下面这份可以直接作为你的“三章专项复习总纲”。我会把事实能核实的河北师大考情和备考经验判断分开写，避免把经验比例说成官方数据。

先校准一个信息：河北师大数学科学学院已经发布 2026 年硕士招生专业目录；2026 年数学专业复试也仍明确把数学分析、高等代数列为专业基础必考内容。学校官方历史信息可核实 724 为数学分析、821 为高等代数。(Hebtu Mathematics Department) 参考书方面，2020 年公开目录对应华东师大《数学分析》第四版、北大《高等代数》第四版；2023 年公开初试参考书已经更新为两书的 2019 年第五版。因此你手头第四版或第五版都能学这三个板块，但最后应以你报考年度的正式目录为准。(新东方考研网)

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第一部分：三大板块的考情定位与学习策略

1. 三个板块大概怎么考？

先说明：目前公开可免费核验的河北师大历年 724/821 真题并不足以做一个可靠的“多年统计百分比”，所以“数项级数历年占 12.7%”这种精确数字我不建议相信。

但有一个非常有代表性的硬证据：河北师大 2020 年 821 高等代数第二题就是 15 分的 $n$ 阶行列式计算题，即单独一道题占整张 150 分试卷的 10%；同卷又紧接着考线性方程组、矩阵秩等内容，说明行列式必须放在整个线性代数体系里学，而不能只会机械展开。(Koolearn)

建议按下面的“考试定位”理解

板块	备考定位	常见形式	建议训练权重
数项级数	基础审敛能力 + 理论证明	判断敛散、参数讨论、证明	三板块约 25%
函数列与函数项级数	数分核心难点	一致收敛判定、交换极限/积分/导数、证明	三板块约 40%
行列式	高代基本功 + 综合工具	大型计算、参数行列式、与矩阵/方程组结合	三板块约 35%

这里的百分比是这三个板块内部的复习时间分配，不是河北师大官方真题占分。

对于整张试卷，可以这样预期：

• 数项级数：很适合出一问 10～15 分左右的审敛/证明，或者嵌入大题。
• 函数列、函数项级数：更容易形成一道完整的理论题或综合题，尤其是“一致收敛 + 连续/积分/求导”。
• 行列式：很适合作为 15 分左右计算大题，同时可能作为矩阵、方程组、特征值题的一个中间工具。

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2. 教材对应章节与学习顺序

华东师大《数学分析》第四/第五版

重点对应：

第十二章：数项级数

建议学习顺序：

$$\boxed{\text{级数定义}} \to \boxed{\text{正项级数}} \to \boxed{\text{一般项级数}} \to \boxed{\text{绝对/条件收敛}}$$

然后进入：

第十三章：函数列与函数项级数

建议顺序：

$$\boxed{\text{逐点收敛}} \to \boxed{\text{一致收敛}} \to \boxed{\text{一致收敛判别}} \to \boxed{\text{连续/积分/求导}} \to \boxed{\text{Abel/Dirichlet}}$$

这个顺序千万不要反。

因为函数项级数本质上是：

对每一个固定的 $x$，先把它看成普通的数项级数。

所以第二部分是第三部分的地基。

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北大《高等代数》第五版

对应：

第二章：行列式

逻辑顺序建议是：

$$\boxed{\text{定义了解}} \to \boxed{\text{性质背熟}} \to \boxed{\text{基本计算}} \to \boxed{\text{特殊行列式}} \to \boxed{\text{克拉默法则}} \to \boxed{\text{和矩阵、方程组串起来}}$$

