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我现在在备考一个大学的数学竞赛。其中，有很多与关于不等式证明的题目。请你为我讲解各种的不等式证明方法...

创建于：2026年8月21日

使用 GPT-5.6 Thinking 回答 Chat01

问题

我现在在备考一个大学的数学竞赛。其中，有很多与关于不等式证明的题目。请你为我讲解各种的不等式证明方法及其本质，并且有对应习题。习题难度应该较高

Python

python
import random, math
def test1(a,b,c):
    return (a*a+b*b+c*c)**2 - 3*(a**3*b+b**3*c+c**3*a)
mins=(1e9,None)
for _ in range(200000):
    x,y=[random.uniform(-3,3) for _ in range(2)]
    a,b=math.exp(x),math.exp(y); c=1/(a*b)
    v=test1(a,b,c)
    if v<mins[0]: mins=(v,(a,b,c))
mins


(7.948608254793044e-05,
 (0.39129329055312473, 1.9958810047123783, 1.2804509713306194))

Python

python
import random, math
def f(a,b,c):
    return sum([a/math.sqrt(a*a+8*b*c), b/math.sqrt(b*b+8*c*a), c/math.sqrt(c*c+8*a*b)])
mn=(9,None)
for _ in range(200000):
    vals=[10**random.uniform(-3,3) for _ in range(3)]
    v=f(*vals)
    if v<mn[0]: mn=(v,vals)
mn


(1.0000450412629158,
 [0.005926097769145987, 0.005927964445186561, 0.006031307272323981])

Python

python
import random, math
def g(a,b,c):
    return 1/(a**3*(b+c))+1/(b**3*(c+a))+1/(c**3*(a+b))
mn=(9,None)
for _ in range(100000):
    x,y=random.uniform(-3,3), random.uniform(-3,3)
    a,b=math.exp(x),math.exp(y); c=1/(a*b)
    v=g(a,b,c)
    if v<mn[0]:mn=(v,(a,b,c))
mn


(1.5000530271597445,
 (1.0045914203663329, 0.9995961004245019, 0.9958317804580453))

Python

python
import random
mn=(999,None)
for _ in range(200000):
    x=random.random()*3
    y=random.random()*(3-x)
    z=3-x-y
    v=(1+x*x)*(1+y*y)*(1+z*z)
    if v<mn[0]: mn=(v,(x,y,z))
mn


(7.812500773089197,
 (1.9993106312812978, 0.5005538800076167, 0.5001354887110855))

思考

Explained and verified radical and product inequalities numerically

Worked for 2m 22s

回答

如果你准备的是大学数学竞赛中的不等式题，我建议不要把它学成“二十种技巧的目录”，而要学成一套识别结构—猜等号—寻找最值—降维—证明非负的体系。

几乎所有常见的不等式证明，都可以归结为下面几个“本质”：

不等式证明的本质，就是证明某个量不会超过它的极值。

而寻找极值最常见的机制只有几种：
平方非负、平均化、凸性、内积结构、排序、对称性降维、变量代换。

下面给你一套适合竞赛训练的框架。习题我会有意放得比较难。

一、做不等式之前，先形成这套思考顺序

拿到

F(a,b,c)≥0F(a,b,c)\ge 0

不要立即套 AM-GM 或 Cauchy。先问六个问题。

1. 等号什么时候成立？

这是最重要的问题之一。

如果你发现等号是

a=b=c,a=b=c,

那么通常意味着：

  • AM-GM；
  • Cauchy；
  • Jensen；
  • Muirhead；
  • uvwuvw；
  • 配方；
  • 平滑法

都有可能。

如果等号是

b=c≠a,b=c\neq a,

则应该高度警惕：

  • uvwuvw；
  • 判别式；
  • 混合变量法。

如果等号在边界，例如 c=0c=0，通常说明极值不一定在完全相等处。

2. 是不是齐次的？

例如

ab+c+bc+a+ca+b≥32\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\ge \frac32

把 a,b,ca,b,c 同时乘 tt，不等式不变。

于是你可以任意规定：

a+b+c=1a+b+c=1

或者

abc=1abc=1

等。

齐次性的本质：消掉一个自由度。

三元问题因此实际只有二维。

3. 是对称还是轮换？

对称：

F(a,b,c)=F(b,a,c)=F(c,b,a)=⋯F(a,b,c)=F(b,a,c)=F(c,b,a)=\cdots

轮换：

F(a,b,c)=F(b,c,a)=F(c,a,b)F(a,b,c)=F(b,c,a)=F(c,a,b)

却未必允许交换 a,ba,b。

对称不等式往往可以用：

p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abcp=a+b+c,\qquad q=ab+bc+ca,\qquad r=abc

或者 uvwuvw。

而轮换不等式通常难得多。

4. 有没有分母？

看到

∑xi2yi\sum\frac{x_i^2}{y_i}

第一反应应该是 Cauchy：

∑xi2yi≥(∑xi)2∑yi.\sum\frac{x_i^2}{y_i} \ge \frac{(\sum x_i)^2}{\sum y_i}.

