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$ \left|E_{\text {Simpson }}\right| \leq \frac{(b-...

创建于：2025年2月27日

使用 O1 回答 Chat01

问题

∣ESimpson ∣≤(b−a)52880max⁡x∈[a,b]∣f(4)(x)∣\left|E_{\text {Simpson }}\right| \leq \frac{(b-a)^5}{2880} \max _{x \in[a, b]}\left|f^{(4)}(x)\right|

Warum vierte Ableitung?? gibt es andere Möglichkeiten??

思考

Identifying the requirement

I'm thinking through why the 4th derivative is used in the error bound formula for Simpson's rule, and what alternatives might exist for determining error bounds in numerical integration.

Evaluating derivative influences

I'm mapping out how various rules, like Newton-Cotes and Simpson's, depend on specific derivatives, with Simpson's rule using the 4th derivative due to polynomial approximation constraints on each subinterval.

Highlighting alternative approaches

I’m beginning to see that the typical errors for Simpson's rule involve the 4th derivative. We can also consider the possibility of using other derivatives for error estimation.

Clarifying the reasoning

The 4th derivative is essential for Simpson's rule due to polynomial interpolation. Other rules like the trapezoidal rule use different derivatives, showing an interesting diversity in approaches.

Reasoned about fourth derivative in integration for 9 seconds

回答

Warum taucht die vierte Ableitung bei der Fehlerschranke der Simpson-Regel auf?

Die klassische (einfache) Simpson-Regel approximiert ein Integral ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx dadurch, dass man auf dem Intervall [a,b][a,b] ein quadratisches Interpolationspolynom verwendet (also ein Polynom 2. Grades), welches die Funktion ff an drei Stützstellen interpoliert. Die entsprechende Fehlerformel lautet in der (nicht‐zusammengesetzten) Form:

∣ESimpson∣  ≤  (b−a)52880  max⁡x∈[a,b]∣f(4)(x)∣.\Bigl|E_{\text{Simpson}}\Bigr| \;\le\; \frac{(b-a)^5}{2880}\;\max_{x\in [a,b]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.

Hierbei ist ganz zentral, dass für eine Interpolation mit Polynom von Grad 2 der Fehlerterm (über Theoreme aus der Polynomialinterpolation bzw. aus der Euler–Maclaurin-Formel) von der vierten Ableitung der Funktion ff abhängt.

Weshalb gerade die vierte Ableitung?

  1. Allgemeines Prinzip: Wenn man ein Polynom vom Grad nn verwendet, erscheint in der zugehörigen Interpolations-Fehlerformel die (n+1)(n+1)-te Ableitung der interpolierten Funktion.

    • Trapezregel (Grad 11-Polynom pro Teilintervall) → 2. Ableitung taucht auf.
    • Simpson-Regel (Grad 22-Polynom pro Teilintervall) → 4. Ableitung.
    • Höherwertige Newton–Cotes- oder Gauss-Regeln (Polynome höheren Grades) → entsprechend höhere Ableitungen.

  2. Herleitung über die Interpolationsrestglied-Formel: Man kann die Simpson-Regel als Interpolationsregel (Lagrange-Polynome) herleiten. Das Restglied in der Interpolation eines Polynoms 2. Grades enthält stets die vierte Ableitung, weil

    R(x)  =  f(n+1)(ξ)(n+1)! (x−x0)⋯(x−xn),n=2.R(x) \;=\; \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-x_0)\dotsm(x-x_n),\quad n=2.

    Integriert man dieses Restglied aus und nutzt es für das Integral, bleibt eben eine Konstante mal f(4)(ξ)f^{(4)}(\xi) übrig.

  3. Anschauliche Idee: Simpson „fängt“ (als Polynom 2. Grades) alle Terme bis x2x^2 im Taylor‐Sinn perfekt auf. Die erste Größe, die nicht mehr perfekt aufgelöst wird, liegt im Bereich der vierten Ableitung, weil die Taylor-Entwicklung von ff bei höheren Ordnungen ansetzt.

Gibt es andere Möglichkeiten?

  1. Andere Quadraturregeln

    • Trapezregel: Hier taucht in der Fehlerschranke typischerweise die zweite Ableitung auf.
    • Mittelpunktsregel: Ebenfalls eine Fehlerschranke mit der zweiten Ableitung.
    • Gauss-Regeln (z.B. Gauss-Legendre): Höhere Ordnung → entsprechend eine Ableitung f(k)f^{(k)} mit k>4k > 4.
    • Höherwertige Newton–Cotes-Regeln: Simpson ist eine Newton–Cotes‐Regel mit 3 Stützpunkten. Mit mehr Stützpunkten (z.B. Milne, Boole, …) erhöht sich der Polynomgrad und damit das Ableitungsniveau in der Fehlerformel.

  2. Zusammengesetzte Simpson-Regel (Composite Simpson)
    Wenn das Intervall [a,b][a,b] in viele Teilintervalle zerlegt wird, verwendet man auf jedem kleinen Teilintervall die (einfache) Simpson-Regel. Die Fehlerschranke wird entsprechend angepasst, beinhaltet aber weiterhin max⁡∣f(4)∣\max |f^{(4)}|. Lediglich der Faktor vor (b−a)5(b-a)^5 ändert sich (und enthält typischerweise eine Abhängigkeit von der Schrittanzahl nn).

  3. Ersatz durch andere Abschätzungen
    Falls man die vierte Ableitung von ff nicht explizit kennt, kann man sie ggf. durch andere Abschätzungen oder durch numerische Approximationen ersetzen. Rein formal braucht man aber immer eine obere Schranke für die vierte Ableitung, um die genannte Fehlerschranke in der klassischen Form nutzen zu können.

    • In der Praxis verwendet man daher oft a priori oder a posteriori Schätzungen für f(4)(x)f^{(4)}(x).
    • Alternativ führt man einen Konvergenztest mit immer feinerer Unterteilung durch und beobachtet den Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Näherungen.

Fazit

  • Die vierte Ableitung erscheint deshalb, weil Simpson eine Polynombasis vom Grad 2 zur Approximation nutzt und bei der herkömmlichen Fehleranalyse die „nächste“ Ableitung (hier Grad 4) ausschlaggebend für das Restglied ist.
  • „Andere Möglichkeiten“ beziehen sich hauptsächlich auf andere Quadraturregeln (Trapezregel, Höhergrad‐Regeln, Gauss-Regeln etc.), welche dann andere Ableitungen in ihren Fehlerschranken verwenden.
  • Innerhalb des Konzepts „Simpson-Regel“ ist es unvermeidlich, dass in der genauen Fehlerabschätzung die 4. Ableitung auftritt, weil dies aus der Theorie der Polynominterpolation folgt.

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