下面给出一份可直接用于高中专题复习的【排列组合中的排数字问题】专项题库。
默认规则：若题目未特别说明，则数字不重复使用；若允许重复使用，或题目中本身含有重复数字，会在题干中明确说明。
做这类题时，常见抓手是：首位受限先看首位，偶数/5整除先看末位，3整除看数字和，大于某数按高位逐位比较，相邻用捆绑法，不相邻用插空法或间接法。

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一、含“0”的排数字问题（首位不能为 0 的限制）

例1

【题目难度】：基础

【题目描述】：用数字 $0,1,2,3,4$ 组成没有重复数字的四位数，共有多少个？

【解题思路】：首位不能为 0，先安排首位，再排列其余位置，属于“优先排特殊位置法”。

【详细解答】：
四位数的首位（千位）不能是 0，所以千位只能从 $1,2,3,4$ 中选，有 $4$ 种选法。
首位确定后，剩下 $4$ 个数字中任选 $3$ 个依次排在百位、十位、个位上，有

$$4\times 3\times 2=24$$

种排法。

因此共有

$$4\times 24=96$$

个不同的四位数。

最终答案：$96$ 个。

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例2

【题目难度】：中档

【题目描述】：用数字 $0,0,1,2,3$ 组成不同的五位数，共有多少个？

【解题思路】：题中有两个相同的 0，且首位不能为 0，适合用“间接法”：先求所有不同排法，再减去首位为 0 的情况。

【详细解答】：
先不考虑首位限制。
数字 $0,0,1,2,3$ 的全排列中，由于两个 0 相同，所以不同排法共有

$$\frac{5!}{2!}=60$$

种。

再求首位为 0 的排法数。
固定首位为 0 后，其余四个数字是 $0,1,2,3$，这四个数字互不相同，所以可排

$$4!=24$$

种。

因此满足条件的五位数共有

$$60-24=36$$

个。

最终答案：$36$ 个。

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例3

【题目难度】：中档

【题目描述】：从数字 $0,1,2,3,4,5$ 中任选 $5$ 个组成没有重复数字的五位数，且数字 0 必须出现，共有多少个？

【解题思路】：先“选数”，再“排数”；排数时继续注意首位不能为 0。

【详细解答】：
因为 0 必须出现，所以被舍去的那个数字只能从 $1,2,3,4,5$ 中选。
因此选数的方法有

$$\binom{5}{1}=5$$

种。

对每一种选出的 5 个数字，都包含 0。
若不考虑首位限制，5 个数字可排

$$5!=120$$

种。
其中首位为 0 的排法有

$$4!=24$$

种。

所以每组选出的数字可组成的合法五位数有

$$120-24=96$$

个。

于是总数为

$$5\times 96=480$$

个。

最终答案：$480$ 个。

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二、奇偶数与整除限制问题（如：排成偶数、能被 3 或 5 整除等）

例4

【题目难度】：基础

【题目描述】：用数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的三位偶数，共有多少个？

【解题思路】：偶数的个位必须是偶数，所以先定个位，再排前两位，属于“优先排末位法”。

【详细解答】：
三位偶数的个位只能是 $2$ 或 $4$，因此个位有 $2$ 种选择。
个位确定后，百位可从剩下的 $4$ 个数字中任选，有 $4$ 种。
十位再从剩下的 $3$ 个数字中选，有 $3$ 种。

因此总数为

$$2\times 4\times 3=24$$

个。

最终答案：$24$ 个。

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例5

【题目难度】：中档

【题目描述】：用数字 $0,1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的四位数，其中能被 5 整除的有多少个？