看到更高次：

∑ximyim−1\sum\frac{x_i^m}{y_i^{m-1}}

应该想到 Hölder。

5. 有没有固定和或固定积？

固定和：

x1+⋯+xn=Sx_1+\cdots+x_n=S

通常关注：

  • Jensen；
  • 平滑；
  • AM-GM；
  • 拉格朗日乘数；
  • 凸性。

固定积：

x1x2⋯xn=Px_1x_2\cdots x_n=P

通常可以：

xi=eti,x_i=e^{t_i},

于是

t1+⋯+tn=ln⁡P,t_1+\cdots+t_n=\ln P,

把“固定积”变成“固定和”。

这是非常重要的高级技巧。

6. 能不能把问题降成两个变量？

很多三元对称不等式最终可以证明：

极值一定出现在 b=cb=c。

这样只需令

b=c=x,a=y.b=c=x,\qquad a=y.

一个三元问题瞬间变成一元问题。

这就是 uvwuvw、混合变量法等方法强大的根本原因。

二、方法一：恒等变形与平方和 SOS

这是最基础，同时也是最本质的方法。

目标只有一句话：

把“左边−右边”写成显然非负的东西。\boxed{\text{把“左边}-\text{右边”写成显然非负的东西。}}

例如

a2+b2+c2≥ab+bc+ca.a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca.

因为

a2+b2+c2−ab−bc−ca=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2].a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].

于是立即得到结论。

为什么平方这么重要？

因为

x2≥0x^2\ge0

是实数序结构最基本的事实之一。

所以很多复杂不等式最终都可以化成：

∑Pi(a,b,c)2Qi(a,b,c)≥0,Qi≥0.\sum P_i(a,b,c)^2Q_i(a,b,c)\ge0, \qquad Q_i\ge0.

这就是 SOS，Sum of Squares。

典型例子：Schur 不等式

对 a,b,c≥0a,b,c\ge0：

a3+b3+c3+3abc≥∑syma2b,a^3+b^3+c^3+3abc \ge \sum_{\rm sym}a^2b,

其中

∑syma2b=a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b.\sum_{\rm sym}a^2b = a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b.

它等价于

∑cyca(a−b)(a−c)≥0.\sum_{\rm cyc}a(a-b)(a-c)\ge0.

设

a≥b≥c.a\ge b\ge c.

则

∑a(a−b)(a−c)=a(a−b)(a−c)+b(b−c)(b−a)+c(c−a)(c−b)=(a−b)2(a+b−c)+c(a−c)(b−c)≥0.\begin{aligned} &\sum a(a-b)(a-c)\\ ={}&a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\\ ={}&(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c)\ge0. \end{aligned}

注意这里出现了竞赛中很重要的思想：

不能直接判断每一项非负，就通过重新分组制造非负。

练习 1 ★★★

证明，对于 a,b,c≥0a,b,c\ge0，

a4+b4+c4+abc(a+b+c)≥∑syma3b.a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge \sum_{\rm sym}a^3b.

提示：这是四次 Schur：

∑a2(a−b)(a−c)≥0.\sum a^2(a-b)(a-c)\ge0.

练习 2 ★★★★

设 x,y,z∈Rx,y,z\in\mathbb R，证明

(x2+y2+z2)2≥3(x2y2+y2z2+z2x2).(x^2+y^2+z^2)^2 \ge 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2).

不要直接套基本不等式，尝试完整 SOS 分解。

三、方法二：AM-GM——“平均化”的最基本工具

AM-GM：

x1+⋯+xnn≥x1x2⋯xnn.\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}.

等号当且仅当

x1=⋯=xn.x_1=\cdots=x_n.

它真正表达的是：

在乘积固定时，数越平均，和越小；在和固定时，数越平均，乘积越大。

加权 AM-GM

如果

λi≥0,∑λi=1,\lambda_i\ge0,\qquad \sum\lambda_i=1,

则

λ1x1+⋯+λnxn≥x1λ1⋯xnλn.\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_nx_n \ge x_1^{\lambda_1}\cdots x_n^{\lambda_n}.

