**提示词：** “你是一个资深的高中数学老师。请帮我收集 8 道经典的**排列问题**。 **核心...

下面给你一套比较标准、层次清晰的“定序问题”题单。
说明两点：

1. 默认都是“排成一排”，且元素互不相同。
2. 采用高中常用记号：$A_n^n=n!$。
3. 中等题里的“选位法/空位法”，为了兼顾附加条件，有时会先处理特殊位置或特殊块，再给定序元素选位，本质上仍属于选位思路。

---

1.【基础】纯定序

7名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚站成一排，要求甲在乙左边，乙在丙左边，问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
先不考虑甲、乙、丙的内部顺序，7人全排列共有 $A_7^7$ 种。
甲、乙、丙内部共有 $A_3^3$ 种排列，其中只有 1 种满足“甲在乙左边，乙在丙左边”。

$$\frac{A_7^7}{A_3^3} =\frac{7!}{3!} =840$$

解法二（选位法/空位法）
先从7个位置中选出3个位置给甲、乙、丙：

$$C_7^3$$

由于相对顺序已经固定，这3个位置只能按“甲、乙、丙”填入；其余4人任意排列：

$$C_7^3\cdot A_4^4 =35\cdot 24 =840$$

答案： $840$ 种。

---

2.【基础】纯定序

8本不同的书排成一列，其中《语文》《数学》《英语》《物理》四本的相对顺序必须保持为“语文在数学左边，数学在英语左边，英语在物理左边”，问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
8本书全排列：

$$A_8^8$$

4本指定图书内部原有 $A_4^4$ 种顺序，只有1种符合要求，所以

$$\frac{A_8^8}{A_4^4} =\frac{8!}{4!} =1680$$

解法二（选位法/空位法）
先给这4本定序的书选位置：

$$C_8^4$$

选好后只能按“语文、数学、英语、物理”依次填入；其余4本任排：

$$C_8^4\cdot A_4^4 =70\cdot 24 =1680$$

答案： $1680$ 种。

---

3.【中等】定序 + 某人不能站两端

8名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛站成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁不站在两端，问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
先满足“丁不站两端”。
丁有 $6$ 个中间位置可选，剩下7人全排列：

$$6\cdot A_7^7$$

再对甲、乙、丙做消序：

$$\frac{6\cdot A_7^7}{A_3^3} =\frac{6\cdot 7!}{3!} =5040$$

解法二（选位法/空位法）
先安排丁的位置：有 $6$ 种。
再从剩下的7个位置中给甲、乙、丙选3个位置：

$$C_7^3$$

由于顺序固定，只能按甲、乙、丙填入；其余4人任排：

$$6\cdot C_7^3\cdot A_4^4 =6\cdot 35\cdot 24 =5040$$

答案： $5040$ 种。

---

4.【中等】定序 + 另外两人必须相邻

7名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚站成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁、戊必须相邻，问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
把“丁、戊”看成一个整体，则共有6个元素排队；但“丁、戊”内部有 $2$ 种顺序，所以满足相邻条件的总排法为：

$$2\cdot A_6^6$$

再对甲、乙、丙消序：

$$\frac{2\cdot A_6^6}{A_3^3} =\frac{2\cdot 6!}{3!} =240$$

解法二（选位法/空位法）
7个位置中，长度为2的相邻位置对共有 $6$ 个。
先给丁、戊选一个相邻位置对，并安排其内部顺序：

$$6\cdot 2$$

再从剩余5个位置中选3个位置给甲、乙、丙：

$$C_5^3$$

其余2人任排：

$$6\cdot 2\cdot C_5^3\cdot A_2^2 =6\cdot 2\cdot 10\cdot 2 =240$$

答案： $240$ 种。

---

5.【中等】定序 + 两人占两端

9名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬站成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁、戊分别站在最左端和最右端（谁左谁右不作规定），问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
先安排两端：丁、戊站两端有 $2$ 种。
剩下7人全排列：

