简短说：一致性不是“必然成立的普适性质”，而是某个估计量是否“随样本量增大而逼近真值”的一种性质，用来评价（筛选）估计量。并不是所有估计量都有一致性，所以它当然能作为评价标准。

一致性的准确定义

对参数 $\theta$ 的估计量 $\hat\theta_n$ 若满足

$$\forall \varepsilon>0,\quad \Pr_\theta\!\left(|\hat\theta_n-\theta|>\varepsilon\right)\xrightarrow[n\to\infty]{}0,$$

则称“（弱）一致”。（强一致是几乎必然地收敛到 $\theta$。）

为什么不是“普适不变”

给几个反例你就会看到“一定更接近”并不总成立：

• 用第一条观测作估计：伯努利($p$)样本，设 $\hat p_n=X_1$。它与 $n$ 无关，$\Pr(|X_1-p|>\varepsilon)$ 不会随 $n$ 降到 0，不一致。
• 加常数的估计：正态均值 $\mu$ 的样本，$\tilde\mu_n=\bar X_n+c$（$c\neq0$）。则 $\tilde\mu_n \to \mu+c$，不一致。
• 交替“作怪”的估计：奇数 $n$ 取 $\bar X_n$，偶数 $n$ 取 $\bar X_n+1$。极限不存在，不一致。

相反，很多“好”的估计量是一致的，例如伯努利的样本均值 $\bar X_n$ 对 $p$ 一致（来自大数定律）。

作为“评价标准”的意义

一致性告诉我们：样本足够大时，这个估计量能否靠近真参数。因为并非所有估计量都满足，所以它确实是一个筛选标准（通常被视为“最低要求”）。但仅有一致性还不够，我们还关心：

• 收敛速度 / 渐近分布：如 $\sqrt{n}(\hat\theta_n-\theta)$ 的极限分布与方差（效率）。
• 无偏性 vs. 一致性：二者不同。
  • 可有偏但一致：用分母为 $n$ 的样本方差 $S_n^2$ 对 $\sigma^2$ 有偏，但 $S_n^2 \to \sigma^2$，是一致的。
  • 可无偏但不一致：$X_1$ 估计正态均值 $\mu$ 是无偏（$\mathbb E[X_1]=\mu$），但方差不随 $n$ 变小，不一致。
• 风险/损失：如均方误差（MSE）。若 $\text{MSE}(\hat\theta_n)\to0$ 则称“均方一致”，它蕴含（弱）一致。

小结

你说的“随着 $n$ 增大更接近真值”正是一致性的内涵，但这并非对所有估计量“必然成立”的普适真理；因此它被用作评价估计量的一个关键标准。实际工作里，我们通常要求“一致 + 足够高的效率（好的收敛速度）”，而不仅仅是“一致”。如果你愿意，我可以帮你把常见估计量（如 MLE、矩估计、贝叶斯后验均值）在不同模型下是否一致、以及各自的收敛率整理成一张对照表。

好的！我把三个反例都“掰开揉碎”地推一遍（都假定样本独立同分布）。核心检验式是：

$$\hat\theta_n\text{一致}\iff \forall\varepsilon>0,\; \Pr\big(|\hat\theta_n-\theta|>\varepsilon\big)\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$$

1) 用第一条观测 $X_1$ 估计伯努利参数 $p$：$\hat p_n=X_1$

• 情形：$X_i\sim \text{Bernoulli}(p)$，$X_1\in\{0,1\}$。
• 直接算该概率（注意它根本不随 $n$ 变）： $$\Pr(|X_1-p|>\varepsilon) =\Pr(X_1=1)\mathbf 1\{|1-p|>\varepsilon\}+\Pr(X_1=0)\mathbf 1\{p>\varepsilon\} =p\,\mathbf 1\{1-p>\varepsilon\}+(1-p)\,\mathbf 1\{p>\varepsilon\}.$$
• 只要 $p\in(0,1)$，取 $\varepsilon^\star=\tfrac12\min(p,1-p)>0$，则 $p>\varepsilon^\star$ 且 $1-p>\varepsilon^\star$，于是 $$\Pr(|X_1-p|>\varepsilon^\star)=p+(1-p)=1\quad(\text{对所有 }n).$$ 因此极限不是 0，而是 1，不一致。
  （边界点 $p=0$ 或 $1$ 的退化情形除外，此时 $X_1$ 恒等于真值，当然“一致”，但这不推翻在 $p\in(0,1)$ 上的不一致。）