竞赛中的关键通常不是会不会 AM-GM，而是：

怎样选择权重？

例子

若

xyz=1,xyz=1,

证明

(1+x)(1+y)(1+z)≥8.(1+x)(1+y)(1+z)\ge8.

因为

1+x≥2x,1+x\ge2\sqrt x,

所以

(1+x)(1+y)(1+z)≥8xyz=8.(1+x)(1+y)(1+z) \ge 8\sqrt{xyz}=8.

AM-GM 的另一重本质

它其实来自

ln⁡x\ln x

的凹性。

后面会看到：

AM-GM 本质上也是 Jensen。\boxed{\text{AM-GM 本质上也是 Jensen。}}

练习 3 ★★★

设 a,b,c>0, abc=1a,b,c>0,\ abc=1，证明

1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.\frac1{a^3(b+c)} + \frac1{b^3(c+a)} + \frac1{c^3(a+b)} \ge \frac32.

不要只尝试一次 AM-GM。先研究等号，再尝试代换和 Cauchy。

练习 4 ★★★★

设 x1,…,xn>0x_1,\ldots,x_n>0，证明

∏i=1n(1+xi)≥(1+x1x2⋯xnn)n.\prod_{i=1}^{n}(1+x_i) \ge \left(1+\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\right)^n.

思考：为什么这是“平均化”？

四、方法三：Cauchy-Schwarz——处理分式最重要的方法

Cauchy：

(∑xi2)(∑yi2)≥(∑xiyi)2.\left(\sum x_i^2\right) \left(\sum y_i^2\right) \ge \left(\sum x_iy_i\right)^2.

竞赛中最常用的是 Engel 形式：

∑i=1nxi2ai≥(x1+⋯+xn)2a1+⋯+an\boxed{ \sum_{i=1}^n\frac{x_i^2}{a_i} \ge \frac{(x_1+\cdots+x_n)^2}{a_1+\cdots+a_n} }

其中 ai>0a_i>0。

本质是什么？

Cauchy 的几何本质是：

∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥∥y∥.|\langle x,y\rangle| \le \|x\|\|y\|.

也就是：

一个向量在另一个方向上的投影不可能比自身长度更大。

而代数上的重要作用是：

把多个分式压缩成一个分式。\boxed{\text{把多个分式压缩成一个分式。}}

例子：Nesbitt 不等式

ab+c+bc+a+ca+b≥32.\frac a{b+c} + \frac b{c+a} + \frac c{a+b} \ge \frac32.

写成

∑a2ab+ac.\sum\frac{a^2}{ab+ac}.

于是

∑a2ab+ac≥(a+b+c)22(ab+bc+ca).\sum\frac{a^2}{ab+ac} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}.

而

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca),

因此

(a+b+c)22(ab+bc+ca)≥32.\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \ge \frac32.

一个重要习惯

看到

AB\frac A B

时问：

能否把 AA 写成一个平方？

比如

ab+c=a2ab+ac.\frac a{b+c} = \frac{a^2}{ab+ac}.

这往往就是破题点。

练习 5 ★★★

证明

a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2.\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \ge \frac{a+b+c}{2}.

然后研究：如果规定 abc=1abc=1，还能否继续加强右侧？

练习 6 ★★★★

设 ai,bi>0a_i,b_i>0，证明

∑i=1nai2bi≥(a1+⋯+an)2b1+⋯+bn,\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i^2}{b_i} \ge \frac{(a_1+\cdots+a_n)^2}{b_1+\cdots+b_n},

并证明：

对给定的 bib_i 和 ∑ai\sum a_i，什么情况下左边达到最小？

不要只证明公式，要解释极值结构。

五、方法四：Hölder——高次版 Cauchy

Hölder 可以把 Cauchy 看成特殊情况。

竞赛中非常实用的一种形式是：

∑i=1nximyim−1≥(x1+⋯+xn)m(y1+⋯+yn)m−1\boxed{ \sum_{i=1}^n \frac{x_i^m}{y_i^{m-1}} \ge \frac{(x_1+\cdots+x_n)^m} {(y_1+\cdots+y_n)^{m-1}} }

其中 m>1m>1。

例子

证明

∑cyca4(b+c)3≥a+b+c8.\sum_{\rm cyc} \frac{a^4}{(b+c)^3} \ge \frac{a+b+c}{8}.

