（多选）己知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$不恒等于$0, f(\pi)=0$，且...

正确选项是 A、B、C。

由换元

$$u=x+y,\qquad v=x-y$$

原方程可写成

$$f(u+v)+f(u-v)=2f(u)f(v). \tag{1}$$

A．$f(0)=1$

原式令 $x=y=0$：

$$2f(0)=2f^2(0),$$

所以

$$f(0)=0\quad\text{或}\quad1.$$

若 $f(0)=0$，原式令 $y=x$：

$$2f(2x)=2f(2x)f(0)=0,$$

于是 $f\equiv0$，与题设矛盾。因此

$$\boxed{f(0)=1}.$$

A 正确。

B．$f(x)$ 是偶函数

在 (1) 中令 $u=0$：

$$f(v)+f(-v)=2f(0)f(v)=2f(v),$$

故

$$f(-v)=f(v).$$

所以 $f$ 是偶函数。B 正确。

C．图象关于 $(\pi,0)$ 中心对称

在 (1) 中令 $u=\pi$，利用 $f(\pi)=0$：

$$f(\pi+v)+f(\pi-v)=0,$$

即

$$\boxed{f(\pi+v)=-f(\pi-v)}.$$

这正表示函数图象关于点 $(\pi,0)$ 中心对称。C 正确。

D．$2\pi$ 是周期

由 C 的结论，取 $v=x+\pi$：

$$f(x+2\pi)=-f(-x).$$

又因为 $f$ 是偶函数，

$$\boxed{f(x+2\pi)=-f(x)}.$$

所以 $2\pi$ 是反周期而不是周期。若它还是周期，就会推出 $f(x)\equiv0$，与题设矛盾。

因此最终答案为

$$\boxed{\mathrm{ABC}}.$$