直观：估计量与 $n$ 无关，样本再多也不改它的波动。

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2) 给样本均值“加常数” $\tilde\mu_n=\bar X_n+c$（$c\neq 0$）

• 情形：$X_i$ 的均值为 $\mu$，方差有限。由大数定律 $\bar X_n\xrightarrow{p}\mu$。
• 我们关心 $$\Pr\big(|\tilde\mu_n-\mu|>\varepsilon\big) =\Pr\big(|(\bar X_n+c)-\mu|>\varepsilon\big).$$ 用反三角不等式 $|a+b|\ge \big||a|-|b|\big|$（取 $a=c,\;b=\bar X_n-\mu$）得 $$|(\bar X_n+c)-\mu|\;\ge\; \big||c|-|\bar X_n-\mu|\big|.$$
• 取 $\varepsilon=|c|/2$。当 $|\bar X_n-\mu|<|c|/3$ 时，右侧 $\ge |c|-|c|/3=2|c|/3>|c|/2=\varepsilon$。
  因而 $$\Pr\big(|\tilde\mu_n-\mu|>\tfrac{|c|}{2}\big)\;\ge\;\Pr\big(|\bar X_n-\mu|<\tfrac{|c|}{3}\big)\xrightarrow[n\to\infty]{}1.$$ 所以该概率极限为 1，不一致（实际上 $\tilde\mu_n\xrightarrow{p}\mu+c$，偏离真值一个常数）。

直观：你把一个本来会收敛到 $\mu$ 的量整体平移了 $c$，极限就跟着“跑偏”了。

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3) “奇偶作怪”的估计：

$$\hat\mu_n= \begin{cases} \bar X_n, & n\ \text{为奇数}\\ \bar X_n+1, & n\ \text{为偶数} \end{cases}$$

• 奇数子列：$\hat\mu_n=\bar X_n\xrightarrow{p}\mu$（一致）。
• 偶数子列：$\hat\mu_n=\bar X_n+1\xrightarrow{p}\mu+1$（由上一个例子，向 $\mu+1$ 收敛）。
• 若整列 $\hat\mu_n$ 要对 $\mu$ 一致，则 $\Pr(|\hat\mu_n-\mu|>\varepsilon)$ 的极限应为 0。
  但取 $\varepsilon=1/2$：
  • 奇数 $n$：$\Pr(|\hat\mu_n-\mu|>1/2)=\Pr(|\bar X_n-\mu|>1/2)\to 0$；
  • 偶数 $n$：$\Pr(|\hat\mu_n-\mu|>1/2)=\Pr(|(\bar X_n+1)-\mu|>1/2)\to 1$（用例 2 的结论，取 $c=1$）。
• 同一序列沿两个子序列的极限不同（一个到 0，一个到 1），因此极限不存在，$\hat\mu_n$ 不一致。

直观：估计量“来回切换两个不同的极限点”，不可能整体收敛到某个真值。

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一句话回顾

• 反例 1：概率算出来恒为 1（对合适的 $\varepsilon$），与 $n$ 无关 ⇒ 不一致。
• 反例 2：极限点是 $\mu+c\neq\mu$，对 $\varepsilon<|c|$ 概率 $\to 1$ ⇒ 不一致。
• 反例 3：奇偶两条子列极限不同 ⇒ 总体不收敛 ⇒ 不一致。