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3. 推荐时间安排

如果拿出 30 小时专项时间：

数项级数：7～8 小时

• 概念、基本性质：1h
• 正项级数：3h
• 交错、绝对收敛：2h
• 综合题：2h

函数列与函数项级数：12～13 小时

• 两种收敛概念：3h
• Cauchy、M 判别：3h
• 连续、积分、求导：4h
• Abel、Dirichlet：2～3h

行列式：9～10 小时

• 性质：2h
• 常规计算：3h
• 特殊技巧：3h
• 方程组/矩阵综合：2h

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4. 三个板块会不会跨章节综合？

会，而且这是考研阶段最应该训练的地方。

数项级数 × 极限

例如利用

$$a_n\sim b_n$$

判断正项级数敛散。

实际上就是把“极限”知识拿过来做比较判别。

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数项级数 × 积分

例如：

$$\sum\frac1{n(\ln n)^p}$$

用积分判别法转成

$$\int\frac{dx}{x(\ln x)^p}.$$

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函数项级数 × 积分

典型命题：

已知

$$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$$

一致收敛，问能否写成

$$\int_a^b\sum u_n(x)\,dx = \sum\int_a^b u_n(x)\,dx?$$

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函数项级数 × 导数

这是难度明显高一级的题：

什么时候

$$\left(\sum u_n(x)\right)' = \sum u_n'(x)?$$

关键不是原级数一致收敛，而往往是：

$$\boxed{\sum u_n'(x)\text{ 一致收敛}}$$

再加原级数在某一点收敛。

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行列式 × 线性方程组

$$\det A\neq0$$

直接推出：

$$AX=b$$

有唯一解。

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行列式 × 矩阵

$$\det A\neq0 \iff A\text{ 可逆}.$$

再利用

$$A^{-1}=\frac1{\det A}A^*$$

联系伴随矩阵。

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行列式 × 特征值

特征值满足：

$$\boxed{\det(\lambda I-A)=0}.$$

所以后面学特征值时，行列式计算能力直接决定题能不能继续做。

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第二部分：数项级数完整知识框架

一、级数的收敛与发散

1. 核心定义

给一个数列：

$$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$$

写成

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n.$$

它不是让你真的“把无穷多个数一下加完”。

真正研究的是部分和：

$$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n.$$

如果存在有限数 $S$，使得

$$\lim_{n\to\infty}S_n=S,$$

则称级数收敛，而且

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S.$$

否则发散。

直觉

你每次多加一项：

$$S_1,S_2,S_3,\cdots$$

如果这些部分和最后稳定到某一个数附近，就收敛。

一句话说就是

级数是否收敛，本质上就是部分和数列是否有有限极限。

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2. 必要条件

若

$$\sum a_n$$

收敛，则

$$\boxed{a_n\to0}.$$

因为

$$a_n=S_n-S_{n-1},$$

两边极限都是 $S$，所以差趋于 0。

特别注意

反过来是错的：

$$a_n\to0$$

不能推出

$$\sum a_n$$

收敛。

最经典反例：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$$

发散。

一句话说就是

通项不趋零一定发散；通项趋零，只获得了“参加收敛考试的资格”。

典型考法

经常作为审敛的第一步：

看到

$$\lim a_n\neq0$$

直接宣布发散，不要再用比值判别。

易错点

把

$$a_n\to0$$

误认为级数收敛。

这是级数第一大坑。

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二、正项级数

设

$$a_n\ge0.$$

这类最好处理，因为部分和 $S_n$ 单调递增。

所以：

$$\sum a_n\text{ 收敛} \iff \{S_n\}\text{ 有上界}.$$

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1. 比较判别法

设

$$0\le a_n\le b_n.$$

那么：

大的收敛，小的也收敛

若

$$\sum b_n<\infty,$$

则

$$\sum a_n<\infty.$$

小的发散，大的也发散

若

$$\sum a_n=\infty,$$

则

$$\sum b_n=\infty.$$

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直觉

想象两个人一直花钱。

如果一个人每次都花得比另一个少，而花得多的那个最后总支出都有限，那么少的肯定有限。

一句话说就是

找一个你认识的“参照级数”，夹住原级数。

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标准参照物

最重要的两个：

几何级数

$$\sum q^n$$

当

$$|q|<1$$

收敛。

$p$-级数

$$\sum\frac1{n^p}$$

满足

$$\boxed{p>1\text{ 收敛},\qquad p\le1\text{ 发散}}.$$

这个必须条件反射。

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极限比较判别法

若

$$a_n,b_n>0$$

且

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L, \qquad 0<L<\infty,$$

则二者同敛散。

证明骨架

1. 因为极限是正有限数；
2. 所以当 $n$ 足够大时，有 $$c_1b_n\le a_n\le c_2b_n;$$
3. 用比较判别法。

典型考法

例如：

$$\sum\frac{n+1}{n^3+2}.$$

观察

$$\frac{n+1}{n^3+2}\sim\frac1{n^2},$$

所以收敛。

易错点

必须比较的是通项，不是部分和。

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2. 比值判别法

对于正项级数，若

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q,$$

则：

$$q<1\Rightarrow\sum a_n\text{ 收敛};$$ $$q>1\Rightarrow\sum a_n\text{ 发散};$$ $$q=1\Rightarrow\boxed{\text{判别失效}}.$$

特别适合

出现：

$$n!,\qquad a^n,\qquad n^n$$

一类结构。

例如：

$$\sum\frac{n!}{n^n}.$$

直觉

如果从某项开始，

$$a_{n+1}\approx qa_n,\quad q<1,$$

那后面就像几何级数一样快速缩小。

证明骨架

若 $q<1$，选

$$q<r<1.$$

充分大的 $n$ 有

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}<r.$$

于是

$$a_{N+k}\le a_Nr^k.$$

与几何级数比较即可。

易错点

得到

$$q=1$$

之后不能说发散。

例如：

$$\sum\frac1{n^2}$$

比值极限也是 1，却收敛。

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3. 根值判别法

若

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q,$$

则同样：

$$q<1\Rightarrow\text{收敛},$$ $$q>1\Rightarrow\text{发散},$$ $$q=1\Rightarrow\text{失效}.$$

