这题如果按规范建模，答案是

$$\boxed{\frac{CM}{CP}=\frac13 }.$$

下面我按“解题 + 深度审查”的方式完整拆开。

---

一、先审题：把条件翻译成清晰的几何信息

题目给出：

• 四棱锥 $P-ABCD$
• $AB\perp \text{平面 }PAD$
• $AD\parallel BC$
• $AB=BC=AP=1$
• $\dfrac12 AD=1\Rightarrow AD=2$
• $PD\perp AP$
• $\angle ADP=30^\circ$
• $E$ 是 $PD$ 中点
• $M\in PC$（不含端点）
• 异面直线 $BM$ 与 $CE$ 所成角的余弦为 $\dfrac{\sqrt{10}}5$

求 $\dfrac{CM}{CP}$。

---

二、先检查题目是否自洽

1. 三角形 $ADP$ 的数据完全一致

由

$$AP=1,\quad AD=2,\quad PD\perp AP$$

可知 $\triangle ADP$ 是直角三角形，且 $AD$ 为斜边，所以

$$PD=\sqrt{AD^2-AP^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt3.$$

又因为

$$\sin\angle ADP=\frac{AP}{AD}=\frac12,$$

所以

$$\angle ADP=30^\circ.$$

这与题目完全一致，说明条件没有内在矛盾。

2. 底面 $ABCD$ 的形状

由 $AB\perp \text{平面 }PAD$，可知 $AB\perp AD$。

又因为 $AD\parallel BC$，所以 $AB\perp BC$。

再结合 $AB=BC=1$、$AD=2$，底面可以看成一个直角梯形。
这一步很适合坐标法。

---

三、标准坐标解法

取平面 $PAD$ 为 $xOz$ 平面，设

$$A(0,0,0),\qquad D(2,0,0).$$

因为 $AB\perp \text{平面 }PAD$ 且 $AB=1$，可设

$$B(0,1,0).$$

由于底面顶点按 $A\to B\to C\to D$ 的顺序排列，且 $BC\parallel AD$、$BC=1$，于是取

$$C(1,1,0).$$

---

1. 求点 $P$

设

$$P=(x,0,z)\quad (P\in xOz).$$

由

$$AP=1,\qquad DP=\sqrt3$$

得

$$x^2+z^2=1,$$ $$(x-2)^2+z^2=3.$$

两式相减：

$$(x-2)^2-x^2=2$$ $$x=\frac12.$$

于是

$$z=\sqrt{1-\frac14}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

所以

$$P\left(\frac12,0,\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

---

2. 求点 $E$

$E$ 为 $PD$ 中点，所以

$$E=\left(\frac{\frac12+2}{2},\,0,\,\frac{\frac{\sqrt3}{2}+0}{2}\right) =\left(\frac54,\,0,\,\frac{\sqrt3}{4}\right).$$

---

3. 设参数表示点 $M$

设

$$\lambda=\frac{CM}{CP},\qquad 0<\lambda<1.$$

因为 $M$ 在线段 $PC$ 上，所以

$$M=C+\lambda(P-C).$$

而

$$P-C=\left(\frac12-1,\ 0-1,\ \frac{\sqrt3}{2}-0\right) =\left(-\frac12,-1,\frac{\sqrt3}{2}\right),$$

故

$$M=\left(1-\frac{\lambda}{2},\ 1-\lambda,\ \frac{\sqrt3}{2}\lambda\right).$$

---

4. 写出两条直线的方向向量

$$\overrightarrow{BM}=M-B =\left(1-\frac{\lambda}{2},\ -\lambda,\ \frac{\sqrt3}{2}\lambda\right),$$ $$\overrightarrow{CE}=E-C =\left(\frac14,\ -1,\ \frac{\sqrt3}{4}\right).$$

---

5. 用“异面直线所成角”的余弦公式

由于题目给的是所成角的余弦，

$$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{CE}|} =\frac{\sqrt{10}}5.$$

先算点积：

$$\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{CE} =\left(1-\frac{\lambda}{2}\right)\frac14+(-\lambda)(-1)+\frac{\sqrt3}{2}\lambda\cdot\frac{\sqrt3}{4}$$ $$=\frac14-\frac{\lambda}{8}+\lambda+\frac{3\lambda}{8} =\frac14+\frac54\lambda =\frac{1+5\lambda}{4}.$$

再算模长：

$$|\overrightarrow{BM}|^2 =\left(1-\frac{\lambda}{2}\right)^2+\lambda^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\lambda\right)^2$$ $$=1-\lambda+\frac{\lambda^2}{4}+\lambda^2+\frac{3\lambda^2}{4} =1-\lambda+2\lambda^2.$$ $$|\overrightarrow{CE}|^2 =\left(\frac14\right)^2+1+\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2 =\frac1{16}+1+\frac3{16} =\frac54.$$

于是

$$\frac{\frac{1+5\lambda}{4}}{\sqrt{1-\lambda+2\lambda^2}\cdot \frac{\sqrt5}{2}} =\frac{\sqrt{10}}5.$$

