（a/b）mod p等不等于（a mod p）乘（b mod p）的逆元

创建于：2025年4月12日

问题

思考

Explaining modular arithmetic

The user is asking if (a/b) mod p equals (a mod p) multiplied by the modular inverse of (b mod p).

To break it down, modular arithmetic involves working with remainders, and the division of integers in modular arithmetic isn't straightforward. In this case, (a/b) mod p is typically understood as multiplying a by the modular inverse of b mod p. So yes, (a/b) mod p is indeed equal to (a mod p) times the modular inverse of (b mod p).

Clarifying modular division

In modular arithmetic, division isn't a direct operation; it's defined as multiplication by the modular inverse. So, (a/b) mod p is actually (a * b^{-1}) mod p, but this only works when b and p are coprime (gcd(b, p) = 1). If b is not invertible mod p (like when p divides b), there is no inverse, and division doesn’t work. But when b is invertible, (a/b) mod p equals (a mod p) * (b mod p)^{-1} mod p. This follows group theory properties of Z_p*.

Reasoned about modular arithmetic properties for 20 seconds

回答

在模 $p$ 的算术中（特别是当 $p$ 是素数时），只要保证 $b$ 与 $p$ 互质（即 $b \not\equiv 0 \mod p$ ），我们才可以为 $b$ 求模逆元。此时，模除法被定义为乘以逆元，所以

\left(\frac{a}{b}\right) \mod p \equiv (a \mod p) \times \left((b \mod p)^{-1}\right) \mod p.

也就是说，当 $b$ 在模 $p$ 意义下是可逆的（即存在一个整数 $x$ 使得 $b \cdot x \equiv 1 \mod p$ ）时， $\frac{a}{b}$ 的模 $p$ 结果必然等于 $a$ 的模 $p$ 乘以 $b$ 的模 $p$ 的逆元。

详细说明

定义模逆元
对于一个整数 $b$ 来说，如果存在整数 $x$ 使得
$b \times x \equiv 1 \mod p,$
那么我们称 $x$ 是 $b$ 的模 $p$ 的逆元，记作 $b^{-1}$ 。只有当 $\gcd(b, p) = 1$ 时， $b$ 才有逆元。
模除法的定义
在模 $p$ 下，我们将除法 $\frac{a}{b}$ 定义为
$\frac{a}{b} \equiv a \times b^{-1} \mod p.$
这一定义确保了当 $b$ 的模 $p$ 的逆元存在时，模除法与乘法的性质相容。
等式成立的条件
因此，只要 $b \not\equiv 0 \mod p$ （即 $b$ 与 $p$ 互质），就有
$\left(\frac{a}{b}\right) \mod p = (a \mod p) \times \left((b \mod p)^{-1}\right) \mod p.$
如果 $b \equiv 0 \mod p$ 则 $b$ 没有逆元，此时分式 $\frac{a}{b}$ 在模 $p$ 意义下是没有定义的。

举例说明

假设 $a = 8$ ， $b = 3$ ，且 $p = 7$ ：

计算 $a \mod 7 = 8 \mod 7 = 1$ 。
计算 $b \mod 7 = 3 \mod 7 = 3$ 。
求 $3$ $3$ 在模 $7$ $7$ 下的逆元，即找 $x$ $x$ 满足 $3x \equiv 1 \mod 7$ $3 x \equiv 1 mod 7$ ：
- 可验证 $x = 5$ 因为 $3 \times 5 = 15 \equiv 1 \mod 7$ 。
根据定义， $\left(\frac{8}{3}\right) \mod 7 = 1 \times 5 \mod 7 = 5.$

因此，在这个例子中成立。

结论

回答你的问题：在模 $p$ 运算中，只要 $b$ 的逆元存在，即 $b \not\equiv 0 \mod p$ ，就有

\left(\frac{a}{b}\right) \mod p = (a \mod p) \times \left((b \mod p)^{-1}\right) \mod p.

这就是模除法在模 $p$ 下的标准定义和性质。

问题

如果没有最后的那个mod p可以吗

思考

Considering modular arithmetic

The user is asking if the final "mod p" is necessary in the expression $(a/b) \text{ mod p} = (a \text{ mod p}) \times ((b \text{ mod p})^{-1}) \text{ mod p}$ . The question seems to suggest: Can we remove the final "mod p" and still have the equality hold?

Hmm... In modular arithmetic, the "mod p" on both sides ensures the result stays within the modular system. Without it, I'd say the equality probably wouldn't hold, as it serves to keep everything consistent.

Clarifying modular arithmetic

In modular arithmetic, operations are done modulo p to ensure results fall within the desired range. If we omit the final "mod p" from the expression $(a/b) \mod p = (a \mod p) \times ((b \mod p)^{-1}) \mod p$ , the result could be a larger number that isn’t in the [0, p-1] range. Essentially, you need to apply "mod p" at the end to ensure the result is the canonical representative. Without it, the product may not reduce appropriately. So, you can't usually omit the last "mod p."

Reasoned for 23 seconds

回答

在模运算中，每个数都只“活跃”在它所属的同余类中，所以从“同余”的角度讲，

(a \mod p) \times ((b \mod p)^{-1})

和

\left((a \mod p) \times ((b \mod p)^{-1})\right) \mod p

在模 $p$ 意义下是同一个同余类的不同表示。也就是说，如果我们只是关心两个数是否模 $p$ 同余，那么去掉最后的 “ $\mod p$ ” 仍然是正确的。

不过，在实际计算或应用中有以下几点需要注意：

唯一表示的问题
通常我们希望将模 $p$ 的结果写成介于 $0$ 到 $p-1$ 的唯一代表。如果不进行最后一次取模操作，乘积的值可能会超出这个区间。例如，若 $p = 7$ ， $a \mod 7 = 4$ ， $(b \mod 7)^{-1} = 5$ ，那么 $4 \times 5 = 20$ ，而 $20$ 和 $20 \mod 7 = 6$ 在模 $7$ 下是同余的，但唯一标准结果通常写作 6。
运算一致性
在模算术中，我们习惯性地对每一步运算都取模以确保数值在预期范围内。虽然数学上可以说这两者代表相同的同余类，但是在程序实现或书写形式上，为了明确表达“结果在模 $p$ 的意义下”，通常最后会加上 $\mod p$ 操作。
总结
- 如果你只讨论“同余”，不需要关心数值的具体代表形式，那么可以省略最后的 $\mod p$ ，因为你已经得到了一个属于正确同余类的数。
- 如果需要唯一的、规范的表示（比如 $0$ 到 $p-1$ 之间的数），则最后还是需要取一次模。

因此，严格来说，在模 $p$ 的意义下，两种写法在数学上是等价的，但为了得到唯一的表示结果，通常我们还是保留最后的 $\mod p$ 操作。

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