``das ist die lösung davon bitte in inline math fo...

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$B22\quad f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ holomorph  

**a)** $f$ konst auf $G\subset\mathbb{C}$ Gebiet  
$\iff\;|f(z)|$ konst auf $G\subset\mathbb{C}$.  

$f$ konst $\Rightarrow\;|f(z)|=\text{konst}$, $|f(z)|$ konst auf $G$.  

$\Rightarrow\;|f(z)|^{2}=u^{2}(x,y)+v^{2}(x,y)=\text{konst}$  

$\Rightarrow\;2u\,\partial_{x}u+2v\,\partial_{x}v=0$  

$\phantom{\Rightarrow}\;2u\,\partial_{y}u+2v\,\partial_{y}v=0$  

$\Rightarrow\;2u\,\partial_{x}^{2}u+2(\partial_{x}u)^{2}+2v\,\partial_{x}^{2}v+2(\partial_{x}v)^{2}=0$  

$\phantom{\Rightarrow}\;2u\,\partial_{y}^{2}u+2(\partial_{y}u)^{2}+2v\,\partial_{y}^{2}v+2(\partial_{y}v)^{2}=0$  

$\Rightarrow\;2u\bigl(\partial_{x}^{2}u+\partial_{y}^{2}u\bigr)+2(\partial_{x}u)^{2}+2(\partial_{y}u)^{2}=0$  

$\Rightarrow\;\partial_{x}u=\partial_{y}u=\partial_{x}v=\partial_{y}v=0$  

$\Rightarrow\;f=\text{konst}$  

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**b)** $|f(z)|\le|f(a)|\quad\forall z\in B_{r}(a),\;r>0$  

$f(a)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{\partial B_{r/2}(a)}\dfrac{f(z)}{z-a}\,dz,\qquad\gamma(t)=a+\dfrac{r}{2}e^{it}$  

$=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}f\!\bigl(a+\tfrac{r}{2}e^{it}\bigr)\,\dfrac{r}{2}ie^{it}\,dt$  

$=\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\!\bigl(a+\tfrac{r}{2}e^{it}\bigr)\,dt$  

$\Rightarrow\;|f(a)|=\dfrac{1}{2\pi}\Bigl|\int_{0}^{2\pi}f\!\bigl(a+\tfrac{r}{2}e^{it}\bigr)dt\Bigr|$  

$\le\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\Bigl|f\!\bigl(a+\tfrac{r}{2}e^{it}\bigr)\Bigr|dt\le|f(a)|$  

$\Rightarrow\;|f(a)|=\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(a+\tfrac{r}{2}e^{it})|\,dt$  

$\Rightarrow\int_{0}^{2\pi}\bigl(|f(a)|-|f(a+\tfrac{r}{2}e^{it})|\bigr)\,dt=0$  

$\Rightarrow\;|f(a)|=|f(a+\tfrac{r}{2}e^{it})|\quad\forall t\in[0,2\pi]$  

Analyt:\;$|f(z)|=|f(a+Re^{it})|\quad\forall R<r$  

$\overset{a)}{\Longrightarrow}\;f(z)\;\text{konst auf }B_{r}(a)$  

Schritt.Sch\;$\Longrightarrow\;f(z)$ konst auf $\overline{B_{r}(a)}$.  

Hier zuerst der wort- und zeilengleiche Inhalt aus dem Foto (inklusive der zuvor fehlenden Zeile (c)), nur in Markdown-Inline-Math gesetzt:

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$B22\quad f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ holomorph  

**a)** $f$ konst auf $G\subset\mathbb{C}$ Gebiet  
$\Longleftrightarrow\;|f(z)|$ konst auf $G\subset\mathbb{C}$.  

**b)** $|f(z)|\le|f(a)|\;\forall z\in B_r(a)$ für ein $r>0$  
$\Longrightarrow\;f(z)$ konst auf $\overline{B_r(a)}$.  

**c)** $\displaystyle\max_{z\in\overline G}|f(z)|=\max_{z\in\partial G}|f(z)|,\qquad  
G\subset\mathbb{C}$ beschränktes Gebiet.  

*Beweis a)* $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$,  
$\partial_x^2u+\partial_y^2u=0=\partial_x^2v+\partial_y^2v$.  

$f$ konst $\Rightarrow |f(z)|=\text{konst}$ auf $G$,  
$|f(z)|^2=u^2+v^2=\text{konst}$.  

$2u\,\partial_xu+2v\,\partial_xv=0,\;  
2u\,\partial_yu+2v\,\partial_yv=0$  

$\Rightarrow 2u\,\partial_x^2u+2(\partial_xu)^2+2v\,\partial_x^2v+2(\partial_xv)^2=0$  
$\Rightarrow 2u\,\partial_y^2u+2(\partial_yu)^2+2v\,\partial_y^2v+2(\partial_yv)^2=0$  

$\Rightarrow 2u(\partial_x^2u+\partial_y^2u)+2(\partial_xu)^2+2(\partial_yu)^2  
+2v(\partial_x^2v+\partial_y^2v)+2(\partial_xv)^2+2(\partial_yv)^2=0$  

$\Rightarrow\partial_xu=\partial_yu=\partial_xv=\partial_yv=0  
\Longrightarrow f=\text{konst}$.  

*Beweis b)*  
$f(a)=\dfrac1{2\pi i}\oint_{\partial B_{r/2}(a)}\dfrac{f(z)}{\,z-a\,}\,dz,\quad  
\gamma(t)=a+\tfrac r2e^{it}$  

$=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f\!\bigl(a+\tfrac r2e^{it}\bigr)\,dt$  

$\Rightarrow |f(a)|=\dfrac1{2\pi}\Bigl|\int_0^{2\pi}f\!\bigl(a+\tfrac r2e^{it}\bigr)dt\Bigr|  
\le\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\bigl|f\!\bigl(a+\tfrac r2e^{it}\bigr)\bigr|dt  
\le|f(a)|$  

$\Rightarrow |f(a)|=|f(a+\tfrac r2e^{it})|\;\forall t$  

Analytisch: $|f(z)|=|f(a+Re^{it})|\;\forall R<r$  

$\overset{a)}{\Longrightarrow} f(z)$ konst auf $B_r(a)$  
$\Longrightarrow f(z)$ konst auf $\overline{B_r(a)}$.  

*Beweis c)*  
Wähle $z_0\in\overline G$ mit $|f(z_0)|=\max_{\overline G}|f|$.  
Liegt $z_0$ innen, so existiert $B_r(z_0)\subset G$ mit  
$|f(z)|\le|f(z_0)|$. Nach (b) ist $f$ dort konstant, also überall in $G$.  
Somit tritt das Maximum sonst nur auf $\partial G$ auf oder $f$ ist konstant,  
und die Gleichung ist gezeigt.

Kurze Erläuterung (nicht Teil des obigen „Original-Textes“)

• Zeile (c) ist der Satz vom Maximum des Betrags (Maximum-Modulus-Prinzip) in der Fassung für eine beschränkte, zusammenhängende Menge $G$ mit stetiger Fortsetzung auf $\overline G$.
• Sein Beweis verwendet Teil (b): Er zeigt, dass ein inneres Betragsmaximum $z_0$ zwangsläufig zu Konstanz in einer ganzen Umgebung führt; wegen der Zusammenhangseigenschaft wird $f$ damit auf ganz $G$ konstant. Ist $f$ nicht konstant, muss das Maximum also am Rand $\partial G$ angenommen werden.