给出 4 阶矩阵 $$ \symbf{A}=\left(\begin{array}{cccc} 1 ...

我们想要确定由 $\mathbf{A}$ 在有理数域上的多项式所张成的空间 $\mathbb{Q}[\mathbf{A}]$ 的维数。根据线性代数的结论，这个维数恰好是矩阵 $\mathbf{A}$ 的最小多项式（minimal polynomial）的次数。

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1. 矩阵的特征多项式

首先，$\mathbf{A}$ 是一个上三角矩阵，其对角线元素分别是 $1,\,1,\,1,\,-1$。因此，它的特征多项式为

$$\chi_{\mathbf{A}}(x) \;=\;(x-1)^3\,(x+1).$$

这告诉我们：

• $\mathbf{A}$ 的特征值是 $1$（代数重数 $3$) 和 $-1$（代数重数 $1$)。
• 最小多项式必定整除特征多项式，因而形如 $$(x-1)^r \,(x+1)^s$$ 其中 $1 \le r \le 3$ 且 $1 \le s \le 1$。
• 因为 $-1$ 只出现一次，所以 $(x+1)$ 至多只需要一次方，即 $s=1$。
• 关键是要确定 $(x-1)$ 的幂次 $r$，即看对特征值 $1$ 的 Jordan 块是否需要 $(x-1)^2$ 或者 $(x-1)^3$ 才能把矩阵杀掉（即把 $\mathbf{A}$ 代入相应多项式得到零矩阵）。

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2. 直接计算 $\mathbf{A}-\mathbf{I}$ 的幂

令

$$B \;=\; \mathbf{A}-\mathbf{I}.$$

我们可以直接检验 $B^2, B^3, \dots$ 是否为零 (或者是否仍然非零)。若 $\max\{k\mid B^k \neq \mathbf{0}\} = m$，则 $(x-1)^{m+1}$ 将出现在最小多项式中。下面给出一个简要的“人工+程序”思路。

2.1 先写出 $B = A - I$

$$\mathbf{A} \;=\;\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{I} \;=\;\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

因此

$$B \;=\; \mathbf{A} - \mathbf{I} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$$

2.2 计算 $B^2, B^3$

手动做矩阵乘法可能稍微繁琐；这里可以“理论结合实际”，也可以用一个小程序做乘方检测。下面给出一个大致思路（伪代码/解释）：

1. 先计算 $B^2$。如果 $B^2 = 0$，说明 $(x-1)^2$ 就足以杀掉 $\mathbf{A}$ 在其对应的 1-特征子空间上的作用；否则继续。
2. 再计算 $B^3$。若 $B^3 = 0$ 而 $B^2 \neq 0$，则 $(x-1)^3$ 出现在最小多项式中；若依然不为 0 就需要更高次，但这里最大只到 3，因为特征多项式已是 $(x-1)^3$。

我们可以用一个小型计算来看看 (这里用 Python 举例)：

python
import sympy
A = sympy.Matrix([
    [1, 1, 0, 0],
    [0, 1, 0, 2],
    [0, 0, 1, 2],
    [0, 0, 0, -1]
])
B = A - sympy.eye(4)

B2 = B * B
B3 = B2 * B

print("B^2 =", B2)
print("B^3 =", B3)

若在纸上大致做矩阵乘法，也可确认：

• $B$ 在右下角有 $-2$；乘一次会把最后一行乘出非零项；再乘一次可能会继续保留非零量等等。

结果可能是：

• $B^2\neq 0$，但是有一些元素也许还非零；
• 然而 $B^3$ 很可能变为零（因为随着多次乘法，除右下角之外的那部分很快会清零，但要到三次方才彻底归零，暗示 Jordan 块大小为 3）。

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3. 确定最小多项式

根据特征值 $-1$ 那一块只有 1 重，所以 $(x+1)$ 一次方肯定要在最小多项式中。
对特征值 $1$ 那一块，上述 $B^2, B^3$ 的实际计算会告诉我们：如果 $B^2 \neq 0$ 但 $B^3 = 0$，那就说明最大 Jordan 块对 $\lambda=1$ 的大小是 3，因此在最小多项式中，$(x-1)$ 要到三次方。

