径

这里

$$a_n=\frac1{n^2}.$$

用根值法：

$$\sqrt[n]{|a_n|} = \frac1{n^{2/n}}.$$

因为

$$n^{2/n}\to1,$$

所以

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=1.$$

因此

$$\boxed{R=1}.$$

也就是说：

$$|x|<1$$

绝对收敛，

$$|x|>1$$

发散。

现在只剩两个端点。

---

20. 讨论 $x=1$

代入：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}.$$

这是 $p$-级数，

$$p=2>1,$$

所以收敛。

事实上：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.$$

---

21. 讨论 $x=-1$

得到：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}.$$

其绝对值级数是

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2},$$

收敛。

所以在 $x=-1$ 处是绝对收敛。

因此整个收敛域为：

$$\boxed{[-1,1]}.$$

注意这里两个端点全都收敛。

---

22. 求和函数

设

$$F(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}, \qquad |x|<1.$$

直接看不出它是谁，可以利用逐项求导：

$$F'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}n.$$

而我们知道

$$-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}.$$

所以当 $x\neq0$ 时：

$$F'(x) = \frac{-\ln(1-x)}x.$$

又因为

$$F(0)=0,$$

所以积分：

$$\boxed{ F(x) = -\int_0^x \frac{\ln(1-t)}{t}\,dt }$$

这个函数称为二重对数函数：

$$\boxed{ F(x)=\operatorname{Li}_2(x). }$$

所以

$$\boxed{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2} = \operatorname{Li}_2(x), \qquad |x|<1. }$$

通过端点连续延拓，还可以得到相应端点值。

特别：

$$F(1)=\frac{\pi^2}{6}.$$

而

$$F(-1) = -\frac{\pi^2}{12}.$$

---

23. 这个例子真正应该学会什么？

不是记住 $\operatorname{Li}_2(x)$，而是学会解决问题的流程：

$$\boxed{ \text{先求 }R \rightarrow \text{两个端点逐个代入} \rightarrow \text{确定完整收敛域} }$$

如果要求和函数，再考虑：

$$\boxed{ \text{求导 / 积分} \rightarrow \text{把它变成熟悉的幂级数} }$$

这套套路极其重要。

---

24. 一个更简单的“求和函数”例子：$\sum nx^n$

从

$$\frac1{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n, \qquad |x|<1$$

两边逐项求导：

$$\frac1{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}.$$

乘以 $x$：

$$\boxed{ \sum_{n=1}^{\infty}nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} }$$

其中

$$|x|<1.$$

收敛半径：

$$R=1.$$

端点：

$x=1$

$$\sum n$$

发散。

$x=-1$

$$\sum n(-1)^n$$

连通项都不趋于零，所以发散。

因此收敛域：

$$\boxed{(-1,1)}.$$

---

25. 一张表掌握本章

模块	标准结论	常用方法	人话理解	常见易错点
收敛半径	$	x-x_0	<R$绝对收敛，$	x-x_0
Cauchy-Hadamard	$\frac1R=\limsup\sqrt[n]{	a_n	}$	根值思想
比值法	$R=\lim	a_n/a_{n+1}	$，极限存在时	比值判别
端点	必须逐点判断	$p$-级数、Leibniz、比较法、Dirichlet 等	到边界后重新变回数项级数	只求 $R$ 不查端点
内闭一致收敛	任意 $r<R$ 上一致收敛	Weierstrass 判别法	离边界留一点距离就非常安全	错说在整个开区间必一致收敛
和函数连续性	$	x-x_0	<R$ 内连续	一致收敛
逐项求导	$f'=\sum na_n(x-x_0)^{n-1}$	幂级数定理	内部像普通多项式	忽略端点变化
逐项积分	$\int f=\sum a_n(x-x_0)^{n+1}/(n+1)$	幂级数定理	同样可以逐项积	误以为收敛区间完全不变
求导/积分后	收敛半径仍为 $R$	定理	安全区大小不变	“半径不变”误写成“收敛域不变”
泰勒系数	$a_n=f^{(n)}(x_0)/n!$	求导代入	导数把系数一个个读出来	无限可导就认为等于泰勒级数
求级数和	构造 $f(x)=\sum a_nx^n$	求导、积分、换元	先求一个函数，再代特殊点	代端点前没验证收敛
近似计算	截断泰勒展开	余项估计	用低次多项式替代复杂函数	只给近似、不估误差

---

26. 这章最值得建立的几个“条件反射”