Hölder 给出

∑a4(b+c)3≥(a+b+c)4[(b+c)+(c+a)+(a+b)]3.\sum\frac{a^4}{(b+c)^3} \ge \frac{(a+b+c)^4} {[(b+c)+(c+a)+(a+b)]^3}.

由于

(b+c)+(c+a)+(a+b)=2(a+b+c),(b+c)+(c+a)+(a+b)=2(a+b+c),

所以

∑a4(b+c)3≥(a+b+c)48(a+b+c)3=a+b+c8.\sum\frac{a^4}{(b+c)^3} \ge \frac{(a+b+c)^4}{8(a+b+c)^3} = \frac{a+b+c}{8}.

识别信号

看到

x4y3,x5y4,xpyp−1\frac{x^4}{y^3}, \qquad \frac{x^5}{y^4}, \qquad \frac{x^p}{y^{p-1}}

时，对 Hölder 要高度敏感。

练习 7 ★★★

证明

∑cyca5(b+c)4≥a+b+c16.\sum_{\rm cyc} \frac{a^5}{(b+c)^4} \ge \frac{a+b+c}{16}.

练习 8 ★★★★

找到最佳常数 CmC_m，使得任意正数 a,b,ca,b,c 都有

∑cycam(b+c)m−1≥Cm(a+b+c).\sum_{\rm cyc} \frac{a^m}{(b+c)^{m-1}} \ge C_m(a+b+c).

要求证明常数最佳。

六、方法五：Jensen——从“函数弯曲程度”看不等式

如果 ff 是凸函数，那么

f(x1+⋯+xnn)≤f(x1)+⋯+f(xn)n.f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) \le \frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}n.

反之，凹函数方向相反。

本质

凸函数的图像是“向上弯”的。

所以当

x1+⋯+xnx_1+\cdots+x_n

固定时，把变量变得更平均，函数和往往会下降。

因此：

Jensen = 平均化 + 凸性\boxed{\text{Jensen = 平均化 + 凸性}}

例子：三角形

设

A+B+C=π.A+B+C=\pi.

证明

tan⁡A2+tan⁡B2+tan⁡C2≥3.\tan\frac A2+ \tan\frac B2+ \tan\frac C2 \ge \sqrt3.

因为

f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x

在

0<x<π20<x<\frac\pi2

上凸，所以

tan⁡(A/2)+tan⁡(B/2)+tan⁡(C/2)3≥tan⁡A+B+C6.\frac{ \tan(A/2)+\tan(B/2)+\tan(C/2) }{3} \ge \tan\frac{A+B+C}{6}.

因此

∑tan⁡A2≥3tan⁡π6=3.\sum\tan\frac A2 \ge 3\tan\frac\pi6 = \sqrt3.

固定积怎么办？

这是大学竞赛中特别好用的一招。

若

xyz=1,xyz=1,

令

x=eu,y=ev,z=ew.x=e^u,\qquad y=e^v,\qquad z=e^w.

那么

u+v+w=0.u+v+w=0.

原来固定积的问题变成了固定和问题。

例如

f(u)=ln⁡(1+eu)f(u)=\ln(1+e^u)

满足

f′′(u)>0.f''(u)>0.

于是 Jensen 得

∑ln⁡(1+eu)≥3ln⁡2,\sum\ln(1+e^u) \ge3\ln2,

即

(1+x)(1+y)(1+z)≥8.(1+x)(1+y)(1+z)\ge8.

和前面的 AM-GM 是同一道题，但视角完全不同。

这非常重要：

高水平做题不是“知道一个解法”，而是知道一个不等式为什么会同时被几种理论捕捉。

练习 9 ★★★

若 A,B,CA,B,C 是三角形内角，证明

csc⁡A2+csc⁡B2+csc⁡C2≥6.\csc\frac A2+ \csc\frac B2+ \csc\frac C2 \ge6.

练习 10 ★★★★

设 x1,…,xn>0x_1,\ldots,x_n>0，且

x1x2⋯xn=1.x_1x_2\cdots x_n=1.

证明

∏i=1n(1+xi)≥2n\prod_{i=1}^n(1+x_i)\ge2^n

至少给出三种不同证明：

  1. AM-GM；
  2. Jensen；
  3. 利用 xi↦1/xix_i\mapsto1/x_i 的结构。

七、方法六：切线法——Jensen 的“局部版本”

对凸函数，

f(x)f(x)

的图像永远位于切线之上：

f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x−x0)\boxed{ f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) }

对凹函数方向相反。

最著名例子

因为

ln⁡x\ln x

是凹函数，在 x=1x=1 处切线为

y=x−1.y=x-1.