特别适合

通项整体带 $n$ 次幂：

$$a_n=(\cdots)^n.$$

直觉

它是在问：

$a_n$ 到底像哪个几何级数 $q^n$？

证明骨架

完全类似比值判别：

若极限小于 1，则最终有

$$\sqrt[n]{a_n}<r<1,$$

所以

$$a_n<r^n.$$

易错点

不要看到任何东西都开 $n$ 次方。

普通有理式往往比较判别更快。

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4. 积分判别法

设

$$f(x)>0$$

在 $[1,\infty)$ 上连续且单调递减，且

$$a_n=f(n).$$

则

$$\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}f(n)}$$

与

$$\boxed{\int_1^\infty f(x)\,dx}$$

同敛散。

直觉

把

$$f(1),f(2),f(3),\cdots$$

看成一排宽度为 1 的小矩形。

级数就是矩形面积总和；

积分就是曲线下面积。

当函数单调下降时，两者能互相夹住。

典型重点

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac1{n(\ln n)^p}.$$

令

$$f(x)=\frac1{x(\ln x)^p}.$$

积分：

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^p}.$$

令

$$t=\ln x,$$

变成

$$\int\frac{dt}{t^p}.$$

因此：

$$\boxed{p>1\text{ 收敛}}.$$

易错点

使用积分判别时别忘了检查：

• 正；
• 连续；
• 最终单调递减。

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三、交错级数与莱布尼茨判别法

典型：

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n, \qquad b_n>0.$$

若：

$$b_{n+1}\le b_n$$

且

$$b_n\to0,$$

则交错级数收敛。

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直觉

例如：

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$$

部分和会：

• 一次冲到答案上面；
• 下一次落到答案下面；
• 振幅越来越小。

最后被“夹”在同一个点。

一句话说就是

正负轮流出现，而且摆动幅度越来越小到 0，就能收敛。

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余项估计

非常重要：

若

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n,$$

则

$$\boxed{|S-S_n|\le b_{n+1}}.$$

这是可以直接出计算题的。

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证明骨架

1. 看偶数部分和： $$S_{2n}$$ 单调；
2. 看奇数部分和： $$S_{2n+1}$$ 反向单调；
3. 二者之差 $$S_{2n+1}-S_{2n}=b_{2n+1}\to0,$$ 因而趋向同一极限。