【解题思路】：能被 5 整除，个位只能是 0 或 5，分类讨论。

【详细解答】：
一个整数能被 5 整除，当且仅当个位是 0 或 5。

情况1：个位是 0

此时千位不能为 0，只能从 $1,2,3,4,5$ 中选，有 $5$ 种。
百位、十位从剩下的 $4$ 个数字中选两个排列，有

$$4\times 3=12$$

种。

所以这一类有

$$5\times 12=60$$

个。

情况2：个位是 5

此时千位不能为 0，也不能为 5，所以只能从 $1,2,3,4$ 中选，有 $4$ 种。
百位、十位从剩下的 $4$ 个数字中选两个排列，也有

$$4\times 3=12$$

种。

所以这一类有

$$4\times 12=48$$

个。

综上，总数为

$$60+48=108$$

个。

最终答案：$108$ 个。

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例6

【题目难度】：拔高

【题目描述】：用数字 $0,1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的四位数，其中能被 3 整除的有多少个？

【解题思路】：一个数能否被 3 整除，只看各位数字和是否能被 3 整除。先选出满足“数字和是 3 的倍数”的 4 个数字，再考虑首位不能为 0。

【详细解答】：
把数字按除以 3 的余数分类：

• 余 0 的数：$0,3$
• 余 1 的数：$1,4$
• 余 2 的数：$2,5$

选四个数字，使它们的和是 3 的倍数。

满足条件的选法有两类：

第一类：取 2 个“余 0”、1 个“余 1”、1 个“余 2”

因为

$$0+0+1+2\equiv 0 \pmod 3$$

所以这种情况成立。

选法数为

$$\binom{2}{2}\binom{2}{1}\binom{2}{1}=1\times 2\times 2=4$$

种。

这 4 组数字都含有 0。
每一组数字若不考虑首位限制，可排

$$4!=24$$

种；其中首位为 0 的有

$$3!=6$$

种。
所以每组可组成合法四位数

$$24-6=18$$

个。

这一类共有

$$4\times 18=72$$

个。

第二类：取 0 个“余 0”、2 个“余 1”、2 个“余 2”

因为

$$1+1+2+2\equiv 0 \pmod 3$$

所以这种情况也成立。

这一类只有一组数字：

$$\{1,2,4,5\}$$

它不含 0，因此四位数个数为

$$4!=24$$

个。

合计

$$72+24=96$$

最终答案：$96$ 个。

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三、大小限制与字典序问题（如：大于某个特定数字，或求某个数排在第几个）

例7

【题目难度】：基础

【题目描述】：用数字 $1,2,3,4$ 组成没有重复数字的四位数，其中大于 3000 的有多少个？

【解题思路】：要使四位数大于 3000，首位只能是 3 或 4。先定首位，再排列其余三位。

【详细解答】：
若首位是 3，则其余三位可任意排列，有

$$3!=6$$

种。
若首位是 4，同理也有

$$3!=6$$

种。

因此总数为

$$6+6=12$$

个。

最终答案：$12$ 个。

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例8

【题目难度】：中档

【题目描述】：用数字 $0,1,2,3,4$ 五个数字恰好各用一次组成五位数，其中大于 $32000$ 的有多少个？

【解题思路】：按“从高位到低位逐位比较”的方法分类讨论，这是大小限制问题的典型思路。

【详细解答】：
五位数要大于 $32000$，从首位开始比较。

情况1：首位是 4

这时一定大于 $32000$。
剩下 4 个数字任意排列即可，有

$$4!=24$$

种。

情况2：首位是 3

这时需要继续比较第二位。

• 若第二位是 4，那么前两位已经是 34，一定大于 32。
  剩下 3 个数字任意排列，有

  $$3!=6$$

  种。

• 若第二位是 2，那么前两位与 32000 的前两位相同。
  剩下 3 个数字是 $0,1,4$，它们任意排列都能组成一个大于 $32000$ 的数（因为不可能出现后面全为 0 的情况）。
  所以也有