所以

ln⁡x≤x−1.\boxed{\ln x\le x-1.}

等号 x=1x=1。

把它用于 x1,…,xnx_1,\ldots,x_n：

设

A=x1+⋯+xnn.A=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}.

令

yi=xiA.y_i=\frac{x_i}{A}.

则

∑yi=n.\sum y_i=n.

于是

∑ln⁡yi≤∑(yi−1)=0,\sum\ln y_i \le \sum(y_i-1)=0,

从而

∏yi≤1.\prod y_i\le1.

得到

x1⋯xnn≤A.\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le A.

所以：

AM-GM 也可以由切线法推出。\boxed{\text{AM-GM 也可以由切线法推出。}}

竞赛中如何用？

如果你猜等号在

x=x0,x=x_0,

就尝试构造

f(x)≥Ax+Bf(x)\ge Ax+B

并让它在 x0x_0 相切。

也就是解：

{f(x0)=Ax0+B,f′(x0)=A.\begin{cases} f(x_0)=Ax_0+B,\\ f'(x_0)=A. \end{cases}

这叫“最佳线性下界”。

练习 11 ★★★

证明，对于 0<α<10<\alpha<1，

xα≤(1−α)+αx.x^\alpha \le (1-\alpha)+\alpha x.

并由此推出加权 AM-GM：

λ1x1+⋯+λnxn≥x1λ1⋯xnλn.\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_nx_n \ge x_1^{\lambda_1}\cdots x_n^{\lambda_n}.

八、方法七：排序不等式与 Chebyshev

如果

a1≤a2≤⋯≤an,a_1\le a_2\le\cdots\le a_n,

且

b1≤b2≤⋯≤bn,b_1\le b_2\le\cdots\le b_n,

那么同序排列使内积最大：

∑aibi\sum a_ib_i

比错位配对大。

这就是 Rearrangement Inequality。

本质

大数应该和大数配对，小数和小数配对。

因为

(a−b)(x−y)≥0(a-b)(x-y)\ge0

就是最基本的二元排序原理。

Chebyshev

如果 ai,bia_i,b_i 同序，则

1n∑aibi≥(1n∑ai)(1n∑bi).\frac1n\sum a_ib_i \ge \left(\frac1n\sum a_i\right) \left(\frac1n\sum b_i\right).

例子

令

ai=xi,bi=xi2.a_i=x_i,\qquad b_i=x_i^2.

它们天然同序，因此

x13+⋯+xn3n≥x1+⋯+xnn⋅x12+⋯+xn2n.\frac{x_1^3+\cdots+x_n^3}{n} \ge \frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \cdot \frac{x_1^2+\cdots+x_n^2}{n}.

即

n∑xi3≥(∑xi)(∑xi2).\boxed{ n\sum x_i^3 \ge \left(\sum x_i\right)\left(\sum x_i^2\right). }

练习 12 ★★★★

证明，对 xi>0, p,q>0x_i>0,\ p,q>0，

n∑i=1nxip+q≥(∑i=1nxip)(∑i=1nxiq).n\sum_{i=1}^n x_i^{p+q} \ge \left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right) \left(\sum_{i=1}^n x_i^q\right).

并研究 p,qp,q 允许取负数时，结论如何改变。

九、方法八：Muirhead——对称齐次多项式的“指数比较”

这是竞赛中非常强大的工具。

例如比较

a4+b4+c4a^4+b^4+c^4

和

abc(a+b+c).abc(a+b+c).

前者的指数型为

(4,0,0),(4,0,0),

后者为

(2,1,1).(2,1,1).

而

(4,0,0)≻(2,1,1).(4,0,0)\succ(2,1,1).

根据 Muirhead：

[4,0,0]≥[2,1,1].[4,0,0]\ge[2,1,1].

于是

a4+b4+c4≥abc(a+b+c).a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c).

什么叫 majorize？

设

x1≥x2≥x3,y1≥y2≥y3,x_1\ge x_2\ge x_3,\qquad y_1\ge y_2\ge y_3,

且总和相同。

若

x1≥y1,x_1\ge y_1,

且

x1+x2≥y1+y2,x_1+x_2\ge y_1+y_2,

就称

x≻y.x\succ y.

直观上：

xx 的指数分配比 yy 更“不均匀”。

Muirhead 说：

对正数的对称平均而言，指数越不均匀，值越大。

这其实也是“平均化”的另一种版本。

一条非常重要的链

(4,0,0)≻(3,1,0)≻(2,2,0)≻(2,1,1).(4,0,0) \succ (3,1,0) \succ (2,2,0) \succ (2,1,1).