如果你愿意，我也可以把这三种情形画成“小图”（随 $n$ 变化的概率曲线）或给一个可运行的小例子（数值模拟）直观看到这些概率分别“恒定”“→1”“来回跳”。

核心就一句话：在频率派（置信区间）里，“随机的是区间，不是参数”。
因此“95%”指的是构造区间这一随机程序的覆盖率，而不是“参数落入区间的后验概率”。

正确表述（频率派含义）

设样本 $X\sim P_\theta$，用某一规则从数据 $X$ 构造区间 $C(X)$。若对一切 $\theta$ 都有

$$\Pr_\theta\big(\theta\in C(X)\big)=0.95,$$

我们称 $C(\cdot)$ 是 95% 置信区间程序。这里的概率是对重复抽样的：反复从同一总体抽样并按同一规则做区间，其中约 95% 的区间会覆盖真参数 $\theta$。所以“95% 的置信区间包含总体均值”这类说法，是在描述程序的覆盖性质，是对的。

为什么“$\theta$ 有 95% 概率在这个区间里”不对

在频率派框架里，$\theta$ 被看作固定常数，不是随机变量；“随机”来自样本 $X$，从而来自区间 $C(X)$。
一旦你观察到了具体数据 $X=x_{\text{obs}}$，区间 $C(x_{\text{obs}})$ 就是一个固定集合，事件 $\{\theta\in C(x_{\text{obs}})\}$ 要么为真要么为假，其概率在频率派意义下退化为 0 或 1，而不是 0.95。
因此把“0.95”解读成“$\theta$ 落入这个具体区间的概率”就错位了——那是把程序的长期频率误当成了这一次的后验不确定性。

一个常见的式子能看清这一点：

$$\underbrace{\Pr_\theta\big(\theta\in C(X)\big)}_{\text{对 }X\text{ 的概率}}=0.95 \quad\not=\quad \Pr\big(\theta\in C(x_{\text{obs}})\ \big|\ x_{\text{obs}}\big)$$

右边这个“条件概率”在频率派里没有定义（$\theta$ 非随机），除非你引入先验把 $\theta$ 随机化（见下一节）。

和“可信区间”的对比（什么时候可以说“有 95% 概率”）

如果你采用贝叶斯观点，给 $\theta$ 指定先验 $\pi(\theta)$，得到后验 $p(\theta\mid x_{\text{obs}})$，那么任何区间 $I$ 都可以谈

$$\Pr\big(\theta\in I \mid x_{\text{obs}}\big)=0.95,$$

这就是95% 可信区间（credible interval）的含义。这里“$\theta$ 有 95% 概率在区间内”是对的，因为概率是对后验分布说的。

有时两者会“看起来一样”——例如正态均值、方差已知且取平坦先验时，经典的 $\bar X \pm 1.96\sigma/\sqrt{n}$ 同时是 95% 置信区间也是 95% 可信区间；大样本下在宽松条件下二者也常近似一致（伯恩斯坦–冯米塞斯定理的效应）。但一般并不等价。

一个直观小实验（思维实验）

想象真实 $\theta$ 固定，重复 10,000 次抽样，每次都按同一方法做“95% 置信区间”。你会发现大约 95% 的区间覆盖了 $\theta$。
但你手上的这一个区间已经固定，它要么覆盖了 $\theta$（事实为真），要么没有（事实为假）；“95%”不再描述这件已发生的事实，而是描述如果你重复做很多次，这个方法表现如何。

推荐用语

• 频率派（置信区间）：“按此方法在重复抽样下有 95% 的覆盖率；我们当前得到的区间要么覆盖要么不覆盖真均值。”
• 贝叶斯（可信区间）：“在所选先验下，后验概率为 95%：真均值位于此区间内。”

一句话总结：置信区间的 95% 属于“程序的长期频率”；‘有 95% 概率在区间内’属于“参数的后验不确定性”。两句话指向的概率空间不同，所以不等价。