Um recipiente contém dois líquidos homogêneos e im...

创建于：2025年8月15日

问题

Um recipiente contém dois líquidos homogêneos e imiscíveis, A e B, com densidades respectivas ρA e ρB.
Uma esfera sólida, maciça e homogênea, de massa m = 5 kg, permanece em equilíbrio sob ação de uma mola de constante elástica k = 800 N/m, com metade de seu volume imerso em cada um dos líquidos, respectivamente, conforme a figura.
Sendo ρA = 4ρ e ρB = 6ρ, em que ρ é a densidade da esfera, pode-se afirmar que a deformação da mola é de:

a) 0 m
b) 9/16 m
c) 3/8 m
d) 1/4 m
e) 1/8 m

思考

Solving buoyancy and spring deformation

The problem is in Portuguese, involving buoyancy in two liquids with different densities. The sphere is in equilibrium, with half its volume in each liquid. The spring is attached vertically, likely pulling upward. I need to calculate how much the spring deforms under these forces.

Considering the spring setup

Without a figure, I’m assuming a vertical spring attached to the ceiling, pulling the sphere upwards. The ambiguity of "sob ação de uma mola" is confusing, though—sometimes the spring is at the bottom, pushing upward. Since the liquids are denser than the sphere, the spring might need to pull downward to balance the buoyant force.

Clarifying spring setup and approach

I now think the spring is likely attached at the bottom, pulling the sphere downward. The problem asks for the spring's deformation, which suggests that the spring needs to counter the upthrust from the liquids. Using mass and volume, we can work out how much the spring stretches to balance the forces.

Calculating buoyant force and net force

The buoyant force comes from the displaced weight of the fluids—half of the sphere's volume is in each liquid. The total buoyancy is $g V \times 5 \rho$ . The weight of the sphere is $m g = \rho V g$ , so the net upward force is 4 times the weight, or $196 \, \text{N}$ (using $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$ ).

Thought for 38s

回答

Resposta: d) 1/4 m

Raciocínio curto:

Seja $V$ o volume da esfera e $\rho$ sua densidade, então $m=\rho V$ .
Empuxo total (metade em cada líquido): $E = \frac{V}{2}\rho_A g + \frac{V}{2}\rho_B g = \frac{Vg}{2}(4\rho+6\rho) = 5\rho V g = 5mg.$
Peso: $P = mg$ .

Como o empuxo é maior que o peso, a mola deve puxar para baixo com força

F_\text{mola}=E-P=5mg-mg=4mg.

Em equilíbrio: $k\,x = 4mg \Rightarrow x=\dfrac{4mg}{k}$ .

Substituindo $m=5\,\text{kg}$ , $k=800\,\text{N/m}$ e $g\approx 10\,\text{m/s}^2$ :

x=\frac{4\cdot 5 \cdot 10}{800} =\frac{200}{800} =0{,}25\,\text{m} =\frac{1}{4}\,\text{m}.

(Usando $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$ , $x=196/800\approx 0{,}245\,\text{m}$ , arredonda para $0{,}25\,\text{m}$ .)

问题

retire o latex, mas mantenha compreensível: A deformação da mola para que a esfera permaneça em equilíbrio é de d) 1/4 m.

Explicação Passo a Passo:

Olá! Para resolver este problema, precisamos aplicar os conceitos de equilíbrio de forças, empuxo e a lei de Hooke. O objetivo é encontrar a deformação "x" da mola quando a soma de todas as forças que atuam na esfera for nula.

Vamos analisar as forças envolvidas:

Força Peso (P): Atua sempre para baixo, devido à gravidade.
Força de Empuxo (E): É a força que os líquidos exercem sobre a esfera, atuando para cima. Como a esfera está submersa em dois líquidos, o empuxo total será a soma dos empuxos de cada líquido.
Força Elástica (Fₑ): A força exercida pela mola.

1. Calculando a Força Peso (P)

Usando a fórmula $P = m \cdot g$ , onde $m = 5\,\text{kg}$ e $g \approx 10\,\text{m/s}^2$ :

P = 5 \cdot 10 = 50\,\text{N}

2. Calculando a Força de Empuxo (E)

O empuxo depende do volume de líquido deslocado. Primeiro, vamos relacionar o volume (V) e a densidade ( $\rho$ ) da esfera com sua massa (m):

m = \rho \cdot V \Rightarrow \rho V = 5

O empuxo total (E) é a soma do empuxo no líquido A ( $E_A$ ) e no líquido B ( $E_B$ ). Como metade do volume está em cada líquido, temos:

Empuxo em A: $E_A = \rho_A \cdot \frac{V}{2} \cdot g = (4\rho) \cdot \frac{V}{2} \cdot g = 2\rho Vg$
Empuxo em B: $E_B = \rho_B \cdot \frac{V}{2} \cdot g = (6\rho) \cdot \frac{V}{2} \cdot g = 3\rho Vg$

O empuxo total é:

E = E_A + E_B = 2\rho Vg + 3\rho Vg = 5\rho Vg

Como sabemos que $m = \rho V$ , podemos substituir na equação:

E = 5 \cdot (m \cdot g) = 5 \cdot P

E = 5 \cdot 50\,\text{N} = 250\,\text{N}

3. Encontrando a Força Elástica (Fₑ) e a Deformação (x)

Para que a esfera fique em equilíbrio, a soma das forças verticais deve ser zero.

Forças para cima: Empuxo (E = 250 N)
Forças para baixo: Peso (P = 50 N)

Como a força para cima (250 N) é maior que a força para baixo (50 N), a mola deve exercer uma força para baixo para equilibrar o sistema. A força da mola será:

F_e = E - P = 250 - 50 = 200\,\text{N}

Agora, usamos a Lei de Hooke ( $F_e = k \cdot x$ ) para encontrar a deformação:

200 = 800 \cdot x

x = \frac{200}{800} = \frac{1}{4}\,\text{m}

Portanto, a deformação da mola é de 1/4 m ou 0,25 m.

思考

Rewriting without LaTeX

The user wants to remove LaTeX and keep the formulas understandable. I need to convert them into plain text, using simple equations like "P = m*g" instead of LaTeX blocks. I’ll make sure the explanation is concise and clear while keeping the tone friendly. I should ensure that option "d) 1/4 m" remains intact.

Thought for 11s

回答

Aqui vai sem LaTeX — claro e direto:

Resposta: d) 1/4 m

Explicação passo a passo

Dados:
massa da esfera m = 5 kg; constante da mola k = 800 N/m; densidades: ρA = 4ρ e ρB = 6ρ; metade do volume em A e metade em B.

Peso (para baixo)
P = m * g ≈ 5 * 10 = 50 N.
Empuxo total (para cima)
Metade do volume em A e metade em B:

Empuxo em A: EA = ρA * (V/2) * g = (4ρ) * (V/2) * g = 2 ρ V g
Empuxo em B: EB = ρB * (V/2) * g = (6ρ) * (V/2) * g = 3 ρ V g
Somando: E = EA + EB = (2 + 3) ρ V g = 5 ρ V g.
Como m = ρ V, então E = 5 m g = 5 * 5 * 10 = 250 N.

Força da mola e deformação
Para equilíbrio: forças para cima = forças para baixo.
Como o empuxo (250 N) é maior que o peso (50 N), a mola deve puxar para baixo com: F_mola = E − P = 250 − 50 = 200 N.

Lei de Hooke: F_mola = k * x ⇒ x = F_mola / k = 200 / 800 = 0,25 m = 1/4 m.

Conclusão: a deformação da mola é 1/4 m.

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