logoChat01.ai

求证 \dim\ker(\varphi) + \dim\im(\varphi) = \dim V

创建于：2025年4月13日

使用 O1 回答 Chat01

问题

求证 \dim\ker(\varphi) + \dim\im(\varphi) = \dim V

思考

Building upon the basis

I’m working through the rank-nullity theorem by starting with a basis for the kernel of the linear transformation, extending to a basis of the domain, and examining the image of these basis vectors in the codomain.

Reasoned about the rank-nullity theorem for a few seconds

回答

下面给出一个常见的证明思路（即“秩-零度定理”的标准证明）：

定理内容
设 VV 和 WW 是域 F\mathbb{F} 上的向量空间，φ:V→W\varphi: V \to W 是一个线性映射。
那么有

dim⁡(ker⁡(φ))+dim⁡(\im(φ))  =  dim⁡(V).\dim(\ker(\varphi)) + \dim(\im(\varphi)) \;=\; \dim(V).

这一定理有时也被称为「秩-零度定理」(Rank-Nullity Theorem) 。

证明思路

  1. 取 φ\varphi 的核空间基：
    令

    ker⁡(φ)  =  { v∈V:φ(v)=0}.\ker(\varphi) \;=\; \{\,v \in V : \varphi(v)=0 \}.

    设

    { v1,  v2,  …,  vr}\{\,v_1,\;v_2,\;\dots,\;v_r\}

    是 ker⁡(φ)\ker(\varphi) 的一组基向量。于是

    dim⁡(ker⁡(φ))  =  r.\dim(\ker(\varphi)) \;=\; r.

  2. 基的扩充：
    由于 {v1,…,vr}\{v_1,\dots,v_r\} 可以在 VV 中扩充成一组基，故我们可以找到一些向量

    vr+1,vr+2,…,vn(若无必要，可记 n=dim⁡(V))v_{r+1}, v_{r+2}, \dots, v_n \quad(\text{若无必要，可记 } n = \dim(V))

    使得

    { v1,  v2,  …,  vr,  vr+1,  …,  vn}\{\,v_1,\;v_2,\;\dots,\;v_r,\;v_{r+1},\;\dots,\;v_n\}

    构成 VV 的一组基。因此有

    dim⁡(V)  =  n.\dim(V) \;=\; n.

  3. 观察映射后所得向量：
    考虑上述基向量在 φ\varphi 下的像：

    φ(v1),  φ(v2),  …,  φ(vn).\varphi(v_1),\;\varphi(v_2),\;\dots,\;\varphi(v_n).

    由于 v1,…,vr∈ker⁡(φ)v_1,\dots,v_r \in \ker(\varphi)，故

    φ(v1)  =  …  =  φ(vr)  =  0.\varphi(v_1) \;=\;\dots\;=\; \varphi(v_r) \;=\; 0.

    那么我们关心的是

    φ(vr+1),  …,  φ(vn).\varphi(v_{r+1}),\;\dots,\;\varphi(v_n).

  4. 这组向量张成 \im(φ)\im(\varphi)：
    对任意 x∈Vx \in V，由于 {v1,…,vn}\{v_1, \dots, v_n\} 是 VV 的基，所以必可写作

    x  =  a1 v1+⋯+an vn,x \;=\; a_1\,v_1 + \dots + a_n\,v_n,

    则

    φ(x)  =  a1φ(v1)+⋯+anφ(vn).\varphi(x) \;=\; a_1 \varphi(v_1) + \dots + a_n \varphi(v_n).

    但是 φ(v1)=⋯=φ(vr)=0\varphi(v_1)=\dots=\varphi(v_r)=0，所以

    φ(x)  =  ar+1 φ(vr+1)+⋯+an φ(vn).\varphi(x) \;=\; a_{r+1}\,\varphi(v_{r+1}) + \dots + a_n\,\varphi(v_n).

    这说明 φ(vr+1),…,φ(vn)\varphi(v_{r+1}), \dots, \varphi(v_n) 张成了 \im(φ)\im(\varphi)。

  5. 向量组的线性无关性：
    接下来要说明 φ(vr+1),…,φ(vn)\varphi(v_{r+1}), \dots, \varphi(v_n) 也是线性无关的。假设有关系式

    αr+1 φ(vr+1)+⋯+αn φ(vn)  =  0,\alpha_{r+1}\,\varphi(v_{r+1}) + \dots + \alpha_{n}\,\varphi(v_n) \;=\; 0,

    则可写作

    φ(αr+1vr+1+⋯+αnvn)  =  0.\varphi\bigl(\alpha_{r+1}v_{r+1} + \dots + \alpha_n v_n\bigr) \;=\; 0.

    这说明

    αr+1vr+1+⋯+αnvn  ∈  ker⁡(φ).\alpha_{r+1}v_{r+1} + \dots + \alpha_n v_n \;\in\; \ker(\varphi).

    但 ker⁡(φ)\ker(\varphi) 是由 v1,…,vrv_1,\dots,v_r 张成的，而 v1,…,vnv_1,\dots,v_n 又是一组基，因此“核内的线性组合只有前 rr 个基向量才会非零”。若

    αr+1vr+1+⋯+αnvn\alpha_{r+1}v_{r+1} + \dots + \alpha_n v_n

    落在核内，就意味着它可以表示成

    b1v1+⋯+brvr.b_1 v_1 + \dots + b_r v_r.

    但这在基 {v1,…,vn}\{v_1,\dots,v_n\} 的独立性下只有所有系数都为 0 才能成立。因此

    αr+1=⋯=αn=0.\alpha_{r+1} = \dots = \alpha_n = 0.

    说明 {φ(vr+1),…,φ(vn)}\{\varphi(v_{r+1}), \dots, \varphi(v_n)\} 确为线性无关。

  6. 结论：
    上述分析表明

    {φ(vr+1),…,φ(vn)}\{\varphi(v_{r+1}), \dots, \varphi(v_n)\}

    是 \im(φ)\im(\varphi) 的一组基，从而

    dim⁡(\im(φ))  =  n−r.\dim(\im(\varphi)) \;=\; n - r.

    再结合

    dim⁡(ker⁡(φ))  =  r,dim⁡(V)  =  n,\dim(\ker(\varphi)) \;=\; r, \quad \dim(V) \;=\; n,

    我们就得到

    dim⁡(ker⁡(φ))+dim⁡(\im(φ))  =  r+(n−r)  =  n  =  dim⁡(V).\dim(\ker(\varphi)) + \dim(\im(\varphi)) \;=\; r + (n - r) \;=\; n \;=\; \dim(V).

    这就证明了定理。

因此，dim⁡(ker⁡(φ))+dim⁡(\im(φ))=dim⁡(V)\dim(\ker(\varphi)) + \dim(\im(\varphi)) = \dim(V) 得证。该定理在很多场合（如求解线性方程组、理解线性映射的结构等）都具有根本性的作用。

分享这个问答