典型考法

判断：

$$\sum(-1)^n\frac{\ln n}{n}$$

是否收敛。

关键检查：

$$\frac{\ln n}{n}\to0$$

且最终递减。

易错点

只检查

$$b_n\to0$$

就使用 Leibniz。

必须还有最终单调递减。

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四、绝对收敛与条件收敛

若

$$\sum|a_n|$$

收敛，则称

$$\sum a_n$$

绝对收敛。

若

$$\sum a_n$$

收敛但

$$\sum|a_n|$$

发散，则叫条件收敛。

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最重要关系

$$\boxed{\text{绝对收敛}\Rightarrow\text{收敛}}.$$

反过来不成立。

经典例子：

$$\sum(-1)^{n-1}\frac1n$$

由 Leibniz 收敛；

但

$$\sum\frac1n$$

发散。

所以它条件收敛。

一句话说就是

把正负号全部去掉还能收敛，才叫“收敛得特别稳”。

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证明骨架

利用：

$$|a_n|\pm a_n\ge0.$$

或者直接用 Cauchy 准则：

若

$$\sum|a_n|$$

收敛，则对大 $m>n$，

$$\left|\sum_{k=n}^m a_k\right| \le \sum_{k=n}^m|a_k| \to0.$$

因此原级数满足 Cauchy 准则。

典型考法

参数题：

判断

$$\sum(-1)^n a_n$$

究竟：

• 绝对收敛；
• 条件收敛；
• 发散。

通常流程：

$$\boxed{\text{先判 }\sum|a_n|}$$

不收敛再判断原级数。

易错点

“交错级数收敛”不等于“条件收敛”。

它可能绝对收敛。

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五、级数的性质：括号与重排

这是理论题容易考概念的地方。

1. 加括号

若原级数

$$\sum a_n$$

已经收敛，把有限个相邻项组成一组：

$$(a_1+a_2)+(a_3+a_4+a_5)+\cdots$$

不会改变其和。

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但是反过来不成立。

例如：

$$1-1+1-1+\cdots$$

原级数发散。

如果写：

$$(1-1)+(1-1)+\cdots$$

括号后看起来等于 0。

所以：

括号后的级数收敛，不能反推原级数收敛。

这就是所谓“无限级数中结合律不能无条件乱用”。

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2. 重排

绝对收敛级数可以任意重排：

$$\boxed{\sum a_n\text{ 绝对收敛} \Rightarrow \text{任意重排仍收敛且和不变}.}$$

但条件收敛级数不行。

著名的 Riemann 重排现象告诉你：

条件收敛级数通过重新排列正负项，可以改变和，甚至使其发散。

直觉

绝对收敛是“总路程有限”；

条件收敛是“正方向走了无限远，负方向也走了无限远，只是刚好互相抵消”。

后一种情况下，你改变正负项出现顺序，答案当然可能改变。

典型考法

证明：

• 某种分组是否合法；
• 为什么条件收敛不能任意交换次序；
• 构造反例。

易错点

把有限和

$$a+b+c=b+c+a$$

的直觉完全照搬到无穷级数。

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第三部分：函数列与函数项级数完整知识框架

这是这三个板块里最需要认真啃的一个。

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一、逐点收敛与一致收敛

设函数列：

$$f_1(x),f_2(x),\cdots$$

定义在集合 $E$ 上。

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1. 逐点收敛

对每一个固定的 $x\in E$，若

$$f_n(x)\to f(x),$$

则称

$$f_n\to f$$

逐点收敛。

严谨写法：

$$\forall x\in E,\quad \forall\varepsilon>0, \quad \exists N=N(x,\varepsilon),$$

使得

$$n>N \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.$$

重点：

$$\boxed{N\text{ 可以依赖 }x}.$$

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2. 一致收敛

若：

$$\forall\varepsilon>0, \quad \exists N=N(\varepsilon),$$

使得对所有

$$x\in E$$

以及所有 $n>N$，都有

$$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,$$

则一致收敛。

关键：

$$\boxed{N\text{ 不允许依赖 }x}.$$

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一句话区分

逐点收敛：

每一个点最后都能追上，但不同点允许有不同速度。

一致收敛：

我规定一个统一的 $N$，从那以后整个区间所有点一起达标。

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经典例子：$f_n(x)=x^n$

在

$$[0,1)$$

上：

对每一个固定 $x<1$，

$$x^n\to0.$$

所以逐点收敛于 0。

但是：

$$\sup_{0\le x<1}x^n=1.$$

因此无论 $n$ 多大，总能找一个特别接近 1 的 $x$，使

$$x^n$$

还很大。

所以：

$$\boxed{x^n\not\to0\text{ 一致于 }[0,1).}$$

但若换成

$$[0,a],\qquad 0<a<1,$$

则

$$\sup|x^n|=a^n\to0,$$

所以一致收敛。

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图像直觉

可以想象一排曲线 $y=x^n$。

随着 $n$ 增大：

大多数地方都趴到 $x$ 轴附近了；

但靠近 $x=1$ 的地方始终留着一块越来越窄、但仍然很高的“尾巴”。

这个“会到处躲的高尾巴”，就是不一致收敛的典型图像。

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最常用判定方式

若极限函数是 $f$，研究：

$$\boxed{\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|}.$$

若

$$\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to0,$$

就是一致收敛。

易错点

最常见错误：

先固定 $x$，求出极限，再以为已经证明一致收敛。

你只证明了逐点收敛。

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二、一致收敛的 Cauchy 准则

函数列 $f_n$ 在 $E$ 上一致收敛，当且仅当：

对任意

$$\varepsilon>0,$$

存在与 $x$ 无关的 $N$，使

$$m,n>N$$

时，对一切 $x\in E$：

$$\boxed{|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon}.$$

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对函数项级数的版本

令

$$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x).$$

它一致收敛，当且仅当：

$$\forall\varepsilon>0, \exists N,$$

当 $m>n>N$ 时，

$$\boxed{ \left| \sum_{k=n+1}^m u_k(x) \right|<\varepsilon }$$

对所有 $x\in E$ 成立。

一句话说就是

从足够后面的任何地方截一小段尾巴，其总贡献都必须对所有 $x$ 同时很小。

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证明骨架

本质就是把函数列放到：

$$\|f\|_\infty = \sup_{x\in E}|f(x)|$$

这个“距离”下使用普通 Cauchy 原理。

典型考法

证明某函数项级数：

• 一致收敛；
• 不一致收敛。

尤其是“M 判别不管用”时，Cauchy 准则非常重要。

易错点

又忘记“对所有 $x$”这几个字。

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三、Weierstrass M 判别法

如果存在一列正数 $M_n$，满足：

$$|u_n(x)|\le M_n$$

对所有 $x\in E$ 成立，而且

$$\sum M_n$$

收敛，那么：

$$\boxed{\sum u_n(x)\text{ 在 }E\text{ 上一致收敛}}$$

而且实际上绝对一致收敛。

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直觉

函数 $u_n(x)$ 怎么动我不管。

只要我能给它套一个与 $x$ 无关的“笼子”：

$$|u_n(x)|\le M_n,$$

并且这些笼子的总大小：

$$\sum M_n$$

有限，就够了。

一句话说就是

先把 $x$ 消掉，再退化成一个普通正项级数。

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例子

在

$$[-1,1]$$

上：

$$\sum\frac{x^n}{n^2}.$$

因为

$$\left|\frac{x^n}{n^2}\right| \le \frac1{n^2},$$

且

$$\sum\frac1{n^2}$$

收敛。

所以原级数一致收敛。

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证明骨架

利用函数项级数 Cauchy 准则：

$$\left| \sum_{k=n}^m u_k(x) \right| \le \sum_{k=n}^m|u_k(x)| \le \sum_{k=n}^mM_k.$$

右边与 $x$ 无关，而且因为

$$\sum M_k$$

收敛，尾项可以统一变小。

典型考法

河北师大这一层次非常值得熟练：

给一个函数级数，先找

$$\sup_x|u_n(x)|.$$

然后判断：

$$\sum \sup_x|u_n(x)|$$

是否收敛。

易错点

M 判别法是充分条件，不是必要条件。

所以：

$$\sum M_n$$

发散，不能宣布原函数级数不一致收敛。

可能需要 Dirichlet / Abel。

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四、一致收敛与连续性的交换

假设：

• 每个 $f_n$ 在 $E$ 上连续；
• $f_n\to f$ 一致。

那么：

$$\boxed{f\text{ 连续}}.$$

即：

$$\boxed{ \lim_{n\to\infty}f_n(x) }$$

在一致收敛条件下保持连续性。

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直觉

如果每条曲线都没有“断口”，并且整条曲线一起贴近最终曲线，那么最终曲线也不可能突然出现断口。

逐点收敛就不行。

例如：

$$f_n(x)=x^n,\quad x\in[0,1].$$

极限：

$$f(x)= \begin{cases} 0,&0\le x<1,\\ 1,&x=1. \end{cases}$$

每个 $f_n$ 连续，但极限不连续。

因此这个例子反过来告诉你：

$$f_n$$

不可能一致收敛。

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证明骨架：经典“三项拆分”

要控制

$$|f(x)-f(x_0)|$$

写成：

$$|f(x)-f_n(x)| + |f_n(x)-f_n(x_0)| + |f_n(x_0)-f(x_0)|.$$

1. 第一、三项靠一致收敛控制；
2. 中间一项靠 $f_n$ 连续；
3. 三个量各压到 $\varepsilon/3$。

这是数分非常经典的证明框架。

典型考法

“证明一致收敛函数列的极限连续。”

