Giải cho tôi câu 14 15 16. Cho tôi lời giải chi ti...

Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài toán Bài 14, 15, và 16 trong ảnh bạn đã cung cấp:

---

✅ Bài 14: Biến ngẫu nhiên $X \sim \text{Uniform}[0, 2]$, $Y = (X - 1)^2$

1. Tìm hàm mật độ xác suất của Y

Gọi $Y = (X - 1)^2 \Rightarrow X = 1 \pm \sqrt{Y}$

• Vì $X \in [0, 2] \Rightarrow Y = (X - 1)^2 \in [0, 1]$
• Hàm phân phối tích lũy $F_Y(y) = P(Y \le y) = P((X - 1)^2 \le y) \Rightarrow P(1 - \sqrt{y} \le X \le 1 + \sqrt{y})$
• Do $X \sim U[0, 2]$, mật độ xác suất $f_X(x) = \frac{1}{2}$

$$F_Y(y) = \int_{1 - \sqrt{y}}^{1 + \sqrt{y}} \frac{1}{2} dx = \frac{(1 + \sqrt{y}) - (1 - \sqrt{y})}{2} = \sqrt{y} \Rightarrow f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}, \quad y \in (0,1)$$

✅ Kết luận: $f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}, \quad 0 < y < 1$

---

2. Kỳ vọng và phương sai của X và Y

Đối với $X \sim U[0,2]$:

$$E[X] = \frac{0 + 2}{2} = 1, \quad Var(X) = \frac{(2 - 0)^2}{12} = \frac{1}{3}$$

Đối với $Y = (X - 1)^2$:

Ta dùng định nghĩa:

$$E[Y] = E[(X - 1)^2] = Var(X) = \frac{1}{3}$$ $$E[Y^2] = E[(X - 1)^4] = \int_0^2 (x - 1)^4 \cdot \frac{1}{2} dx \Rightarrow \text{(tính toán)} = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} u^4 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5} \Rightarrow Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{1}{5} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{4}{45}$$

✅ Kết luận:

• $E[X] = 1$, $Var(X) = \frac{1}{3}$
• $E[Y] = \frac{1}{3}$, $Var(Y) = \frac{4}{45}$

---

✅ Bài 15: $Z \sim \text{Uniform}[0,1]$

• $X = 0$ nếu $Z \le 0.5$, $X = 1$ nếu ngược lại
• $Y = 0$ nếu $Z \ge 0.7$, $Y = 1$ nếu ngược lại

1. Lập bảng phân bố đồng thời của X và Y

Ta xét các khoảng giá trị của $Z \in [0,1]$ phân chia bởi 0.5 và 0.7:

Khoảng Z	$X$	$Y$	Xác suất
[0, 0.5]	0	1	0.5
(0.5, 0.7]	1	1	0.2
(0.7, 1]	1	0	0.3

✅ Phân bố đồng thời của (X,Y):

X	Y	P(X,Y)
0	1	0.5
1	1	0.2
1	0	0.3

---

2. Kỳ vọng và phương sai của biến T với $T = \frac{X+1}{Y+1}$

Tính các giá trị có thể của $T$:

X	Y	T	P(X,Y)
0	1	$\frac{1}{2}$	0.5
1	1	$\frac{2}{2} = 1$	0.2
1	0	$\frac{2}{1} = 2$	0.3

$$E[T] = 0.5 \cdot \frac{1}{2} + 0.2 \cdot 1 + 0.3 \cdot 2 = 0.25 + 0.2 + 0.6 = 1.05$$ $$E[T^2] = 0.5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0.2 \cdot 1^2 + 0.3 \cdot 4 = 0.125 + 0.2 + 1.2 = 1.525 \Rightarrow Var(T) = 1.525 - (1.05)^2 = 1.525 - 1.1025 = 0.4225$$

✅ Kết luận:

• $E[T] = 1.05$, $Var(T) = 0.4225$

---

✅ Bài 16:

• $X$ có mật độ $f_X(x) = 0.25x$ trên $1 \le x \le 3$
• $Y = \frac{1}{X}$

1. Hàm mật độ xác suất của Y

Xét biến đổi $Y = \frac{1}{X} \Rightarrow X = \frac{1}{Y}$

• Khi $X \in [1, 3] \Rightarrow Y \in [\frac{1}{3}, 1]$
• Dùng công thức biến đổi mật độ:

$$f_Y(y) = f_X\left(\frac{1}{y}\right) \cdot \left|\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{y}\right)\right| = 0.25 \cdot \frac{1}{y} \cdot \left|\frac{-1}{y^2}\right| = \frac{0.25}{y^3}, \quad y \in \left[\frac{1}{3}, 1\right]$$

✅ Kết luận:

• $f_Y(y) = \frac{0.25}{y^3}, \quad y \in \left[\frac{1}{3}, 1\right]$

---

2. Kỳ vọng và phương sai của X và Y

Đối với $X$:

$$E[X] = \int_1^3 x \cdot 0.25x dx = 0.25 \int_1^3 x^2 dx = 0.25 \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = 0.25 \cdot \left(\frac{27 - 1}{3}\right) = 0.25 \cdot \frac{26}{3} = \frac{6.5}{3}$$ $$E[X^2] = \int_1^3 x^2 \cdot 0.25x dx = 0.25 \int_1^3 x^3 dx = 0.25 \cdot \left[\frac{x^4}{4}\right]_1^3 = 0.25 \cdot \left(\frac{81 - 1}{4}\right) = \frac{80}{16} = 5 \Rightarrow Var(X) = 5 - \left(\frac{6.5}{3}\right)^2 = 5 - \frac{42.25}{9} = \frac{2.75}{9}$$

Đối với $Y = \frac{1}{X}$:

$$E[Y] = \int_1^3 \frac{1}{x} \cdot 0.25x dx = 0.25 \int_1^3 1 dx = 0.25 \cdot 2 = 0.5$$ $$E[Y^2] = \int_1^3 \frac{1}{x^2} \cdot 0.25x dx = 0.25 \int_1^3 \frac{1}{x} dx = 0.25 \cdot \ln 3 \Rightarrow Var(Y) = 0.25 \ln 3 - 0.5^2 \approx 0.2746 - 0.25 = 0.0246$$

✅ Kết luận:

• $E[X] = \frac{6.5}{3}, \quad Var(X) = \frac{2.75}{9}$
• $E[Y] = 0.5, \quad Var(Y) \approx 0.0246$

---

Nếu bạn muốn file PDF chứa toàn bộ lời giải chi tiết, mình có thể tạo cho bạn. Bạn cần không?