已知函数 $f(x)$ 是定义在 $upright(bold(R))$ 上的偶函数，且 $f(x +...

问题

已知函数 $f(x)$ 是定义在 $upright(bold(R))$ 上的偶函数，且 $f(x + 1/2)$ 是奇函数，当 $1 lt.eq.slant x lt.eq.slant 2$ 时， $f(x)= 3 - 2 x$ ，则 $f(- 1/3) =$

A． $- 1/3$ B． $- frac(1 1, 3)$ C． $5/3$ D． $frac(1 1, 3)$

*【解析】*因为函数 $f(x + 1/2)$ 是定义在 $upright(bold(R))$ 上的奇函数，所以对任意的 $x in upright(bold(R))$ ，都有

$f(- x + 1/2) + f(x + 1/2) = 0．$

在上式中，令 $x = 5/6$ ，得

$f(- 1/3) + f(4/3) = 0，$

所以

$f(- 1/3) = - f(4/3)．$

因为 $1 lt.eq.slant 4/3 lt.eq.slant 2$ ，所以

$f(4/3) = 3 - 2 times 4/3 = 1/3．$

因此

$f(- 1/3) = - f(4/3) = - 1/3．$

故选项 A 正确．

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设函数 $f(x)$ 的定义域为 $upright(bold(R)), f(x + 1)$ 为奇函数， $f(x + 2)$ 为偶函数，当 $x in[1,2 ]$ 时， $f(x)= a x^(2)+ b$ ，若 $f(0)+ f(3)= 6$ ，则 $f(9/2) =$

A． $- 9/4$ B． $- 3/2$ C． $7/4$ D． $5/2$

*【解析】*易知，函数 $f(x + 1)$ 与函数 $f(x + 2)$ 的定义域均为 $upright(bold(R))$ ．

因为函数 $f(x + 1)$ 是定义在 $upright(bold(R))$ 上的奇函数，所以对任意的 $x in upright(bold(R))$ ，都有

$f(- x + 1) + f(x + 1) = 0．$

因为函数 $f(x + 2)$ 是定义在 $upright(bold(R))$ 上的偶函数，所以对任意的 $x in upright(bold(R))$ ，都有

$f(- x + 2) = f(x + 2)．$

在 $f(- x + 1) + f(x + 1) = 0$ 中，令 $x = 0$ ，得

$f(1) + f(1) = 0，$

所以

$f(1) = 0．$

在 $f(- x + 2) = f(x + 2)$ 中，令 $x = 1$ ，得

$f(1) = f(3)，$

又已知 $f(1) = 0$ ，所以

$f(3) = 0．$

又由题设知 $f(0) + f(3) = 6$ ，所以

$f(0) = 6．$

在 $f(- x + 1) + f(x + 1) = 0$ 中，令 $x = 1$ ，得

$f(0) + f(2) = 0，$

又已知 $f(0) = 6$ ，所以

$f(2) = - 6．$

因为当 $x in[1, 2 ]$ 时， $f(x) = a x^(2) + b$ ，所以

$cases(f(1) = a + b = 0，, f(2) = 4 a + b = - 6，)$

解得

$cases(a = - 2，, b = 2． )$

所以当 $x in[1, 2 ]$ 时，

$f(x) = - 2 x^(2) + 2．$

在 $f(- x + 2) = f(x + 2)$ 中，令 $x = 5/2$ ，得

$f(- 1/2) = f(9/2)．①$

在 $f(- x + 1) + f(x + 1) = 0$ 中，令 $x = 3/2$ ，得

$f(- 1/2) + f(5/2) = 0．②$

将 ① 代入 ② 得

$f(9/2) + f(5/2) = 0，$

即

$f(9/2) = - f(5/2)．③$

在 $f(- x + 2) = f(x + 2)$ 中，令 $x = 1/2$ ，得

$f(3/2) = f(5/2)，④$

联立 ③④ 得

$f(9/2) = - f(3/2)．$

因为 $3/2 in[1, 2 ]$ ，所以

$f(3/2) = - 2 times(3/2)^(2) + 2 = - 5/2．$

从而

$f(9/2) = -(- 5/2) = 5/2．$

故选 D．

你是一名资深的高中数学教师。请深度仿照教育部提供的高考标准答案或教育部《高考试题分析》中刊登的试题解析格式深度润色上面的【解析】（必须沿用原来的思路）（请忽略“易知，函数 $f(x + 1)$ 与函数 $f(x + 2)$ 的定义域均为 $upright(bold(R))$ ．”未证明）