或者：

已知极限函数不连续，证明不一致收敛。

易错点

连续函数列逐点收敛不能保证极限连续。

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五、一致收敛与积分交换

若：

• $f_n$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积；
• $f_n\to f$ 一致；

则：

$$f$$

可积，且

$$\boxed{ \lim_{n\to\infty} \int_a^bf_n(x)\,dx = \int_a^bf(x)\,dx. }$$

对于函数项级数：

$$\boxed{ \int_a^b \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b u_n(x)\,dx. }$$

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为什么？

因为：

$$\left| \int_a^b(f_n-f) \right| \le \int_a^b|f_n-f| \le (b-a)\sup|f_n-f|.$$

而一致收敛意味着：

$$\sup|f_n-f|\to0.$$

一句话说就是

整个函数都已经统一贴得很近，积分面积自然也很近。

典型考法

先证明某级数一致收敛，再求：

$$\int_0^1\sum u_n(x)\,dx.$$

核心步骤不是直接交换，而是写一句：

由一致收敛及逐项可积性，可逐项积分。

易错点

未经证明就写：

$$\int\sum=\sum\int.$$

考研证明题里这是会扣分的。

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六、求导与极限交换

这里比积分严格得多。

仅有一致收敛，不能推出极限函数可导。

经典反例可以用光滑函数逼近：

$$f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac1n}.$$

在闭区间上一致趋于

$$|x|,$$

但

$$|x|$$

在 $0$ 不可导。

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正确定理

若在 $[a,b]$：

1. 每个 $f_n$ 可导；
2. 存在一点 $x_0$，使 $$f_n(x_0)$$ 收敛；
3. $$f_n'$$ 一致收敛；

则 $f_n$ 一致收敛于某个 $f$，且

$$\boxed{ f'(x)=\lim_{n\to\infty}f_n'(x). }$$

函数项级数版：

若

$$\sum u_n(x_0)$$

在某一点收敛，且

$$\sum u_n'(x)$$

一致收敛，则

$$\sum u_n(x)$$

可逐项求导：

$$\boxed{ \left(\sum u_n(x)\right)' = \sum u_n'(x). }$$

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为什么需要“某一点收敛”？

因为知道导数，只能确定函数到一个常数。

比如：

$$f_n(x)=x+n.$$

所有

$$f_n'(x)=1$$

完全一样；

但 $f_n$ 本身显然不收敛。

所以需要在某一个点把那个“常数漂移”固定下来。

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证明骨架

设

$$f_n'\to g$$

一致。

利用微积分基本定理：

$$f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^x f_n'(t)\,dt.$$

令 $n\to\infty$：

$$f(x) = c+\int_{x_0}^xg(t)\,dt.$$

于是：

$$f'(x)=g(x).$$

典型考法

给一个函数项级数：

1. 判断原级数收敛；
2. 判断导数级数是否一致收敛；
3. 求和函数导数。

这是非常典型的综合证明路线。

易错点

牢记：

$$\boxed{\text{积分交换比求导交换容易得多。}}$$

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七、函数项级数的 Dirichlet 判别法

考虑：

$$\sum a_n(x)b_n(x).$$

若：

1. 部分和 $$A_n(x)=\sum_{k=1}^na_k(x)$$ 在 $E$ 上一致有界，即存在固定 $M$： $$|A_n(x)|\le M;$$
2. 对每个 $x$，$b_n(x)$ 关于 $n$ 单调；
3. $$b_n(x)\to0$$ 一致；

则

$$\sum a_n(x)b_n(x)$$

一致收敛。

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直觉

$a_n$ 自己可能乱振荡，所以绝对值之后根本收不住。

但如果它的部分和始终被控制住：

$$|A_n(x)|\le M,$$

而另一个因子 $b_n(x)$ 越来越小，就能把振荡压下去。

一句话说就是

一个负责“振荡但不跑远”，另一个负责“单调缩到 0”。

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证明工具：Abel 变换

它相当于离散版的分部积分：

$$\sum_{k=m}^na_kb_k$$

改写成“部分和 × 差分”。

然后利用：

• 部分和有界；
• $b_n$ 单调趋零。

典型例子

$$\sum\frac{\sin nx}{n}.$$

因为：

$$\sum_{k=1}^n\sin kx$$

在避开 $0,2\pi$ 的闭区间上一致有界，而

$$\frac1n\downarrow0.$$

因此适合 Dirichlet。

易错点

不是只要求：

$$A_n(x)$$

对每个 $x$ 有界。

要的是一致有界。

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八、Abel 判别法

若：

1. $$\sum a_n(x)$$ 一致收敛；
2. $b_n(x)$ 关于 $n$ 单调；
3. $$|b_n(x)|\le M$$ 一致有界；

则

$$\sum a_n(x)b_n(x)$$

一致收敛。

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和 Dirichlet 的区别

Dirichlet

$$\boxed{\text{部分和有界}+\text{另一因子}\to0}$$

Abel

$$\boxed{\text{原级数已经一致收敛}+\text{另一因子有界单调}}$$

建议直接把这两个口诀一起背。

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证明骨架

同样使用 Abel 变换。

一致收敛保证尾部分和足够小；

$b_n$ 的单调有界使变换后的系数受到控制。

典型考法

M 判别失败之后：

“证明该函数项级数在某区间一致收敛。”

