Камень вращают с помощью верёвки постоянной длины....

创建于：2025年2月15日

使用 O1 回答 Chat01

问题

Камень вращают с помощью верёвки постоянной длины. Чему равна работа силы натяжения верёвки за время половины полного оборота камня?

思考

Determining tension force

I’m calculating the work done by the tension force in the rope during half a rotation of the stone. Since tension is radial and the stone's displacement is tangential, tension never performs any work.

Reasoned for a couple of seconds

回答

Работа силы натяжения верёвки при равномерном круговом движении равна нулю, поскольку направление этой силы (к центру окружности) всегда перпендикулярно перемещению камня (по касательной). Следовательно, за время половины (или любого другого участка) полного оборота работа будет равна нулю.

问题

Какова работа силы трения за один оборот аэросаней, движущихся по вертикальной круговой дорожке (поверхность дорожки расположена вертикально (гонки по вертикальной стене))? Скорость саней постоянна и равна v, масса саней m, коэффициент трения mu.

思考

Tackling the problem

I’m analyzing the work done by the tension force on a rock rotated by a rope of constant length. This involves understanding rotational motion and how tension contributes to the system's dynamics.

Tackling the tension work

I’m working through the problem of calculating the work done by the tension force on a rock rotated by a rope of constant length, which involves understanding rotational motion and this force's dynamics.

Calculating tension work

I’m figuring out the work done by the tension force on a rock being rotated by a rope of constant length, involving an understanding of rotational motion dynamics and force application.

Figuring out tension force

I’m figuring out the work done by the tension force on a rock rotated by a rope of constant length, which involves understanding rotational dynamics and force application in this scenario.

Reasoned for a few seconds

回答

Для решения этой задачи нужно учесть, что работа силы трения определяется как произведение силы трения на путь, пройденный телом, при условии, что трение направлено против движения.

1. Сила трения

Сила трения на вертикальной круговой дорожке $F_{\text{тр}}$ равна:

F_{\text{тр}} = \mu \cdot N

где $N$ — нормальная сила, которая равна в данном случае силе тяжести с определенной поправкой, так как мы рассматриваем движение по вертикальной окружности.

2. Нормальная сила

Нормальная сила $N$ зависит от центростремительного ускорения, которое действует на сани, и силы тяжести. В условиях вертикальной окружности нормальная сила будет:

N = mg + \frac{mv^2}{r}

где:

$m$ — масса саней,
$g$ — ускорение свободного падения,
$v$ — скорость саней,
$r$ — радиус вертикальной окружности.

3. Работа силы трения

Работа силы трения за один полный оборот будет равна:

A = F_{\text{тр}} \cdot S

где $S$ — длина пути, пройденного санями за один оборот, которая равна длине окружности:

S = 2\pi r

Подставим выражение для силы трения $F_{\text{тр}}$ :

A = \mu \cdot \left( mg + \frac{mv^2}{r} \right) \cdot 2\pi r

Упростим:

A = \mu \cdot 2\pi r \cdot \left( mg + \frac{mv^2}{r} \right)

Теперь раскроем скобки:

A = \mu \cdot 2\pi r \cdot mg + \mu \cdot 2\pi mv^2

Таким образом, работа силы трения за один оборот будет:

A = 2\pi \mu r mg + 2\pi \mu mv^2

Это и есть выражение для работы силы трения за один полный оборот аэросаней по вертикальной дорожке.

问题

思考

Breaking down the dilemma

I’m thinking about the force of friction on a vehicle moving in a vertical circular path, considering the constants like speed, mass, and friction coefficient, along with the combined normal and gravitational forces.

Calculating friction's energy cost

OK, let's integrate the friction force with the total displacement to determine the energy lost to friction over one revolution. The displacement corresponds to the entire circular path's length.

Seeking clarification

I'm thinking about whether the question asks for the magnitude or direction of friction. The normal force changes around the circle, considering gravity and the coefficient of friction.

Pinpointing the normal force

I’m defining the normal force on a vertical circular track, accounting for gravitational and radial forces while noting how it changes with the object's position within the circle.

Reimagining angles

OK, let me see. I’m working through how defining $\theta$ from the top clarifies the radial direction and helps pinpoint the radial component of gravity as $mg\cos(\theta)$ .

Revisiting the perspective

OK, let me see. I'm rethinking the radial direction since defining $\theta$ from the top changes how gravity's radial component is viewed, affecting the overall approach.

Revisiting $\theta$ orientation

I’m finalizing the $\theta$ orientation from the bottom to the center, aligning the radial direction with downward gravity. This mapping becomes clearer when considering the mass's movement and gravitational impact.

Clarifying radial force

I'm aligning with standard formulas for the radial force in vertical circular motion. Attention to direction is crucial, whether measuring from the horizontal or bottom, to ensure consistency.

Piecing together radial forces

I’m piecing together the normal force by comparing the net radial force with the radial component of gravity, considering the angle $\theta$ and its implications for centripetal acceleration.

Confirming radial force

I'm refining the standard formula for normal force: $N(\theta) = m\frac{v^2}{r} - mg\cos(\theta)$ . It captures gravity's radial component and centripetal force, with signs properly managed.

Piecing together normal force

I’m clarifying the normal force formula at angle $\theta$ from the bottom by considering the radial direction and the gravitational component affecting the net radial force.

Clarifying the confusion

I’m resolving the sign confusion by carefully considering the radial direction from the center to the mass and ensuring the gravitational component is accurately represented for both $\theta = 0$ and $\theta = \pi$ .

Piecing together normal force

OK, let me see. The normal force formula accurately represents the radial and gravitational components, aligning with the direct approach for both $\theta = 0$ and $\theta = \pi$ . Progress is clear.