所以

[400]≥[310]≥[220]≥[211].[400]\ge[310]\ge[220]\ge[211].

练习 13 ★★★

严格证明

a4+b4+c43≥∑syma3b6≥a2b2+b2c2+c2a23≥abc(a+b+c)3.\frac{a^4+b^4+c^4}{3} \ge \frac{\sum_{\rm sym}a^3b}{6} \ge \frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{3} \ge \frac{abc(a+b+c)}3.

要求：

  1. 用 Muirhead；
  2. 再尝试不用 Muirhead。

第二种证明非常有训练价值。

十、方法九：齐次化、归一化与代换

很多题真正难的不是证明，而是选变量。

1. 齐次化

例如题目含有

a2+b2+c2+1a^2+b^2+c^2+1

而约束

abc=1,abc=1,

则

1=abc1=abc

可以用来把常数变成变量表达式。

这往往能制造齐次结构。

2. 乘积为 1 的指数代换

abc=1abc=1

可以令

a=ex,b=ey,c=ez,a=e^x,\quad b=e^y,\quad c=e^z,

其中

x+y+z=0.x+y+z=0.

尤其适合：

  • 指数；
  • 对数；
  • 凸性；
  • a+1aa+\frac1a 类型。

3. 三角形：Ravi 代换

如果 a,b,ca,b,c 是三角形边长，令

a=y+z,b=z+x,c=x+y,a=y+z,\qquad b=z+x,\qquad c=x+y,

其中

x,y,z>0.x,y,z>0.

因为三角形条件：

a+b>c,b+c>a,c+a>ba+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b

会自动满足。

例子

证明三角形中

(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)≤abc.(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc.

Ravi 代换后：

a+b−c=2z,a+b-c=2z,

等等，所以左侧

=8xyz.=8xyz.

右侧

abc=(x+y)(y+z)(z+x).abc=(x+y)(y+z)(z+x).

而

x+y≥2xyx+y\ge2\sqrt{xy}

等，故

(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz.(x+y)(y+z)(z+x)\ge8xyz.

结论成立。

练习 14 ★★★

若 a,b,ca,b,c 是三角形边长，证明

1b+c−a+1c+a−b+1a+b−c≥9a+b+c.\frac1{b+c-a} + \frac1{c+a-b} + \frac1{a+b-c} \ge \frac9{a+b+c}.

要求用 Ravi 代换。

十一、方法十：平滑法 / Mixing Variables

这是从“平均化”角度理解不等式的关键技术。

假设

x+y=sx+y=s

固定。

把

(x,y)(x,y)

替换为

(s2,s2).\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2}\right).

如果表达式变大，就说明：

变量越平均，表达式越大。

如果表达式变小，则反过来。

经典例子

固定

x+y=s.x+y=s.

那么

xy=x(s−x)=−(x−s2)2+s24.xy=x(s-x) = -\left(x-\frac s2\right)^2+\frac{s^2}{4}.

所以

xy≤s24.xy\le\frac{s^2}{4}.

于是不断把变量成对平均，最终得到：

x1+⋯+xn=Sx_1+\cdots+x_n=S

时

x1x2⋯xn≤(Sn)n.x_1x_2\cdots x_n \le \left(\frac Sn\right)^n.

这就是 AM-GM。

所以又一次：

AM-GM = 平滑法的典型结果。\boxed{\text{AM-GM = 平滑法的典型结果。}}

为什么平滑法很高级？

因为很多三元对称题可以这样做：

固定

a,b+c.a,\qquad b+c.

把

b,cb,c

向彼此移动。

如果能证明表达式在这个过程中单调，那么极值必出现在

b=c.b=c.

于是三元问题降成二元问题。

这正是 uvwuvw 的核心直觉之一。

十二、方法十一：uvwuvw——三元对称不等式最重要的高级工具之一

定义

u=a+b+c,u=a+b+c, v2=ab+bc+ca,v^2=ab+bc+ca, w3=abc.w^3=abc.

有些教材用

p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc.p=a+b+c,\quad q=ab+bc+ca,\quad r=abc.

本质完全一样。

为什么 uvwuvw 强？

因为任意三元对称多项式都可以写成 p,q,rp,q,r 的函数。

例如

a3+b3+c3=p3−3pq+3r.a^3+b^3+c^3 = p^3-3pq+3r.

