已知线性映射 A(V)，证明 Ker(A) 和 Im(A) 都是 V 的自空间

下面给出详细的证明思路。设 $A: V \to V$ 是一个线性映射，这里 $V$ 是一个向量空间（一般默认在同一个域上）。我们需要证明以下两个命题：

1. $\ker(A)$ 是 $V$ 的子空间；
2. $\mathrm{Im}(A)$ 是 $V$ 的子空间。

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1. $\ker(A)$ 是 $V$ 的子空间

定义：

$$\ker(A) = \{\,v \in V \mid A(v) = 0 \}.$$

要证明 $\ker(A)$ 是 $V$ 的子空间，只需验证下面三条性质（子空间判定准则）：

1. $\mathbf{0} \in \ker(A)$；
2. 若 $u, v \in \ker(A)$，则 $u + v \in \ker(A)$；
3. 若 $v \in \ker(A)$ 且 $\alpha$ 是所在域中的一个标量，则 $\alpha v \in \ker(A)$。

下面一一验证：

1. 零向量在核中
   由线性映射的性质可知，$A(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$。因此 $\mathbf{0} \in \ker(A)$。

2. 对加法封闭
   若 $u, v \in \ker(A)$，即 $A(u) = \mathbf{0}$ 且 $A(v) = \mathbf{0}$。因为 $A$ 是线性映射，

   $$A(u + v) = A(u) + A(v) = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}.$$

   所以 $u + v \in \ker(A)$。

3. 对数乘封闭
   若 $v \in \ker(A)$，即 $A(v) = \mathbf{0}$，且 $\alpha$ 是一个标量，则

   $$A(\alpha v) = \alpha A(v) = \alpha \,\mathbf{0} = \mathbf{0}.$$

   因此 $\alpha v \in \ker(A)$。

由于满足了子空间判定准则，故 $\ker(A)$ 是 $V$ 的子空间。

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2. $\mathrm{Im}(A)$ 是 $V$ 的子空间

定义：

$$\mathrm{Im}(A) = \{\,A(v) \mid v \in V\}.$$

要证明 $\mathrm{Im}(A)$ 是 $V$ 的子空间，同样需要验证：

1. $\mathbf{0} \in \mathrm{Im}(A)$；
2. 若 $w_1, w_2 \in \mathrm{Im}(A)$，则 $w_1 + w_2 \in \mathrm{Im}(A)$；
3. 若 $w \in \mathrm{Im}(A)$ 且 $\alpha$ 是一个标量，则 $\alpha w \in \mathrm{Im}(A)$。

具体如下：

1. 零向量在像中
   因为 $A(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$，所以 $\mathbf{0}$ 可写为 $A(\mathbf{0})$，由此可知 $\mathbf{0} \in \mathrm{Im}(A)$。

2. 对加法封闭
   若 $w_1, w_2 \in \mathrm{Im}(A)$，则存在 $v_1, v_2 \in V$ 使得 $w_1 = A(v_1), w_2 = A(v_2)$。由于 $A$ 是线性映射，

   $$w_1 + w_2 = A(v_1) + A(v_2) = A(v_1 + v_2).$$

   而 $v_1 + v_2 \in V$，因此 $w_1 + w_2 = A(v_1 + v_2) \in \mathrm{Im}(A)$。

3. 对数乘封闭
   若 $w \in \mathrm{Im}(A)$，则存在 $v \in V$ 使得 $w = A(v)$。对于任意标量 $\alpha$，

   $$\alpha w = \alpha A(v) = A(\alpha v).$$

   因为 $\alpha v \in V$，所以 $\alpha w = A(\alpha v) \in \mathrm{Im}(A)$。

综上所述，$\mathrm{Im}(A)$ 也满足子空间判定准则，因此 $\mathrm{Im}(A)$ 是 $V$ 的子空间。

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结论：

$$\ker(A) \quad\text{和}\quad \mathrm{Im}(A) \quad\text{都是}\; V \;\text{的子空间。}$$

在线性代数中，若一个向量空间 $V$ 不存在有限个基向量可以生成整个空间，就称它为无限维向量空间。换句话说，若 $V$ 的基底（basis）的元素个数是无限的，那么 $V$ 就是一个无限维向量空间。下面列举一些常见的无限维向量空间示例。

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1. 多项式空间

• 例子：$\mathbb{R}[x]$ 表示所有实系数多项式构成的集合。
• 基底：可以取 $\{1, x, x^2, x^3, \dots\}$ 作为一组基底（可数无限组）。
• 维度：可数无限维。

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2. 函数空间

• 例子 1：$\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$，所有从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数构成的空间。它的维度不仅是无限的，而且通常是不可数的。
• 例子 2：$\mathcal{C}([0,1])$，所有在区间 $[0,1]$ 上的连续实值函数所构成的空间，它也是一个无限维向量空间（一般在函数分析中常见）。

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3. 序列空间

• 例子：$\ell^\infty(\mathbb{R})$ 表示所有实数列 $(a_1,a_2,a_3,\dots)$ 且它们的绝对值有上界的集合（带范数 $\|(a_n)\|_\infty = \sup |a_n|$）。
• 更常见的序列空间：$\ell^p(\mathbb{R})$（$1 \le p < \infty$），表示满足 $\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p < \infty$ 的所有实数列集合，是一个无限维Banach空间。
• 无穷维性原因：即使只考虑标准基 $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots), \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots)$ 等，也能看出需要无限多个基向量才能生成所有序列。

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4. 各类函数分析中的典型空间

1. $L^p$ 空间：

   • $L^p(\Omega)$ 表示可测空间 $\Omega$ 上所有 $p$-次可积函数的等价类构成的空间，$1 \le p < \infty$。
   • 当 $\Omega$ 具有非零测度时，$L^p(\Omega)$ 都是无限维的。

2. $H^n(\Omega)$（Sobolev空间）：

   • 包含满足一定光滑度和可积条件的函数，依然是典型的无限维空间。

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5. 任意集合的函数空间

• 一般地，只要取一个非空集合 $X$（可以是无限集），考虑所有从 $X$ 到某个域 $\mathbb{F}$（典型如 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）的函数集合 $\mathcal{F}(X, \mathbb{F})$，就能构成一个向量空间（函数加法和数乘逐点定义）。
• 当 $X$ 是无限集时，$\mathcal{F}(X, \mathbb{F})$ 的维度也必然是无限的，而且通常比可数还要大（比如当 $X$ 是实数集时，其基底基数通常是不可数的）。

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总结

无限维向量空间只要无法通过有限个基向量生成该空间，就算无限维。例如：

• 多项式空间 $\mathbb{R}[x]$（可数维）。
• 所有从实数到实数的函数空间（不可数维）。
• 序列空间 $\ell^p(\mathbb{R})$、$\ell^\infty(\mathbb{R})$ 等（可数维基都不够，需要无限多）。
• 各种函数分析空间 如 $L^p(\Omega)$、$H^n(\Omega)$ 等。

在具体研究和应用时，常会考虑这些空间上的拓扑结构、范数、内积等，使得它们不只是线性空间，还带有更丰富的分析性质。