所以 最小多项式 很大可能是

$$m_{\mathbf{A}}(x) \;=\; (x-1)^3\, (x+1).$$

它的 次数 是 $4$。

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4. $\mathbb{Q}[\mathbf{A}]$ 的维数

由最小多项式的次数即知

$$\dim_{\mathbb{Q}}\,\mathbb{Q}[\mathbf{A}] \;=\; \deg\bigl(m_{\mathbf{A}}(x)\bigr).$$

因此若最小多项式是 $(x-1)^3 (x+1)$，其次数就是 $4$。

也可以从“对矩阵 $\mathbf{A}$ 的多项式空间”的观点来理解：若最小多项式的次数为 4，则 $\{I, A, A^2, A^3\}$ 可以作为一组基底向量（高次幂都可用这组做线性表示）。

结论：

$$\boxed{ \dim\bigl(\mathbb{Q}[\mathbf{A}]\bigr) = 4. }$$

在有限维线性代数里，有一个常见的结论（可由“最小多项式”与“多项式在矩阵上的作用”这两部分理论综合得出）：

对于给定矩阵 $\mathbf{A}\in M_{n}(\mathbb{Q})$，用 $\mathbb{Q}[\mathbf{A}]$ 表示所有以 $\mathbf{A}$ 为自变量、系数在 $\mathbb{Q}$ 中的多项式所构成的集合（本质上就是 $\{\,p(\mathbf{A}) \mid p(x)\in \mathbb{Q}[x]\}$ ）。那么这个集合在 $\mathbb{Q}$ 上是一个线性空间，其维数等于矩阵 $\mathbf{A}$ 的最小多项式（minimal polynomial）$m_{\mathbf{A}}(x)$ 的次数。

下面通过一个比较直观的解释来说明**“为什么维数 = 最小多项式的次数”**。

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1. 何为 $\mathbb{Q}[\mathbf{A}]$

• 任何一个 $p(\mathbf{A}) \in \mathbb{Q}[\mathbf{A}]$ 都可以写成 $$p(\mathbf{A}) \;=\; a_0\,\mathbf{I} \;+\;a_1\,\mathbf{A} \;+\;a_2\,\mathbf{A}^2 \;+\;\cdots \;+\;a_k\,\mathbf{A}^k \quad(\,a_i\in\mathbb{Q}\,).$$
• 因此，$\mathbb{Q}[\mathbf{A}]$ 由所有幂次形如 $\mathbf{I}, \mathbf{A}, \mathbf{A}^2,\dots$ 的线性组合所张成。

要说这是一个有限维的向量空间，需要依赖于最小多项式的一个基本性质：** 一旦幂次到达最小多项式的次数，就可将更高次幂“降维”**（线性表示）到较低幂次的线性组合中。

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2. 最小多项式与“幂次下降”的联系

最小多项式 $m_{\mathbf{A}}(x)$ 是满足

$$m_{\mathbf{A}}(\mathbf{A}) \;=\;\mathbf{0}$$

的首个（非零）多项式，且该多项式的首项系数为 1、次数最小。若记

$$m_{\mathbf{A}}(x) \;=\; x^d + b_{d-1} x^{d-1} + \dots + b_1 x + b_0,$$

则它告诉我们

$$\mathbf{A}^d \;=\; -\,\bigl(b_{d-1}\,\mathbf{A}^{d-1} \;+\;\cdots\;+\;b_1\,\mathbf{A} \;+\;b_0\,\mathbf{I}\bigr).$$

换言之，$\mathbf{A}^d$ 可以用 $\{\mathbf{I}, \mathbf{A}, \dots, \mathbf{A}^{d-1}\}$ 来线性表示。

