运动学约束有哪些

在机械系统或机器人学中，“运动学约束”(Kinematic Constraints)通常是指对系统（或机构）在运动时所施加的几何或速度层面的限制，决定了系统在某些方向上的运动自由度是否受限。根据不同的分类方法，可将运动学约束区分为以下几大类：

1. 按约束方程可积性（能否用广义坐标直接表示）进行分类
   • 霍洛诺米约束 (Holonomic Constraints)
   这类约束可以用系统广义坐标(q_1, q_2, …, qₙ)和可能的显式时间t的代数方程来表示，通常形式为:
   f(q_1, q_2, …, qₙ, t) = 0
   若不存在显式时间依赖，则称为独立于时间的霍洛诺米约束；若方程中含有时间，则称为与时间相关的霍洛诺米约束。
   典型示例: 铰链关节的长度恒定（如连杆长度固定）、机器人臂上关节之间的几何关系等。

   • 非霍洛诺米约束 (Nonholonomic Constraints)
   这类约束通常只能在速度层面或微分层面表示，约束方程往往是以系统的广义速度(及时间)为变量，常见的形式为:
   a_1(q, t)q̇_1 + a_2(q, t)q̇_2 + … + aₙ(q, t)q̇ₙ + a_0(q, t) = 0
   由于这些约束无法通过积分将其转化为只包含广义坐标的代数方程，因此称为非霍洛诺米约束。
   典型示例: 小车无侧滑约束（只能前后滚动、不能直接侧向滑动）；轮式机器人由于滚动-不滑动等带来的速度约束。

2. 按约束是否随时间显式变化进行分类
   • 刚性约束 (Scleronomic Constraints)
   约束方程中不显式依赖时间:
   f(q_1, …, qₙ) = 0
   例如，一根长度固定的连杆、不可伸缩的链条、固定在地面上的铰接等几何约束。

   • 随时间变化的约束 (Rheonomic Constraints)
   约束方程中显式依赖时间:
   f(q_1, …, qₙ, t) = 0
   例如，随时间改变位置的支撑点、多杆机构中某些点进行周期性运动导致连带的运动学约束等。

3. 按约束等式或不等式形式进行分类
   • 双边约束 (Bilateral Constraints)
   通常用等式表示:
   f(q, t) = 0
   表示系统运动始终必须满足的确定性关系。
   • 单边约束 (Unilateral Constraints)
   通常用不等式表示:
   g(q, t) ≥ 0
   表示系统运动在特定区域内受到限制，但不一定始终“贴合”某一条件，比如接触-分离情况、机械碰撞、障碍物约束等。

4. 从实际应用角度的其他分类
   • 几何约束 (Geometric Constraints)
   主要由机构几何结构（长度、角度等）决定的约束。
   • 速度/运动学约束 (Velocity/Kinematic Constraints)
   由机构瞬时运动或速度关系决定，通常体现为非霍洛诺米约束。
   • 更高层次的动力学约束 (Dynamic Constraints)
   虽然在狭义上不属于“运动学约束”，但在实际分析中通常也会考虑，如力矩、惯性、摩擦等对系统运动的限制。

总的来说，运动学约束从根本上限制了系统可实现的运动自由度，并且往往可以通过广义坐标和速度的约束方程来描述。根据是否可积、是否随时间变化以及是否以等式或不等式形式出现，可以进一步对这些约束进行细分。在分析具体机械或机器人系统时，需要结合实际的机构几何结构、关节类型及可能的速度/加速度约束，才能准确表征系统的运动能力与限制。

在机械设计、机器人学或几何建模等领域，当讨论“在交点的约束”时，通常是指：

1. 多个构件(或几何对象)在同一点“相交”或“重合”所形成的几何约束；
2. 该交点可能作为一个机制关节，或者在几何模型中被指定为“已知重合点/交点”。

根据具体的应用场景，此类“交点约束”大体可分为以下几种情形：

1. 在几何建模/计算机辅助设计(CAD)中的“交点约束”
   • 常称为“重合约束” (Coincident Constraint)。
   • 其含义是：若有两条线、线与圆、圆与圆等元素，需要它们在某一点精确地相交或重合，则在CAD软件中可施加“重合”或“交点”约束。
   • 数学上，往往将这个约束表示为：该点在不同几何对象的参数方程中应满足同一组坐标(x, y, z)，从而形成关联方程，例如：
   X_1(u) = X_2(v)
   Y_1(u) = Y_2(v)
   (甚至Z_1(u) = Z_2(v)，若在三维空间)
   这类约束通常是可积的、可显式用坐标关系来描述，因此在广义坐标体系里属于霍洛诺米约束的一种。

2. 在机械/机器人连杆机构中的“交点”或“铰接”
   • 常见情形是两根(或多根)连杆在相交处通过铰链(关节)连接：
   – 若是“转动副”(Revolute Joint)，则要求所有相连连杆在此交点的坐标相同，但允许其相对围绕该点转动；
   – 若是“滑动副”(Prismatic Joint)，则除了交点的坐标相同以外，还需在某一滑动方向上允许自由度。
   • 从数学上可用“一点重合”的几何关系来表达，即各连杆的端点坐标必须相等：
   (xᵢ(q), yᵢ(q)) = (xⱼ(q), yⱼ(q))
   其中 xᵢ(q)、yᵢ(q) 表示连杆 i 端点在广义坐标 q 下的坐标；同理，xⱼ(q)、yⱼ(q) 表示连杆 j 端点的坐标。
   • 这类约束通常也属于霍洛诺米约束，因为它们可以直接写成 f(q) = 0 的形式(例如 xᵢ(q) – xⱼ(q) = 0, yᵢ(q) – yⱼ(q) = 0)。

3. 在约束交点处的运动自由度
   • 当多个构件(或方程)在同一点相交时，系统的运动自由度往往会减少。具体减少多少，取决于：
   – 该交点是否只能固定位置(刚性连接)；
   – 该交点是否允许相对转动(转动副)；
   – 该交点是否允许相对滑动(滑动副)；
   – 以及是否还叠加了其他几何/速度/加速度等约束。
   • 若在交点没有任何相对运动的自由(即刚性地把两构件“焊死”或“粘在一起”)，那么系统在此处的所有坐标都要强制相等，称为无限制(不可动)的刚性接触；若还允许一个或多个相对运动方向，则对应相应的关节类型。

4. 可能的时变或非霍洛诺米因素
   • 如果交点本身随时间移动(例如一个在轨迹上运动的接触点)，则需要考虑时变的坐标约束；
   • 如果在该交点上还存在“不滑动”或“滚动”之类的速度约束(如车轮与地面的滚动接触点)，则可能引入非霍洛诺米约束(只能在速度层面表征，难以直接积分到坐标层面)。

综上所述，“在交点的约束”通常是指所有涉及到交点的构件(或几何元素)在该点处必须满足坐标重合、速度或接触关系等一系列限制。就机械或几何系统而言，它往往体现为：
• 几何上：该点坐标须一致(或满足特定的函数关系)；
• 运动学上：决定了该点是否允许转动、滑动，或完全固定；
• 数学上：可将它写成霍洛诺米约束(坐标方程)或非霍洛诺米约束(速度方程)，具体依赖于该交点所拥有的运动方式和实际物理条件。