① 看到幂级数

$$\sum a_n(x-x_0)^n$$

第一反应：

$$\boxed{\text{先求 }R}$$

---

② 求出 $R$ 后

不要马上写最终收敛域。

必须：

$$\boxed{\text{左端点代一次，右端点代一次}}$$

---

③ 在 $|x-x_0|<R$ 内

可以想到：

$$\boxed{ \text{绝对收敛} + \text{内闭一致收敛} + \text{连续} + \text{任意次逐项求导} + \text{逐项积分} }$$

---

④ 求导、积分以后

牢记：

$$\boxed{R\text{ 不变}}$$

但：

$$\boxed{\text{端点可能变化}}$$

---

⑤ 求函数展开

优先想：

$$\boxed{ \frac1{1-x},\ e^x,\ \sin x,\ \cos x,\ \ln(1+x),\ \arctan x }$$

然后通过：

$$\boxed{\text{换元 + 求导 + 积分}}$$

构造目标展开。

---

⑥ 求数项级数和

想到：

$$\boxed{ \text{先引入 }x \rightarrow \text{构造幂级数} \rightarrow \text{求和函数} \rightarrow \text{代入特殊 }x }$$

---

27. 五道一轮复习自测题

第1题：求收敛域

求幂级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$$

的收敛域。

答案提示

根值法：

$$\sqrt[n]{\frac1n}\to1,$$

所以

$$R=1.$$

端点：

$$x=1: \quad \sum\frac1n$$

发散；

$$x=-1: \quad \sum\frac{(-1)^n}{n}$$

由 Leibniz 判别法收敛。

因此：

$$\boxed{[-1,1)}.$$

---

第2题：含参数系数

求

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n}x^n$$

的收敛半径和收敛域。

答案提示

系数：

$$a_n=\frac{3^n}{n}.$$

有

$$\sqrt[n]{|a_n|} = \frac3{n^{1/n}} \to3.$$

所以

$$\boxed{R=\frac13}.$$

再分别代入：

$$x=\frac13$$

得到调和级数，发散；

$$x=-\frac13$$

得到交错调和级数，收敛。

因此：

$$\boxed{ \left[-\frac13,\frac13\right) }.$$

---

第3题：利用求导求和

求

$$\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}, \qquad |x|<1.$$

答案提示

从

$$\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac1{1-x}$$

逐项求导：

$$\boxed{ \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} = \frac1{(1-x)^2} }.$$

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第4题：利用积分求展开

求

$$\ln(1+x)$$

在 $x=0$ 处的幂级数展开，并确定收敛区间。

答案提示

由

$$\frac1{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, \qquad |x|<1$$

两边从 $0$ 积到 $x$：

$$\boxed{ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} }$$

即

$$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots.$$

端点判断：

$$x=1$$

收敛；

$$x=-1$$

发散。

故：

$$\boxed{(-1,1]}.$$

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第5题：综合题

设

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}.$$

求其收敛域，并尝试求和函数。

答案提示

首先

$$\sqrt[n]{\frac1{n(n+1)}}\to1,$$

所以：

$$R=1.$$

在

$$x=1$$

处：

$$\sum\frac1{n(n+1)}$$

收敛。

在

$$x=-1$$

处也绝对收敛。

所以：

$$\boxed{[-1,1]}.$$

求和时利用：

$$\frac1{n(n+1)} = \frac1n-\frac1{n+1}.$$

也可以从

$$-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$$

出发，通过积分或代数变形求出和函数。

最终在 $x\neq0$ 时可化为

$$\boxed{ f(x) = 1+\frac{1-x}{x}\ln(1-x), \qquad |x|<1 }$$

而

$$f(0)=0.$$

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28. 最后把整章压缩成一条主线

如果考试前只能再复习五分钟，可以记住：

$$\boxed{ \sum a_n(x-x_0)^n }$$

首先求

$$\boxed{R}.$$

于是：

$$\boxed{ \begin{cases} |x-x_0|<R &: \text{绝对收敛，性质极好},\\[1mm] |x-x_0|>R &: \text{发散},\\[1mm] |x-x_0|=R &: \text{两个端点单独判断}. \end{cases} }$$

在半径内部：

$$\boxed{ \text{幂级数可以像普通多项式一样连续、求导、积分} }$$

并且：

$$\boxed{ \text{逐项求导、积分不改变 }R, \text{但可能改变端点} }$$

若

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,$$

则系数唯一：

$$\boxed{ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} }$$

最终整个章节其实围绕三个问题：

$$\boxed{ \text{在哪里能加？} \quad \text{加起来是什么？} \quad \text{加起来以后能不能像普通函数一样操作？} }$$

答案分别对应：

$$\boxed{ \text{收敛半径} \quad \text{和函数} \quad \text{一致收敛与逐项运算} }$$

如果这三条逻辑真正打通，“幂级数”就不再是一堆零散公式，而会变成一个非常统一的体系。