logoChat01.ai

При каком минимальном значении выборочной конверси...

创建于：2025年12月24日

使用 GPT-5.2 Thinking 回答 Chat01

问题

При каком минимальном значении выборочной конверсии
p
^
p
^
​
(для размера выборки
n

10000
n=10000) левая граница
95
95% нормального доверительного интервала
p
^
±
1.96
p
^
(
1
−
p
^
)
/
n
p
^
​
±1.96
p
^
​
(1−
p
^
​
)/n
​
коснётся нуля?
Ответ

思考

Calculating minimal sample conversion for p-hat

I need to solve the equation for p-hat such that the left bound of the 95% confidence interval is zero. Here's the equation: p-hat - 1.96*sqrt(p-hat(1-p-hat)/n) = 0. After simplifying, I find that p = z2 / (n + z2). For n = 10,000, I calculated p ≈ 0.000384.

Refining the minimal conversion calculation

The value of p is nearly 0.000384, specifically 0.0003840125. This translates to about 0.0384%, or roughly 4 conversions for n=10,000. If 3 conversions are used, the left bound touches zero, but for 4 conversions, the bound is positive. The theoretical minimum for p is 3.84e-4/n.

Thought for 17s

回答

Левая граница равна нулю, когда

p^−1.96p^(1−p^)n=0,n=10000.\hat p - 1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=0,\qquad n=10000.

Для p^>0\hat p>0:

p^=1.96p^(1−p^)n⇒p^2=1.962np^(1−p^)⇒p^=1.962n+1.962.\hat p = 1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \Rightarrow \hat p^2=\frac{1.96^2}{n}\hat p(1-\hat p) \Rightarrow \hat p=\frac{1.96^2}{n+1.96^2}.

Подставляем 1.962=3.84161.96^2=3.8416:

p^=3.841610000+3.8416≈0.000384≈0.0384%.\hat p=\frac{3.8416}{10000+3.8416}\approx 0.000384 \approx 0.0384\%.

То есть примерно 3.84 конверсии на 10 000 наблюдений (в целых конверсиях это ближе к 4 из 10 000).
(Формально p^=0\hat p=0 тоже даёт границу 0, но “минимальное положительное” — значение выше.)

分享这个问答