реши это задание из контрольной работы по математи...

Рассмотрим предложение

$$A \equiv \exists y\,\exists x\Bigl[(15y+11<5x)\ \&\ (4x<12y+13)\ \&\ D_4(3x-1)\ \&\ D_6(5x-1)\ \&\ D_9(7x-2)\Bigr],$$

где $D_n(t)$ означает “$n$ делит $t$” (то есть $t\equiv 0\pmod n$).

Нужно выяснить, истинно ли $A$ в $\mathbb Z$ (а значит, является ли теоремой теории истинных предложений о $\mathbb Z$).

---

1) Уберём строгие неравенства (стандартный шаг в алгоритме Пресбургера)

В целых числах верно:

$$a<b \iff a+1\le b.$$

Поэтому:

1. $15y+11<5x \iff 15y+12\le 5x$.
2. $4x<12y+13 \iff 4x\le 12y+12$.

Тогда $A$ эквивалентно:

$$\exists y\exists x\Bigl[(15y+12\le 5x)\ \&\ (4x\le 12y+12)\ \&\ D_4(3x-1)\ \&\ D_6(5x-1)\ \&\ D_9(7x-2)\Bigr].$$

---

2) Преобразуем неравенства в ограничения на $x$

(а) Из $15y+12\le 5x$ получаем нижнюю границу на $x$

$$15y+12\le 5x \iff 5x \ge 15y+12.$$

Заметим: $5x$ кратно 5. Значит, если $5x\ge 15y+12$, то минимально возможное значение кратное 5 справа — это $15y+15$. Отсюда:

$$5x \ge 15y+15 \iff x \ge 3y+3.$$

(То же самое можно записать как “деление с потолком”: $x\ge \left\lceil\frac{15y+12}{5}\right\rceil = 3y+3$.)

(б) Из $4x\le 12y+12$ получаем верхнюю границу на $x$

$$4x\le 12y+12 \iff x\le 3y+3$$

(здесь деление точное, т.к. $12y+12$ кратно 4).

(в) Совмещаем границы

$$x\ge 3y+3 \quad\text{и}\quad x\le 3y+3 \ \Longrightarrow\ x=3y+3.$$

То есть исходная формула эквивалентна (после устранения $x$ через подстановку):

$$A \iff \exists y\Bigl[D_4(3(3y+3)-1)\ \&\ D_6(5(3y+3)-1)\ \&\ D_9(7(3y+3)-2)\Bigr].$$

Упростим выражения:

• $3(3y+3)-1 = 9y+8$
• $5(3y+3)-1 = 15y+14$
• $7(3y+3)-2 = 21y+19$

Получаем:

$$A \iff \exists y\Bigl[D_4(9y+8)\ \&\ D_6(15y+14)\ \&\ D_9(21y+19)\Bigr].$$

---

3) Переводим делимость в сравнения по модулю и проверяем совместимость

Рассмотрим второе условие:

$$D_6(15y+14)\iff 15y+14\equiv 0\pmod 6.$$

Сократим по модулю 6:

• $15\equiv 3\pmod 6$
• $14\equiv 2\pmod 6$

Значит

$$15y+14\equiv 0 \pmod 6 \iff 3y+2\equiv 0\pmod 6 \iff 3y\equiv 4\pmod 6.$$

Но левая часть $3y$ всегда кратна 3, следовательно по модулю 6 она может быть только $0$ или $3$ (в зависимости от чётности $y$). Значение $4$ невозможно.

То есть условие $D_6(15y+14)$ невыполнимо ни при каком целом $y$.

Следовательно, вся конъюнкция

$$D_4(9y+8)\ \&\ D_6(15y+14)\ \&\ D_9(21y+19)$$

невыполнима, а значит

$$A \text{ ложно в } \mathbb Z.$$

---

Итог

Так как в $\mathbb Z$ не существует целых $x,y$, удовлетворяющих всем условиям, предложение $A$ не является теоремой (то есть не истинно в данной теории/структуре целых чисел с делимостью).

Если хочешь, я могу оформить это в стиле “кванторное исключение по Пресбургеру” ещё более канонично (с явным введением новой переменной $d=x-3y$ и приведением к стандартному виду с модулями и интервалами).