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你好！请告诉我你详细的模型型号。

创建于：2025年12月24日

使用 GPT-5.2 Thinking 回答 Chat01

问题

你好！请告诉我你详细的模型型号。

回答

你好！我是 GPT-5.2 Thinking。

问题

如何求 x^2 arcsin^2 x dx 的积分？

Python

python
import sympy as sp
x=sp.symbols('x')
expr = x**3*sp.asin(x)**2/3 + (2*(2+x**2)*sp.asin(x)*sp.sqrt(1-x**2))/9 - (2*x*(6+x**2))/27
sp.simplify(sp.diff(expr,x) - x**2*sp.asin(x)**2)


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思考

import sympy as sp x=sp.symbols('x') expr = x3*sp.asin(x)*2/3 + (2(2+x2)sp.asin(x)sp.sqrt(1-x**2))/9 - (2x(6+x2))/27 sp.simplify(sp.diff(expr,x) - x2*sp.asin(x)**2)

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Thought for 25s

回答

要求

I=∫x2(arcsin⁡x)2 dx(∣x∣≤1)I=\int x^2(\arcsin x)^2\,dx\qquad(|x|\le 1)

1) 代换 x=sin⁡tx=\sin t

令 x=sin⁡tx=\sin t，则 t=arcsin⁡x, dx=cos⁡t dtt=\arcsin x,\ dx=\cos t\,dt。
积分变为

I=∫t2sin⁡2tcos⁡t dt.I=\int t^2\sin^2 t\cos t\,dt.

注意到 d(sin⁡3t)=3sin⁡2tcos⁡t dtd(\sin^3 t)=3\sin^2 t\cos t\,dt，所以

I=13∫t2 d(sin⁡3t).I=\frac13\int t^2\,d(\sin^3 t).

2) 分部积分

13∫t2 d(sin⁡3t)=13(t2sin⁡3t−∫sin⁡3t d(t2))=13(t2sin⁡3t−2∫tsin⁡3t dt).\frac13\int t^2\,d(\sin^3 t) =\frac13\Big(t^2\sin^3 t-\int \sin^3 t\,d(t^2)\Big) =\frac13\Big(t^2\sin^3 t-2\int t\sin^3 t\,dt\Big).

设

J=∫tsin⁡3t dt.J=\int t\sin^3 t\,dt.

3) 计算 JJ

用恒等式

sin⁡3t=14(3sin⁡t−sin⁡3t),\sin^3 t=\frac14(3\sin t-\sin 3t),

则

J=14(3∫tsin⁡t dt−∫tsin⁡3t dt).J=\frac14\Big(3\int t\sin t\,dt-\int t\sin 3t\,dt\Big).

而通式

∫tsin⁡(at) dt=−tcos⁡(at)a+sin⁡(at)a2.\int t\sin(at)\,dt=-\frac{t\cos(at)}a+\frac{\sin(at)}{a^2}.

因此

∫tsin⁡t dt=−tcos⁡t+sin⁡t,\int t\sin t\,dt=-t\cos t+\sin t, ∫tsin⁡3t dt=−tcos⁡3t3+sin⁡3t9.\int t\sin 3t\,dt=-\frac{t\cos 3t}{3}+\frac{\sin 3t}{9}.

代回得

J=14[−3tcos⁡t+3sin⁡t+tcos⁡3t3−sin⁡3t9].J=\frac14\left[-3t\cos t+3\sin t+\frac{t\cos 3t}{3}-\frac{\sin 3t}{9}\right].

于是

I=13[t2sin⁡3t−2J]=x3t23+(2+x2)tcos⁡t? (下面化回 x)I=\frac13\left[t^2\sin^3 t-2J\right] =\frac{x^3t^2}{3}+\frac{(2+x^2)t\cos t}{?}\ \text{(下面化回 $x$)}

4) 化回 xx

有

sin⁡t=x,cos⁡t=1−x2,t=arcsin⁡x,\sin t=x,\qquad \cos t=\sqrt{1-x^2},\qquad t=\arcsin x,

并且

cos⁡3t=cos⁡t (1−4sin⁡2t)=1−x2(1−4x2),sin⁡3t=3x−4x3.\cos 3t=\cos t\,(1-4\sin^2 t)=\sqrt{1-x^2}(1-4x^2),\quad \sin 3t=3x-4x^3.

整理化简后得到一个干净的原函数：

∫x2(arcsin⁡x)2 dx=x33(arcsin⁡x)2+2(2+x2)9 arcsin⁡x 1−x2−2x(6+x2)27+C\boxed{ \int x^2(\arcsin x)^2\,dx =\frac{x^3}{3}(\arcsin x)^2 +\frac{2(2+x^2)}{9}\,\arcsin x\,\sqrt{1-x^2} -\frac{2x(6+x^2)}{27}+C }

（对上式求导可严格回到 x2(arcsin⁡x)2x^2(\arcsin x)^2。）

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