Figuring out total work

I’m integrating the friction force over a circular path, using $N(\theta)$ to calculate the total work done by friction as the mass moves around with constant speed.

Breaking down the integral

OK, let me see. Differences in constants and integrals are extracted. I find $\int_0^{2\pi} \cos(\theta) d\theta$ equals zero. Each part is multiplied and summed to get the total work.

Summing up friction work

I’m calculating the total friction work over one revolution, considering the uniform circular motion with friction and averaging the normal force to ensure a clear perspective.

Grasping friction's impact

Friction does negative work, so I’m pulling together the absolute value of $- 2\pi \mu m v^2$ . The integral captures the average impact of changing normal force.

Reasoned for 27 seconds

回答

Ниже приведён разбор задачи по шагам, а в конце — итоговая формула для работы силы трения за один полный оборот.

1. Что дано и что ищем

Аэросани движутся по вертикальной круговой дорожке радиуса $r$ .
Скорость саней постоянна и равна $v$ .
Масса саней $m$ .
Коэффициент трения $\mu$ .
Нужно найти работу $A$ силы трения за один полный оборот (по окружности длиной $2\pi r$ ).

Сила трения всегда направлена против направления движения, а работа, совершаемая силой трения, получается отрицательной (если говорить о вкладе в энергию системы). Однако часто в ответе указывается модуль работы (без знака). Ниже мы получим выражение и обсудим знак.

2. Определение силы трения

Сила трения (по модулю) в каждый момент равна

F_{\text{тр}}(\theta) = \mu \, N(\theta),

где $N(\theta)$  — нормальная реакция дорожки в точке, соответствующей углу $\theta$ . Здесь $\theta$ можно считать углом, который сани проходят от некоторого начального положения (например, от нижней точки $\theta=0$ против часовой стрелки).

3. Нормальная сила на вертикальной окружности

При равномерном движении по окружности радиуса $r$ центростремительное ускорение постоянно по модулю и равно

a_c = \frac{v^2}{r}.

Рассмотрим уравнение проекции сил на радиальное направление (из центра к саням). Пусть $\theta$  — угол от нижней точки, откуда мы начинаем отсчёт. Тогда (приняв направление «к центру» за положительное):

N(\theta) - mg\cos(\theta) \;=\; m \frac{v^2}{r}.

Отсюда

N(\theta) = m \frac{v^2}{r} + m g\,\cos(\theta).

Важный момент: $\cos(\theta)$ меняет знак по ходу движения (в верхней части круга косинус будет отрицателен), так что $N(\theta)$ будет варьироваться.

4. Элементарная работа силы трения

Длина бесконечно малого пути саней при повороте на угол $d\theta$ составляет

ds = r \, d\theta \quad (\text{по дуге окружности}).

Сила трения $F_{\text{тр}}(\theta)$ направлена по касательной против направления движения, поэтому скалярная работа за малый участок:

dA = -\,F_{\text{тр}}(\theta)\,ds \;=\; -\,\mu\,N(\theta)\,ds.

Знак «минус» показывает, что трение действует против движения.

5. Интегрирование за полный оборот

За один полный оборот $\theta$ пробегает от $0$ до $2\pi$ . Подставим $N(\theta)$ и $ds=r\,d\theta$ :

A = \int_{0}^{2\pi} dA = \int_{0}^{2\pi} \Bigl[-\mu\,N(\theta)\Bigr]\,r\,d\theta.

С учётом $\displaystyle N(\theta) = m \frac{v^2}{r} + m g\,\cos(\theta)$ , получаем

A = -\,\mu\,\int_{0}^{2\pi} \Bigl[\underbrace{m \tfrac{v^2}{r}}_{\text{постоянно}} \;+\;m g \cos(\theta)\Bigr] \,r\, d\theta.

Вынесем константы:

A = -\,\mu\,m\,\int_{0}^{2\pi} \Bigl[\tfrac{v^2}{r} \cdot r + g \,r\, \cos(\theta)\Bigr]\, d\theta = -\,\mu\,m\,\int_{0}^{2\pi} \bigl[v^2 + g r\,\cos(\theta)\bigr]\, d\theta.

Разобьём интеграл:

A = -\,\mu\,m \Bigl[ \int_{0}^{2\pi} v^2\,d\theta \;+\; \int_{0}^{2\pi} g\,r\,\cos(\theta)\,d\theta \Bigr].

$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} v^2 \, d\theta = v^2 \cdot 2\pi$ .
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \cos(\theta)\,d\theta = 0$ .

Следовательно,

A = -\,\mu\,m \bigl[ v^2 \cdot 2\pi + 0 \bigr] = -\,2\pi\,\mu\,m\,v^2.

6. Интерпретация результата

Полученная работа отрицательна, что соответствует тому, что сила трения забирает энергию у саней (рассеивает её).
По модулю работа равна $\displaystyle 2\pi\,\mu\,m\,v^2$ .

В задачах по физике иногда просят «работу трения» именно как добавку к энергии (то есть с учётом знака, обычно это $-\,\dots$ ), а иногда — «энергию, потерянную на трение» (тогда берут положительный модуль). Формулировки бывают разными. Если буквально «Какова работа силы трения?», то строже всего ответить со знаком минус.

7. Итоговая формула

\boxed{ A_{\text{тр}} \;=\; -\,2\pi\,\mu\,m\,v^2. }

Если нужна величина без знака (потерянная энергия), то

|A_{\text{тр}}| \;=\; 2\pi\,\mu\,m\,v^2.

问题

思考

回答

问题

思考

回答