思考

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回答

下面在不改变原解题思路、不增设新的核心方法的前提下，按照高考标准答案及《高考试题分析》中常见的表述方式，对两道题的【解析】作规范化润色。重点处理逻辑衔接、赋值依据、数学语言和书写层次。

第一题【解析】润色版

因为函数 $f\left(x+\dfrac12\right)$ 是奇函数，所以对任意 $x\in\mathbb R$ ，有

f\left(-x+\frac12\right)=-f\left(x+\frac12\right),

即

f\left(-x+\frac12\right)+f\left(x+\frac12\right)=0.

令

x=\frac56,

得

f\left(-\frac13\right)+f\left(\frac43\right)=0,

从而

f\left(-\frac13\right)=-f\left(\frac43\right).

又因为

\frac43\in[1,2],

所以

f\left(\frac43\right) =3-2\times\frac43 =\frac13.

因此

f\left(-\frac13\right) =-\frac13.

故选 A。

第二题【解析】润色版

因为函数 $f(x+1)$ 是奇函数，所以对任意 $x\in\mathbb R$ ，有

f(-x+1)=-f(x+1),

即

f(-x+1)+f(x+1)=0. \tag{1}

因为函数 $f(x+2)$ 是偶函数，所以对任意 $x\in\mathbb R$ ，有

f(-x+2)=f(x+2). \tag{2}

在式 $(1)$ 中令 $x=0$ ，得

2f(1)=0,

所以

f(1)=0.

在式 $(2)$ 中令 $x=1$ ，得

f(1)=f(3).

于是

f(3)=0.

又因为

f(0)+f(3)=6,

所以

f(0)=6.

在式 $(1)$ 中令 $x=1$ ，得

f(0)+f(2)=0,

故

f(2)=-6.

当 $x\in[1,2]$ 时，

f(x)=ax^2+b.

由 $f(1)=0,\ f(2)=-6$ ，得

\begin{cases} a+b=0,\\ 4a+b=-6. \end{cases}

解得

a=-2,\qquad b=2.

因此，当 $x\in[1,2]$ 时，

f(x)=-2x^2+2. \tag{3}

下面求 $f\left(\dfrac92\right)$ 。

在式 $(2)$ 中令 $x=\dfrac52$ ，得

f\left(-\frac12\right)=f\left(\frac92\right). \tag{4}

在式 $(1)$ 中令 $x=\dfrac32$ ，得

f\left(-\frac12\right)+f\left(\frac52\right)=0. \tag{5}

由 $(4)(5)$ ，得

f\left(\frac92\right) =-f\left(\frac52\right). \tag{6}

再在式 $(2)$ 中令 $x=\dfrac12$ ，得

f\left(\frac32\right)=f\left(\frac52\right). \tag{7}

由 $(6)(7)$ ，得

f\left(\frac92\right) =-f\left(\frac32\right).

因为

\frac32\in[1,2],

由式 $(3)$ ，

f\left(\frac32\right) =-2\left(\frac32\right)^2+2 =-\frac52.

所以

f\left(\frac92\right) =-\left(-\frac52\right) =\frac52.

故选 D。

这版相较原解析，主要将“奇函数、偶函数的定义”直接转化为统一的函数关系式，再通过逐次赋值推导，避免口语化的“又已知”“将①代入②”等重复表达，整体更接近高考参考答案常见的“性质—赋值—结论—代入区间解析式”书写结构。

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第一题【解析】润色版

第二题【解析】润色版

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