$$2\cdot A_7^7$$

再对甲、乙、丙消序：

$$\frac{2\cdot A_7^7}{A_3^3} =\frac{2\cdot 7!}{3!} =1680$$

解法二（选位法/空位法）
先安排两端的丁、戊，有 $2$ 种。
再从剩余7个位置中给甲、乙、丙选3个位置：

$$C_7^3$$

其余4人任排：

$$2\cdot C_7^3\cdot A_4^4 =2\cdot 35\cdot 24 =1680$$

答案： $1680$ 种。

---

6.【中等】两组元素同时定序

9名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬站成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，同时丁、戊、己也必须从左到右顺序固定，问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
9人全排列：

$$A_9^9$$

甲、乙、丙内部有 $A_3^3$ 种顺序，只保留1种；
丁、戊、己内部也有 $A_3^3$ 种顺序，只保留1种。

所以：

$$\frac{A_9^9}{A_3^3\cdot A_3^3} =\frac{9!}{3!\cdot 3!} =10080$$

解法二（选位法/空位法）
先从9个位置中选3个给甲、乙、丙：

$$C_9^3$$

再从剩余6个位置中选3个给丁、戊、己：

$$C_6^3$$

两组内部顺序都已固定，其余3人任排：

$$C_9^3\cdot C_6^3\cdot A_3^3 =84\cdot 20\cdot 6 =10080$$

答案： $10080$ 种。

---

7.【中等】4个元素定序 + 某人不能站两端

8名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛站成一排，要求甲、乙、丙、丁从左到右顺序固定，且戊不站在两端，问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
先满足“戊不站两端”：戊有 $6$ 个中间位置可选。
其余7人全排列：

$$6\cdot A_7^7$$

再把甲、乙、丙、丁的内部顺序消去：

$$\frac{6\cdot A_7^7}{A_4^4} =\frac{6\cdot 7!}{4!} =1260$$

解法二（选位法/空位法）
先安排戊的位置：有 $6$ 种。
再从剩余7个位置中选4个给甲、乙、丙、丁：

$$C_7^4$$

其余3人任排：

$$6\cdot C_7^4\cdot A_3^3 =6\cdot 35\cdot 6 =1260$$

答案： $1260$ 种。

---

8.【中等】定序 + 另外两人不能相邻

7名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚站成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁、戊不能相邻，问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
先求“丁、戊不相邻”的总排法。
7人全排列共有：

$$A_7^7$$

其中丁、戊相邻时，把丁戊看作一个整体，并考虑内部顺序，有：

$$2\cdot A_6^6$$

所以“丁、戊不相邻”的总排法为：

$$A_7^7-2\cdot A_6^6$$

再对甲、乙、丙消序：

$$\frac{A_7^7-2\cdot A_6^6}{A_3^3} =\frac{7!-2\cdot 6!}{3!} =\frac{5040-1440}{6} =600$$

解法二（选位法/空位法）
先给丁、戊选位置，但要求不相邻。
从7个位置中选2个位置共有 $C_7^2$ 种，其中相邻的位置对有 $6$ 个，所以不相邻的位置对有：

$$C_7^2-6=15$$

丁、戊是不同人，还要乘 $2!$：

$$15\cdot 2$$

再从剩余5个位置中选3个给甲、乙、丙：

$$C_5^3$$

其余2人任排：

$$(C_7^2-6)\cdot 2\cdot C_5^3\cdot A_2^2 =15\cdot 2\cdot 10\cdot 2 =600$$

答案： $600$ 种。

---

小结

这 8 道题基本覆盖了“定序问题”最经典的出题方式。核心套路就两条：

1. 除法/消序法
先把相关对象当成“普通全排”，再除以定序元素内部的全排列数。
纯定序的基本模型：

$$\frac{A_n^n}{A_m^m}$$

2. 选位法/空位法
先给定序元素选位置，再按固定顺序填入，最后安排其余元素。
纯定序的基本模型：

$$C_n^m\cdot A_{n-m}^{\,n-m}$$

复合题只是在这两种方法上，先把“不能站两端、相邻、不相邻、两端固定、两组定序”等附加条件一起处理进去。