这时要立刻想到：

$$\boxed{\text{Cauchy / Dirichlet / Abel}}$$

而不是死磕绝对值。

易错点

Abel 和 Dirichlet 条件背反。

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第四部分：高等代数——行列式完整知识框架

河北师大 2020 年 821 真题已经直接出现过 15 分的 $n$ 阶结构型行列式计算，所以这一章不是“只看概念”的章节，而是必须形成稳定计算能力。(Koolearn)

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一、行列式定义

设

$$A=(a_{ij})_{n\times n}.$$

行列式定义为：

$$\det A = \sum_{\sigma\in S_n} (-1)^{\tau(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}.$$

其中：

• $\sigma$ 是排列；
• $\tau(\sigma)$ 是排列逆序数。

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直觉

每一项都满足：

• 每行选一个；
• 每列选一个；
• 根据排列奇偶决定正负号。

一句话说就是

从每行每列各取一个元素，把所有合法乘积按排列奇偶加起来。

考研阶段：

$$\boxed{\text{定义会写即可，性质远比硬按定义计算重要。}}$$

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二、行列式核心性质

这部分必须做到“不思考就能用”。

性质1：转置不改变行列式

$$\boxed{\det A^T=\det A}.$$

所以所有行性质都有对应列版本。

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性质2：交换两行

交换两行：

$$\boxed{\det B=-\det A}.$$

特别地，如果两行完全相同：

$$\det A=0.$$

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性质3：某行乘 $k$

若一行整体乘 $k$：

$$\boxed{\det B=k\det A}.$$

所以某行有公因子：

$$k(a_1,\dots,a_n)$$

可以把 $k$ 提出去。

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性质4：一行加上另一行的倍数

$$R_i\leftarrow R_i+kR_j$$

则：

$$\boxed{\det\text{ 不变}}.$$

这是计算最核心的性质。

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三个初等行变换与行列式

必须形成表格记忆：

初等变换	行列式
交换两行	乘 $-1$
一行乘 $k$	乘 $k$
一行加另一行 $k$ 倍	不变

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其他必须掌握

三角矩阵：

$$\boxed{ \det A=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} }$$

乘法：

$$\boxed{\det(AB)=\det A\det B}.$$

若 $A$ 可逆：

$$\boxed{ \det A^{-1}=\frac1{\det A}. }$$

易错点

做初等变换时只顾化简，最后忘了交换行产生的负号，或者忘了某行乘常数造成的倍数。

这是行列式计算最常见失分点。

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三、化三角形法

目标：

通过

$$R_i\leftarrow R_i+kR_j$$

把矩阵化为上三角或下三角。

然后：

$$D= a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$

再恢复交换行、倍乘行产生的系数。

直觉

行列式本来看着是一大坨。

只要下面全部消成 0：

$$\begin{vmatrix} *&*&*&*\\ 0&*&*&*\\ 0&0&*&*\\ 0&0&0&* \end{vmatrix},$$

答案立刻就是对角线乘积。

典型考法

数字行列式、含参数一般行列式。

易错点

如果主元是参数 $a$，不要直接除以 $a$ 而不讨论：

$$a=0.$$

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四、按行/列展开

Laplace 展开：

$$\det A = \sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij},$$

其中

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$

是代数余子式。

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核心策略

千万别固定“永远按第一行展开”。

应该选：

$$\boxed{\text{零最多的一行或一列}}.$$

一句话说就是

按行展开不是目的，制造大量的 0 才是目的。

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典型考法

• 有大量零；
• 某一行特别简单；
• 经初等变换后再展开；
• 递推型行列式。

易错点

符号：

$$(-1)^{i+j}$$

非常容易错。

建议脑中记棋盘：

$$\begin{matrix} +&-&+&-\\ -&+&-&+\\ +&-&+&- \end{matrix}.$$

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五、递推法

有些 $D_n$ 展开以后会得到：

$$D_n=aD_{n-1}+bD_{n-2}.$$

于是行列式问题变成数列递推问题。

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典型对象

三对角行列式：

$$D_n= \begin{vmatrix} a&b&0&\cdots&0\\ c&a&b&\cdots&0\\ 0&c&a&\ddots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&b\\ 0&\cdots&0&c&a \end{vmatrix}.$$

沿第一行展开：

$$\boxed{ D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}. }$$

然后：

1. 求 $D_1,D_2$；
2. 解递推；
3. 得一般公式。

典型考法

求 $n$ 阶行列式通项。

易错点

只写递推式没求最终结果。

题目问“计算 $D_n$”通常要继续解递推。

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六、加边法

有些行列式结构：

• 每行各项和类似；
• 含大量同类型元素；
• 直接消元很乱。

可以人为增加一行一列，使结构变漂亮。

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直觉

原问题不好算，就“把它嵌入一个更大的、但更规则的问题”。

这有点反直觉：

阶数变高了，反而更容易。

常见使用场景

某些元素具有：

$$a_i+b_j$$

或者各行各列高度对称的结构。

典型考法

$n$ 阶特殊结构行列式。

易错点

加边不是固定套路。

必须明确：

1. 新行列式和原行列式什么关系；
2. 怎样通过初等变换还原。

不能凭记忆抄模板。

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七、范德蒙德行列式

必须背：

$$V_n= \begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{vmatrix}.$$

结果：

$$\boxed{ V_n= \prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i). }$$

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直觉

如果

$$x_i=x_j,$$

第 $i,j$ 列相同，所以行列式为 0。

因此它必然含因子：

$$x_j-x_i.$$

所有这样的因子乘起来次数刚好吻合，所以得到公式。

证明骨架

1. 视为关于某个变量的多项式；
2. 令 $x_n=x_i$，两列相同，因此这些值都是根；
3. 得到因子 $$\prod_{i<n}(x_n-x_i);$$
4. 比较最高次项系数；
5. 归纳完成。