Schur 用 p,q,rp,q,r 写

Schur：

a3+b3+c3+3abc≥∑syma2b.a^3+b^3+c^3+3abc \ge \sum_{\rm sym}a^2b.

可以化成

p3+9r≥4pq.\boxed{p^3+9r\ge4pq.}

注意：

固定 p,qp,q 后，这个式子关于 rr 是一次函数。

而三元正数在固定 p,qp,q 后，rr 的极值会在两个变量相等时取得。

因此很多 uvwuvw 问题都可以：

b=c=x,a=y.\boxed{b=c=x,\quad a=y.}

这就是传说中的“只需检验两个变量相等”。

但一定要注意：

并不是所有对称不等式都能无条件直接令 b=cb=c。

必须有相应的 uvwuvw 极值理论作为依据。

练习 15 ★★★★

证明 Schur 的 pqrpqr 形式：

(a+b+c)3+9abc≥4(a+b+c)(ab+bc+ca).(a+b+c)^3+9abc \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca).

然后尝试在

b=c=x,a=yb=c=x,\quad a=y

后将其完全因式分解。

十三、方法十二：判别式法——把不等式变成“二次函数非负”

如果一个不等式关于某变量是二次式：

Ax2+Bx+C≥0,Ax^2+Bx+C\ge0,

那么常用策略就是证明：

A>0,Δ=B2−4AC≤0.A>0,\qquad \Delta=B^2-4AC\le0.

本质

“二次函数处处非负”并不是新的理论。

它只是说：

Ax2+Bx+C=A(x+B2A)2+4AC−B24A.Ax^2+Bx+C = A\left(x+\frac B{2A}\right)^2 + \frac{4AC-B^2}{4A}.

所以：

判别式法本质还是配平方。\boxed{\text{判别式法本质还是配平方。}}

什么时候特别好用？

当三元不等式：

  • 对某个变量次数不高；
  • 固定另外两个变量后是二次式；
  • 等号条件比较清楚

时非常有效。

尤其经常和：

b=cb=c

的降维思想配合。

十四、方法十三：微积分与拉格朗日乘数——特别适合大学竞赛

大学竞赛和纯高中奥赛的一个区别，是你应该学会用微积分判断极值。

例如：

x+y+z=S,x,y,z>0,x+y+z=S,\qquad x,y,z>0,

求 xyzxyz 最大值。

令

f(x,y,z)=ln⁡x+ln⁡y+ln⁡z.f(x,y,z)=\ln x+\ln y+\ln z.

约束：

g=x+y+z−S=0.g=x+y+z-S=0.

拉格朗日条件：

1x=λ,1y=λ,1z=λ.\frac1x=\lambda,\qquad \frac1y=\lambda,\qquad \frac1z=\lambda.

因此

x=y=z=S3.x=y=z=\frac S3.

于是猜出：

xyz≤(S3)3.xyz\le\left(\frac S3\right)^3.

但要注意一个非常重要的问题

拉格朗日乘数往往只能告诉你：

极值可能在哪里。

之后还要：

  • 判断边界；
  • 判断最大还是最小；
  • 判断全局性。

因此它非常适合：

发现答案\boxed{\text{发现答案}}

但不一定是最漂亮的最终证明。

在竞赛训练中，我非常推荐：

先用微积分猜极值，再寻找一个漂亮的代数证明。

这是提升很快的方法。

十五、把这些方法统一起来

这是最值得记住的一张“思想地图”。

方法表面操作本质
配方 / SOS化成平方和非负性
AM-GM算术平均 ≥ 几何平均平均化
Cauchy合并分式内积几何
Hölder高次合并LpL^p 几何
Jensen函数值平均比较凸性
切线法构造线性界支撑直线
Rearrangement调整排列顺序结构
Muirhead比较指数majorization
平滑法两变量靠近极值与平均化
uvwuvw三元变二元对称性降维
代换换变量选择合适坐标
判别式看 Δ\Delta配平方
拉格朗日求驻点极值理论

你会发现它们不是十三个互不相关的技巧。

实际上：

AM-GM⟷Jensen⟷切线⟷平滑\boxed{ \text{AM-GM} \longleftrightarrow \text{Jensen} \longleftrightarrow \text{切线} \longleftrightarrow \text{平滑} }

属于“凸性 / 平均化”一族。

而

Cauchy⟶Ho¨lder\boxed{ \text{Cauchy} \longrightarrow \text{Hölder} }

属于“内积 / 范数”一族。

而

Rearrangement⟶Muirhead⟶Karamata\boxed{ \text{Rearrangement} \longrightarrow \text{Muirhead} \longrightarrow \text{Karamata} }

