On considère un corps de pompe cylindrique, d’axe ...

Question

On considère un corps de pompe cylindrique, d’axe vertical à fond plat et à parois adiabatiques de
section intérieure s = 100 cm2
. Dans ce corps de pompe peut coulisser sans frottement un piston
également adiabatique sur lequel on a posé quelques masses additionnelles. La masse totale de
l’ensemble mobile (piston et masses additionnelles) est M = 50 kg. Le tout est à l’air libre, la pression
atmosphérique extérieure étant P0 = 1 atm.
Au début de l’expérience, un opérateur maintient le piston de telle sorte qu’il limite dans le corps de
ce pompe un espace libre de hauteur h0 = 1 m ; cet espace libre est rempli d’hélium à la température
T0 = 0 °C et à une pression égale à la pression atmosphérique extérieure P0.
L’hélium sera considéré comme un gaz parfait monoatomique.
1)
a. Dans une première expérience, l’opérateur, soutenant constamment le piston, le
laisse descendre très lentement dans le corps de pompe, et l’abandonne enfin lorsqu’il
se trouve à l’équilibre sur la colonne d’hélium. Quelles sont à la fin de l’expérience, la
hauteur de la colonne d’hélium h1 et sa température T1.
W1
P0
Système 1
z1
z2
Figure 1
W2
Système 2
Figure 2
Pôle Universitaire Léonard de Vinci
MESIMS120516
b. Dans une seconde expérience, les conditions initiales étant les mêmes que
précédemment, l’opérateur lâche brusquement le piston qui tombe en comprimant la
colonne d’hélium, subit quelques oscillations et s’immobilise au bout d’un certain
temps. Quelles sont en fin d’expérience, la hauteur d’hélium h’1 et T’1 ?
2) Les mêmes expériences sont reprises après que la partie inférieure du corps de pompe ait été
remplacée par une cloison diatherme (conductrice de la chaleur) qui fait communiquer
thermiquement le corps avec un thermostat de température T’0 = 0 °C.
a. Le piston est très lentement abaissé par l’opérateur jusqu’à ce qu’il soit en équilibre
sur la colonne d’hélium. Calculer la hauteur finale h2 de la colonne d’hélium. Quelle
est la quantité de chaleur Q qui a traversé la cloison diatherme entre le début et la fin
de l’expérience ?
b. Mêmes questions lorsque le piston est lâché brusquement par l’opérateur à la hauteur
h0 ? Préciser l’état final dans ce cas et calculer la quantité de chaleur Q’ qui a traversé
la cloison lorsque l’équilibre total (mécanique et thermique) est établi.

Answer 1

Données numériques

Symbole	Valeur	Unités
$s$	100 cm^2 = 0,010 m^2	surface intérieure
$M$	50 kg	masse piston + charges
$g$	9,81 m s^-^2	gravité
$P_0$	1 atm = 1,013 × 10^5 Pa	pression atmosphérique
$h_0$	1,00 m	hauteur initiale
$T_0$	0 °C = 273,15 K	température initiale
He-monoatomique	$\gamma = c_p/c_v = 5/3$

On pose
$A = \dfrac{Mg}{s}= \dfrac{50 \times 9,81}{0,010}= 4,905\times10^{4}\;\text{Pa}$
$P_1 = P_0 + A = 1,50\times10^{5}\;\text{Pa}$

Le nombre de moles est
$n=\dfrac{P_0\,V_0}{R\,T_0}= \dfrac{P_0\,s\,h_0}{R\,T_0}$ .

1) Parois adiabatiques

a) Compression très lente (quasi-statique, adiabatique réversible)

P_0V_0^\gamma = P_1V_1^\gamma\quad\Longrightarrow\quad V_1 = V_0\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{1/\gamma}

h_1 = \frac{V_1}{s}=h_0\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{1/\gamma} = 1,00\,\text{m}\;\bigl(0,674\bigr)^{0,600}= \boxed{0,789\;\text{m}}

T_1 = T_0\left(\frac{P_1}{P_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} = 273,15\,(1,484)^{0,400}= \boxed{320\;\text{K} \;(\approx 47 °C)}

b) Piston lâché brusquement (adiabatique, irréversible)

On applique l’énergie à l’ensemble « hélium + piston » :

\Delta U + \Delta E_{\text{pot}} = W_{\text{atm}}\;,\qquad W_{\text{atm}} = P_0\,(V_0-V'_1)

avec $U=(3/2)nRT$ et l’état final imposé par l’équilibre mécanique $P_1$ .

En éliminant $T'_1$ on obtient

V'_1 = V_0\,\frac{P_1+1{,}5P_0}{2{,}5P_1}=0,00804\;\text{m^3} \quad\Longrightarrow\quad h'_1 = \boxed{0,804\;\text{m}}

T'_1 = T_0\,\frac{P_1V'_1}{P_0V_0}=273,15\times1,484\times0,804 = \boxed{326\;\text{K} \;(\approx 53 °C)}

Le gaz est plus chaud et un peu moins comprimé que dans la marche lente.

2) Fond diathermique, thermostat à $T_0$

Le gaz reste finalement isotherme à $T_0$ .

a) Compression très lente

P_1V_2 = nRT_0 \Longrightarrow V_2 = V_0\,\frac{P_0}{P_1} \Longrightarrow h_2 = h_0\,\frac{P_0}{P_1} = \boxed{0,674\;\text{m}}

Chaleur échangée (compression réversible isotherme) :

Q = nRT_0\ln\!\left(\frac{V_2}{V_0}\right) = P_0V_0\ln\!\left(\frac{P_0}{P_1}\right) = \boxed{-4,0\times10^{2}\;\text{J}}

( $Q<0$ : 400 J quittent le gaz et entrent dans le thermostat.)

b) Piston lâché brusquement

L’état final est le même que pour 2-a ( $h_2,\;T_0$ ), mais l’énergie mécanique dissipée dans les oscillations apparaît en plus dans le bilan thermique :

\Delta U = 0,\quad \Delta E_{\text{pot}} = M g (h_2-h_0)=-1,60\times10^{2}\,\text{J}

W_{\text{atm}} = P_0(V_0-V_2)= +3,31\times10^{2}\,\text{J}

Q' = \Delta U - W_{\text{atm}} - \Delta E_{\text{pot}} = -4,91\times10^{2}\,\text{J}

\boxed{Q' = -4,9\times10^{2}\;\text{J}}

Environ 490 J de chaleur quittent le gaz – soit 90 J de plus que dans la compression lente – pour évacuer l’énergie cinétique et potentielle dissipée lors des oscillations.

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1) Parois adiabatiques

a) Compression très lente (quasi-statique, adiabatique réversible)

b) Piston lâché brusquement (adiabatique, irréversible)

2) Fond diathermique, thermostat à $T_0$

a) Compression très lente

b) Piston lâché brusquement

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1) Parois adiabatiques

a) Compression très lente (quasi-statique, adiabatique réversible)

b) Piston lâché brusquement (adiabatique, irréversible)

2) Fond diathermique, thermostat à T0T_0T0​

a) Compression très lente

b) Piston lâché brusquement

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2) Fond diathermique, thermostat à $T_0$