典型考法

不一定原题直接长得像 Vandermonde。

可能是：

$$1,\quad x_i,\quad x_i^3,\cdots$$

经过提因子、转置、调整行列顺序后再识别。

易错点

公式正负号。

如果列顺序是 $x_1,x_2,\dots,x_n$，上面写法对应：

$$(x_j-x_i).$$

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八、克拉默法则

方程组：

$$AX=b$$

其中 $A$ 是 $n$ 阶方阵。

若：

$$\boxed{\det A\neq0},$$

则方程组有唯一解：

$$\boxed{x_i=\frac{D_i}{D}},$$

其中

$$D=\det A,$$

$D_i$ 是把 $A$ 的第 $i$ 列换成 $b$ 得到的行列式。

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一句话说就是

系数行列式非零时，可以直接用行列式把每个未知数“拎出来”。

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和方程组的关系

$$\det A\neq0$$

等价于：

$$A\text{ 可逆}$$

等价于：

$$AX=b$$

对任意 $b$ 有唯一解。

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最重要易错点

若：

$$\det A=0,$$

只能说：

$$\boxed{\text{不能直接使用克拉默法则}}.$$

不能说：

$$\boxed{\text{方程组无解}}.$$

因为可能：

• 无解；
• 无穷多解。

需要再看秩。

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九、伴随矩阵与逆矩阵

定义伴随矩阵：

$$A^*=(A_{ji}).$$

核心公式：

$$\boxed{ AA^*=A^*A=(\det A)I. }$$

若

$$\det A\neq0,$$

则：

$$\boxed{ A^{-1} = \frac1{\det A}A^*. }$$

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证明骨架

矩阵乘积第 $i,j$ 个元素：

$$\sum_k a_{ik}A_{jk}.$$

当 $i=j$：

就是按第 $i$ 行展开：

$$=\det A.$$

当 $i\neq j$：

相当于一个有两行相同的行列式：

$$=0.$$

所以：

$$AA^*=(\det A)I.$$

典型考法

证明：

• $A$ 可逆；
• 求 $A^{-1}$；
• 求 $\det A^*$；
• 研究 $\operatorname{rank}A^*$。

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十、行列式与矩阵可逆性

最核心等价关系：

$$\boxed{ A\text{ 可逆} \iff \det A\neq0 \iff r(A)=n. }$$

这三个必须随时自由转换。

典型考法

有时题目根本不写“求行列式”。

而是：

判断参数 $a$ 取何值时矩阵可逆。

实际上就是解：

$$\det A(a)\neq0.$$

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十一、行列式与特征值

特征值定义：

$$A\alpha=\lambda\alpha, \qquad \alpha\neq0.$$

于是：

$$(\lambda I-A)\alpha=0$$

有非零解。

所以：

$$\lambda I-A$$

不可逆：

$$\boxed{ \det(\lambda I-A)=0. }$$

这就是特征方程。

一句话说就是

特征值问题最后会被压成一个参数行列式问题。

因此行列式没练熟，后面特征值会持续吃亏。

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十二、行列式与向量组线性相关

若

$$\alpha_1,\dots,\alpha_n$$

是 $n$ 个 $n$ 维向量，组成：

$$A=(\alpha_1,\dots,\alpha_n).$$

则：

$$\boxed{ \alpha_1,\dots,\alpha_n\text{ 线性无关} \iff \det A\neq0. }$$

而：

$$\boxed{ \det A=0 \iff \text{线性相关}. }$$

注意：

只有恰好构成方阵时才能这么直接说。

如果是：

$$n\times m$$

矩阵，就应研究：

$$\operatorname{rank}A$$

以及各阶子式。

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行列式的河北师大复习核心

你应该形成这样一条反射链：

$$\boxed{ \text{特殊结构} \to \text{行列变换} \to \text{行列式} \to \text{秩/可逆} \to \text{方程组} }$$

而不是：

$$\boxed{\text{看到行列式只会按第一行展开}}.$$

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第五部分：核心技能清单与自测题

一、数项级数——必须掌握

3 类计算/判断技能

技能1：看到通项，快速选择判别法

要做到：

• 有理式 → 比较；
• 阶乘、指数 → 比值；
• 整体 $n$ 次幂 → 根值；
• $n,\ln n$ → 积分/比较；
• 正负交替 → 绝对收敛 + Leibniz。