  $$3!=6$$

  种。

• 若第二位是 0 或 1，则所得数分别是 30***、31***，都小于 $32000$，不符合题意。

综上，满足条件的共有

$$24+6+6=36$$

个。

最终答案：$36$ 个。

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例9

【题目难度】：拔高

【题目描述】：把由数字 $1,2,3,4,5$ 组成的所有没有重复数字的五位数，按从小到大的顺序排列，求数 $35241$ 排在第几个。

【解题思路】：这是典型“字典序排名”问题。核心做法是：逐位比较，数出在它前面的数有多少个，最后再加 1。

【详细解答】：
我们来统计在 $35241$ 前面的五位数个数。

第一步：看首位

首位比 3 小的可以是 1 或 2，共 $2$ 种。
每一种首位确定后，后面 4 位可以任意排列，有

$$4!=24$$

种。

所以这一部分有

$$2\times 24=48$$

个。

第二步：首位固定为 3，再看第二位

剩下数字为 $1,2,4,5$。
第二位比 5 小的可以是 $1,2,4$，共 $3$ 种。
每一种第二位确定后，后面 3 位任意排列，有

$$3!=6$$

种。

所以这一部分有

$$3\times 6=18$$

个。

累计有

$$48+18=66$$

个。

第三步：前两位固定为 35，再看第三位

剩下数字为 $1,2,4$。
第三位比 2 小的只有 1，共 $1$ 种。
后面两位可排

$$2!=2$$

种。

所以这一部分有

$$1\times 2=2$$

个。

累计有

$$66+2=68$$

个。

第四步：前三位固定为 352，再看第四位

剩下数字为 $1,4$。
第四位比 4 小的只有 1，共 $1$ 种。
最后一位就唯一确定，因此有

$$1\times 1=1$$

个。

累计有

$$68+1=69$$

个。

因此，排在 $35241$ 前面的数有 $69$ 个，所以 $35241$ 的排名为

$$69+1=70$$

最终答案：第 $70$ 个。

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四、特定位置/元素限制问题（如：某数字必须在某位置，或某两个数字必须相邻/不相邻）

例10

【题目难度】：基础

【题目描述】：用数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数，其中数字 3 必须在百位（即从左往右第三位），共有多少个？

【解题思路】：先固定特殊元素的位置，再排列剩余数字，属于“优先排特殊位置法”。

【详细解答】：
把数字 3 固定在百位后，其余四个数字 $1,2,4,5$ 依次排在万位、千位、十位、个位上。
这四个数字的排列数为

$$4!=24$$

因此满足条件的五位数共有

$$24$$

个。

最终答案：$24$ 个。

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例11

【题目难度】：中档

【题目描述】：用数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数，其中数字 1 和 2 必须相邻，共有多少个？

【解题思路】：把相邻的两个数字看成一个整体，使用“捆绑法”。

【详细解答】：
因为 1 和 2 必须相邻，所以把它们看成一个整体。
但这个整体内部有两种顺序：$12$ 或 $21$。

于是可把题目看成对以下 4 个对象进行排列：

$$(12\text{或}21),\ 3,\ 4,\ 5$$

这 4 个对象可排

$$4!=24$$

种。
而整体内部又有

$$2$$

种顺序。

所以满足条件的五位数共有

$$24\times 2=48$$

个。

最终答案：$48$ 个。

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例12

【题目难度】：拔高

【题目描述】：用数字 $1,2,3,4,5,6$ 组成没有重复数字的六位数，要求数字 1、2、3 任意两个都不相邻，共有多少个？

【解题思路】：先排“普通元素”，再把受限元素插入空位，使用“插空法”。

【详细解答】：
先排数字 $4,5,6$。
它们的排列数为

$$3!=6$$

例如排成某一种顺序后，会形成 4 个可插入的位置（空位）：

$$\_\,4\,\_\,5\,\_\,6\,\_$$

为了使 1、2、3 任意两个都不相邻，它们必须分插在不同的空位中。
因此从这 4 个空位中选 3 个空位，方法数为

$$\binom{4}{3}=4$$

再把数字 1、2、3 排入这 3 个选中的空位中，有

$$3!=6$$

种方法。

所以总数为

$$3!\times \binom{4}{3}\times 3! =6\times 4\times 6 =144$$

最终答案：$144$ 个。

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这 12 题已经把“排数字问题”中的四个核心方向基本覆盖了：
含 0 的首位限制、奇偶与整除、大小与字典序、位置与相邻限制。
作为课堂讲义或专题训练，这一组题目已经可以直接使用。