属于“majorization / 排序”一族。

最后：

对称性⟶平滑⟶uvw\boxed{ \text{对称性} \longrightarrow \text{平滑} \longrightarrow uvw }

属于“降维与极值”一族。

真正学懂以后，你脑中不是十几个公式，而大概只有四五个核心思想。

十六、给你一组综合高难题

下面这些不要急着看答案。建议每题至少思考 30–60 分钟。

A ★★★

a,b,c>0a,b,c>0，证明

aa2+8bc+bb2+8ca+cc2+8ab≥1.\frac a{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac b{\sqrt{b^2+8ca}} + \frac c{\sqrt{c^2+8ab}} \ge1.

重点训练：齐次性、Cauchy、代换。

B ★★★★

a,b,c>0a,b,c>0，证明

∑cyca4(a+b)(a+c)(b+c)≥a+b+c8.\sum_{\rm cyc} \frac{a^4}{(a+b)(a+c)(b+c)} \ge \frac{a+b+c}{8}.

先检查次数，注意齐次性。

C ★★★★

a,b,c>0a,b,c>0，证明

(a+b+c)3≥27abc(a+b+c)^3 \ge 27abc

至少写出 五种不同证明：

  • AM-GM；
  • Jensen；
  • 拉格朗日；
  • 平滑；
  • uvwuvw/pqrpqr。

这道题非常简单，但“多解训练”价值极高。

D ★★★★

a,b,c≥0a,b,c\ge0，证明

(a+b+c)3+9abc≥4(a+b+c)(ab+bc+ca).(a+b+c)^3+9abc \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca).

要求至少两种证明：

  1. Schur；
  2. uvwuvw。

E ★★★★

设 a,b,c>0a,b,c>0，证明

a2b2+bc+c2+b2c2+ca+a2+c2a2+ab+b2≥1.\frac{a^2}{b^2+bc+c^2} + \frac{b^2}{c^2+ca+a^2} + \frac{c^2}{a^2+ab+b^2} \ge1.

这题很适合训练“不能机械 Cauchy 时怎么办”。

F ★★★★★

若

a,b,c>0,abc=1,a,b,c>0,\qquad abc=1,

证明

1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.\frac1{a^3(b+c)} + \frac1{b^3(c+a)} + \frac1{c^3(a+b)} \ge \frac32.

强烈建议研究多种代换。

G ★★★★★

对 a,b,c>0a,b,c>0，研究最佳常数 KK，使

ab+c+bc+a+ca+b≥K(a+b+c)2a2+b2+c2\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \ge K\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}

恒成立。

这种题比“证明一个给定常数”更接近真正竞赛能力，因为你必须先找极值。

H ★★★★★

设 a,b,c>0a,b,c>0，a+b+c=1a+b+c=1。求

aabbcca^ab^bc^c

的最大值与最小值（如果最小值存在），并严格讨论边界。

这题非常适合大学竞赛：对数、凸性、极值、边界分析会同时出现。

十七、你现在最应该训练的不是“会不会用公式”

每次做题，强迫自己先写下面四行：

1. 是否齐次？\boxed{\text{1. 是否齐次？}} 2. 等号在哪里？\boxed{\text{2. 等号在哪里？}} 3. 对称还是轮换？\boxed{\text{3. 对称还是轮换？}} 4. 固定什么量以后，它是凸、凹还是二次？\boxed{\text{4. 固定什么量以后，它是凸、凹还是二次？}}

然后再选工具。

一个很实用的决策树是：

有很多分母
→\rightarrow Cauchy / Hölder

固定和
→\rightarrow Jensen / 平滑 / AM-GM

固定积
→\rightarrow 取对数 / x=etx=e^t / AM-GM

三元对称多项式
→\rightarrow Muirhead / Schur / uvwuvw

三角形边长
→\rightarrow Ravi 代换

关于某变量是二次式
→\rightarrow 配方 / 判别式

等号在 a=b=ca=b=c
→\rightarrow 考虑平均化、凸性和对称性

猜测两个变量相等时最难
→\rightarrow 考虑 uvwuvw / mixing variables

如果你准备系统冲击大学数学竞赛不等式部分，很适合下一步直接进入“不等式专题训练课”：按 Cauchy → AM-GM → Jensen → Hölder → Schur/Muirhead → uvwuvw → 高难综合题 的顺序，每个专题做 8–10 道题，而且我可以先只给提示、等你做完再逐层揭示完整解法。这样比一次性看大量标准答案有效得多。

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