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技能2：参数级数分类

能够把答案分成：

$$\text{绝对收敛}, \qquad \text{条件收敛}, \qquad \text{发散}.$$

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技能3：余项与误差估计

尤其是交错级数：

$$|R_n|\le b_{n+1}.$$

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3 类证明技能

技能1

利用比较法证明敛散。

技能2

利用 Cauchy 准则证明收敛/发散。

技能3

处理“由某级数收敛推出另一个级数收敛”的证明。

核心工具：

• 放缩；
• 分组；
• Abel 变换；
• 单调性。

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二、函数列与函数项级数——必须掌握

3 类计算/判断技能

技能1

求逐点极限，并找：

$$\sup|f_n-f|.$$

技能2

选择一致收敛判别法：

$$\boxed{M/Cauchy/Dirichlet/Abel}.$$

技能3

判断：

$$\lim,\quad\int,\quad\frac d{dx}$$

能否与无穷和交换。

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3 类证明技能

技能1

直接按一致收敛定义证明。

技能2

用 Cauchy 准则或 M 判别证明一致收敛。

技能3

证明连续性、积分、求导的交换。

尤其要熟练：

$$|f-f(x_0)|$$

“三项拆分”。

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三、行列式——必须掌握

4 类计算技能

技能1

初等行列变换化三角形。

技能2

制造 0 后按行列展开。

技能3

求 $n$ 阶递推型行列式。

技能4

识别特殊结构：

• Vandermonde；
• 对称结构；
• 加边；
• 参数型；
• 块结构。

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2 类证明技能

技能1

利用行列式性质证明恒等式。

例如：

$$\det(AB)=\det A\det B$$

的相关应用、参数恒等式、因子证明。

技能2

利用：

$$\det A\neq0$$

串联：

$$\text{可逆} \leftrightarrow \text{唯一解} \leftrightarrow \text{满秩} \leftrightarrow \text{线性无关}.$$

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四、数项级数自测题

题1：参数型综合审敛

设

$$p,q\in\mathbb R.$$

讨论级数

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}} {n^p[\ln(n+1)]^q}$$

的敛散性，并在收敛情况下判断其属于绝对收敛还是条件收敛。

要求说明所使用判别法及其适用条件。

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题2：证明型综合题

设

$$a_n>0,$$

且 $\{a_n\}$ 单调递减，并有

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty.$$

证明：

$$na_n\to0.$$

进一步判断级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} n(a_n-a_{n+1})$$

是否一定收敛；若收敛，研究其和与

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$

之间的关系。

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五、函数列与函数项级数自测题

题1：逐点、一致收敛综合

定义在 $[0,1]$ 上：

$$f_n(x)=x^n(1-x).$$

1. 求 $f_n(x)$ 的逐点极限函数；
2. 判断 $f_n$ 是否在 $[0,1]$ 上一致收敛；
3. 求 $$\max_{0\le x\le1}f_n(x);$$
4. 讨论 $$\lim_{n\to\infty} \int_0^1f_n(x)\,dx$$ 与极限函数积分之间的关系，并说明依据。

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题2：函数项级数综合题

研究函数项级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}, \qquad 0\le x\le1.$$

1. 证明该级数在 $[0,1]$ 上一致收敛；
2. 判断能否在 $[0,1]$ 上逐项积分；
3. 讨论能否在整个 $[0,1]$ 上逐项求导；
4. 对任意固定 $$0<r<1,$$ 讨论其在 $[0,r]$ 上的逐项求导问题。

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六、行列式自测题

题1：$n$ 阶结构型行列式

设

$$a_1,a_2,\dots,a_n\neq0,$$

计算：

$$D_n= \begin{vmatrix} a_1+x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_n\\ x_2y_1 & a_2+x_2y_2 & \cdots & x_2y_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_ny_1 & x_ny_2 & \cdots&a_n+x_ny_n \end{vmatrix}.$$

要求尽量使用行列式性质或结构化方法，不建议直接按定义展开。

这类题型和河北师大公开真题中出现过的 $n$ 阶结构型行列式属于同一个训练层级。(Koolearn)

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题2：行列式 + 矩阵 + 方程组

设 $A_n$ 为 $n$ 阶矩阵：

$$A_n= \begin{pmatrix} a&b&b&\cdots&b\\ b&a&b&\cdots&b\\ b&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b&b&b&\cdots&a \end{pmatrix}.$$

1. 计算 $$\det A_n;$$
2. 求参数 $a,b$ 满足什么条件时 $A_n$ 可逆；
3. 在可逆条件下，求方程组 $$A_nX= \begin{pmatrix} 1\\1\\\vdots\\1 \end{pmatrix}$$ 的解；
4. 根据行列式结果判断矩阵 $A_n$ 可能出现的特征值，并说明理由。

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最后给你一张“复习路线图”

如果你现在开始学，不要平均用力，按下面顺序走：

$$\boxed{ \text{数项级数定义} }$$

↓

$$\boxed{ \text{正项级数四大判别} }$$

↓

$$\boxed{ \text{交错、绝对、条件收敛} }$$

↓

$$\boxed{ \text{逐点收敛 vs 一致收敛} }$$

↓

$$\boxed{ \text{Cauchy + M 判别} }$$

↓

$$\boxed{ \text{一致收敛三大性质： 连续、积分、求导} }$$

↓

$$\boxed{ \text{Dirichlet + Abel} }$$

与此同时高代单独走：

$$\boxed{ \text{行列式性质} \to \text{初等变换} \to \text{展开} \to \text{递推/Vandermonde/加边} \to \text{Cramer} }$$

最后统一串成：

$$\boxed{ \det A \leftrightarrow A^{-1} \leftrightarrow r(A) \leftrightarrow AX=b \leftrightarrow \text{线性相关} \leftrightarrow \text{特征值} }$$

这套框架里，最优先吃透的是“一致收敛”和“行列式的初等变换”：前者决定数分级数题的上限，后者决定高代大量后续题的计算底盘。