两边平方：

$$\frac{(1+5\lambda)^2}{20(1-\lambda+2\lambda^2)}=\frac25.$$

化简：

$$(1+5\lambda)^2=8(1-\lambda+2\lambda^2)$$ $$1+10\lambda+25\lambda^2=8-8\lambda+16\lambda^2$$ $$9\lambda^2+18\lambda-7=0.$$

解得

$$\lambda=\frac{-18\pm 24}{18}.$$

所以

$$\lambda=\frac13\quad \text{或}\quad -\frac73.$$

而 $0<\lambda<1$，故只能取

$$\boxed{\lambda=\frac13 }.$$

因此

$$\boxed{\frac{CM}{CP}=\frac13 }.$$

---

四、这题的关键考点是什么

这题本质上考 3 件事：

1. 空间条件压缩成坐标模型

最重要的是看到：

• $AB\perp \text{平面 }PAD$ → 可把 $AB$ 直接放到坐标轴上
• $P,A,D$ 共面 → 取成坐标平面
• $AD=2,AP=1,PD\perp AP,\angle ADP=30^\circ$ → $P$ 坐标能迅速算出

这一步决定了题目难度。

2. “点在线段上”的参数化

令

$$\lambda=\frac{CM}{CP}$$

比直接令 $M$ 的坐标更聪明，因为题目最后就问这个比值。

3. 异面直线所成角

本质就是两方向向量的夹角：

$$\cos\theta=\frac{|\mathbf u\cdot \mathbf v|}{|\mathbf u||\mathbf v|}.$$

---

五、对题目本身做“深度审查”

1. 题目整体质量：中上

这是一道质量不错的空间向量题：

• 条件之间是自洽的；
• 计算量适中；
• 最终结果 $\frac13$ 很干净；
• 比较能区分“会建系”和“不会建系”的学生。

---

2. 最大的优点

它不是纯机械算角，而是把：

• 直线垂直平面
• 平行
• 线段中点
• 点分比
• 异面直线夹角

串成了一个完整模型。
这种题在高考/竞赛初阶里很典型，坐标法是最稳的。

---

3. 题目的主要瑕疵

瑕疵 A：符号排版不规范

原题写成：

• “$AB \perp$平面$PAD$”
• “$AD // BC$”
• “$\frac12 AD=1$”

这都不够规范。更标准应写为：

$$AB\perp \text{平面 }PAD,\qquad AD\parallel BC,\qquad AD=2.$$

尤其“$\frac12 AD=1$”虽然能看懂，但不是标准数学叙述。

---

瑕疵 B：对底面位置关系的表达略依赖图形

题目文字只说 $AD\parallel BC$、$BC=1$、$AD=2$。
如果完全脱离图形，很多人会犹豫 $C$ 该落在哪一侧。

严格来说，这题仍可由“四棱锥 $P-ABCD$”中底面顶点的顺序 $A,B,C,D$ 理解为简单四边形按顺序命名，于是 $C$ 的位置实际上是被限定的；但这个限定不够直白，对部分学生不友好。

更好的写法是直接补成：

$$\overrightarrow{BC}=\frac12 \overrightarrow{AD}.$$

这样就没有任何歧义了。

---

瑕疵 C：题目更适合明确说“所成锐角”

“异面直线所成角”在教材里通常默认取锐角或直角。
由于这里给的是正余弦值，问题不大，但更规范可以写成：

直线 $BM$ 与 $CE$ 所成锐角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}5$。

---

4. 这题有没有“隐藏坑”

有，主要两个：

坑 1：把 $M$ 参数写反

很多人会写成

$$M=P+t(C-P),$$

最后却把 $t$ 当成 $\frac{CM}{CP}$。
其实若这样设，$t=\frac{PM}{PC}$，不是题目所求。

最稳妥的方法就是我上面那样，直接令

$$\lambda=\frac{CM}{CP}, \quad M=C+\lambda(P-C).$$

坑 2：忘记异面直线夹角要取绝对值

公式应是

$$\cos\theta=\frac{|\mathbf u\cdot \mathbf v|}{|\mathbf u||\mathbf v|}.$$

不过这题在正确建模下点积最终为正，所以没出麻烦。

---

六、如果把题目改得更规范，可以写成这样

在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB\perp \text{平面 }PAD$，
$\overrightarrow{BC}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$，且
$AB=BC=AP=1,\ AD=2,\ PD\perp AP,\ \angle ADP=30^\circ$。
点 $E$ 为线段 $PD$ 的中点。点 $M$ 在线段 $PC$ 上（不含端点），且直线 $BM$ 与 $CE$ 所成锐角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt{10}}5$。求 $\dfrac{CM}{CP}$。

这样题意会明显更完整。

---

七、最终结论

• 这题可解且条件自洽；
• 最自然的方法是空间直角坐标系 + 参数法 + 向量夹角公式；
• 结果为

$$\boxed{\frac{CM}{CP}=\frac13 }.$$

如果你愿意，我可以继续把这题再做一版“纯几何/向量法的更短解”，或者专门分析“为什么坐标系这样设最优”。