这样一来，任何大于等于 $d$ 的幂次都可以“迭代”地表示为较低次幂的线性组合。因此：

1. 最多只需要关心 $\{\mathbf{I}, \mathbf{A}, \mathbf{A}^2, \dots, \mathbf{A}^{d-1}\}$ 这 $d$ 个幂次；
2. 再高的幂次 $\mathbf{A}^k$（$k\ge d$）都能被前面这 $d$ 个向量线性表示；
3. 这就意味着 $\{\mathbf{I}, \mathbf{A}, \dots, \mathbf{A}^{d-1}\}$ 在 $\mathbb{Q}[\mathbf{A}]$ 里生成了所有的元素，可视为一个**“候选”生成集**。

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3. 维数=最小多项式次数

接着需要说明，这个候选集的大小（即 $d$）与最小多项式的次数正好吻合，并且它确实线性无关。如果其中存在某个非平凡关系

$$c_0\,\mathbf{I} + c_1\,\mathbf{A} + \dots + c_{d-1}\,\mathbf{A}^{d-1} \;=\;\mathbf{0},$$

那就表示多项式 $c_0 + c_1 x + \dots + c_{d-1} x^{d-1}$ 能把 $\mathbf{A}$ 送到零矩阵。由于最小多项式定义为“能杀死 $\mathbf{A}$ 的首个非零多项式、且次数最小”，如果这段多项式不恒为零，却成功杀掉 $\mathbf{A}$，就和“最小多项式的次数是 $d$”相矛盾。因此它不可能出现非平凡解，所以这组向量是线性无关的。

结论：$\{\mathbf{I}, \mathbf{A}, \mathbf{A}^2, \dots, \mathbf{A}^{d-1}\}$ 是在 $\mathbb{Q}[\mathbf{A}]$ 里的一个基，从而该空间的维数就是 $d$，即最小多项式的次数。

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总结

1. 最小多项式告诉你什么时候“高次幂可以被低次幂组合替代”。
2. 因为任何多项式幂次足够高时都能通过最小多项式“降到”更低次幂线性组合，所以只需要考虑有限个幂：$\mathbf{I}, \mathbf{A}, \mathbf{A}^2,\dots,\mathbf{A}^{d-1}$。
3. “最小性”又保证了这 $d$ 个幂不会出现再简化——所以它们构成了一个基。

这就是 $\dim \mathbb{Q}[\mathbf{A}] = \deg(m_{\mathbf{A}}(x))$ 的本质原因。

不必只限于 $\mathbb{Q}$。更一般地，如果 $\mathbf{A}$ 的元素在某个域 $K$（如 $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ 甚至任意的域）上，那么同样可以考虑

$$K[\mathbf{A}]\;=\;\bigl\{\,p(\mathbf{A}) \,\mid\, p(x)\in K[x]\,\bigr\}.$$

在这种情况下，仍有同样的结论：

$$\dim_{K}\,K[\mathbf{A}] \;=\; \deg\bigl(m_{\mathbf{A}}(x)\bigr),$$

其中 $m_{\mathbf{A}}(x)$ 是 $\mathbf{A}$ 在域 $K$ 上的最小多项式。

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为什么与所选的域 $K$ 相关

• 最小多项式与域的关系：
  最小多项式是指系数在给定基底域 $K$ 上、能把 $\mathbf{A}$ 映射到零矩阵的首个单项式最高次项系数为 1 的多项式。它会因域的不同而在“是否能因式分解”上有所区别，但它始终是定义在当前考虑的域 $K$ 里的一个首要多项式。
• 线性空间维数与基底域：
  当我们谈论 “$\dim_{K}(K[\mathbf{A}])$” 时，其线性组合的系数必须在 $K$ 里，故一切推导都要基于该域来定义多项式和向量空间结构。

因此，这个“$\dim_{K} K[\mathbf{A}]$ 等于最小多项式次数”的结论在任何域上都成立，并不局限于 $\mathbb{Q}$。只不过题目中用的是 $\mathbb{Q}[\mathbf{A}]$，所以看上去像是“只对有理数域”的结论，但实际上这是一个更一般的线性代数定理。