下面的回答将围绕以下几个核心点展开：

1. 系统模型（如何描述边缘服务器、用户、资源需求与覆盖关系）；
2. 公平分配方法改进（如何在“资源浪费”和“穷公平”之间找到平衡）；
3. 与其他优化目标的结合（除了Jain公平性，还可以考虑时延、能耗等）；
4. 相关论文推荐（给出若干在多资源公平性、边缘计算资源管理方面有代表性的论文）。

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1. 系统模型

假设在边缘计算系统中，存在：

• $m$ 个边缘基站（Edge Nodes），每个基站上可以放置若干台服务器；
• $k$ 种不同类型的服务器，每种服务器能够提供 $v$ 种不同的资源（例如CPU、带宽、存储、GPU等），不同服务器的容量可不同；
• $n$ 个用户（或者终端设备），每个用户对这 $v$ 种资源有一定的需求向量 $\mathbf{d}_i = (d_{i1}, d_{i2}, \dots, d_{iv})$。需求是“最大需要量”，也可以理解为“期望值”。

1.1 覆盖关系与放置约束

• 覆盖关系：如果用户 $u_i$ 所在的位置同时在多个边缘基站的覆盖范围内，那么用户在逻辑上可以“同时”向这些基站请求所需的资源，从而将自己的负载分散给多个服务器去提供。
• 服务器放置：我们需要决定如何在各个基站内放置 $k$ 种不同类型的服务器（或者说，这些服务器数量是有限的，需要做一个分配/部署），使得在后续的资源分配中能实现尽量高的用户公平性。

1.2 资源分配模型

一般常见的做法是：

• 比例分配(Proportional Allocation)：在某个边缘服务器 $s$ 上，假设覆盖到的用户集合为 $\mathcal{U}(s)$。对于某种资源类型 $r$，如果所有被覆盖用户在该类型上的需求总和为 $\sum_{i \in \mathcal{U}(s)} d_{ir}$，而该服务器在该类型上的可用总容量为 $C_{sr}$，则给用户 $i$ 分配的资源为 $$x_{ir}(s) \;=\; d_{ir} \times \frac{C_{sr}}{\sum_{j \in \mathcal{U}(s)} d_{jr}}$$ 这样就实现了“按需求占比”进行分配。然后用户 $i$ 实际得到的资源是把它在所有可覆盖服务器处获得的资源累加： $$X_{ir} \;=\; \sum_{s \in \mathcal{S}(i)} x_{ir}(s)$$ 其中 $\mathcal{S}(i)$ 表示所有覆盖用户 $i$ 的服务器。

然而，这种纯粹的比例分配会产生两个典型问题：

1. 资源浪费：如果在某个服务器上所有用户需求之和远小于服务器容量，则有的用户按比例分配后就会获得超过需求的资源；若系统没有额外机制，也就意味着“分配”超过需求的部分并无实际意义，造成浪费。
2. 穷公平（Poverty Fairness）：如果服务器的容量远小于覆盖用户的总需求，那么所有用户都只能分到很小的资源，但因为大家都很“小”，在计算 Jain 指数时可能得到一个较高的值，出现“看似公平，但所有人都得不到足够资源”的现象。

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2. 公平分配方法的改进思路

为了解决“资源浪费”和“穷公平”，需要在 “用户实际需求上限” 和 “服务器资源上限” 之间做一个更加灵活的分配策略。常见的改进方法包括：

1. 设定用户需求上限的 “硬帽(capping)” 机制

   • 当按比例分配计算得到的 $x_{ir}(s)$ 超过用户实际需求 $d_{ir}$ 时，就将其截断为 $d_{ir}$。这样，用户不会被分配超过其需求上限的资源。
   • 截断之后出现的“空余”资源可以再次分配给其他还没满足需求的用户，或者在系统层面可将空余资源转移到其他资源类型或其他服务器上（具体需看系统调度机制是否允许资源在不同基站/服务器之间可重配置）。
   • 这样可以有效避免第一种“浪费”现象，提高资源利用率。

2. 在“需求远大于容量”时的适度加权或二次分配

   • 经典的 Jain 指数只考虑分配结果的“均衡度”，对于“绝对量”不足的场景确实容易出现“大家都很低但很平均”的情况。
   • 可以引入 “最小保障阈值” 或 “效用函数(Utility Function)” 来调整：
     1. 最小保障阈值：对于用户需求中核心的资源，设定一个最低保障（若无法满足就给相应的惩罚或降低此类分配方案的可行性）；
     2. 带有权重的 α-公平/β-公平：例如在网络资源分配中，常见的 $\alpha$-fairness（不止看分配的方差，也会考虑绝对吞吐量），或者把用户需求与某些优先级、费用、SLA 等因素绑定，分配时不再是简单地“一刀切”按需求占比，而是先保证基本需求，再按用户或业务的优先级、贡献度做加权分配。
   • 此外，还有所谓 “Dominant Resource Fairness (DRF)” 等多资源分配方法：它不再单纯做“按比例”，而是保证每个用户在其“主要瓶颈资源(dominant resource)”上能获得与其他用户同等比例的份额，从而在多种资源上兼顾公平与效率。

3. 联合优化：服务放置 + 资源分配

   • 由于系统的目标是实现最大的用户整体公平（或者最高的最低保障），那么在“放置约束”上，也可考虑把有“高需求”的用户与有“高容量”的服务器做更紧密的匹配，避免出现“高需求用户都挤在容量很小的服务器上”而导致穷公平。
   • 可以将“服务器放置”问题做成整数规划或混合整数线性规划(MILP)： $$\max \quad \text{JainIndex}\bigl( \mathbf{X} \bigr),$$ subject to $$\sum_{\text{server } s \in \text{location } l} z_{s,l} \le K_l,$$ $$X_{ir} \le d_{ir}, \quad \text{(分配不超过需求)},$$ $$\sum_{i\in \mathcal{U}(s)} x_{ir}(s) \le C_{sr}, \quad \text{(服务器容量限制)},$$ $$x_{ir}(s) \ge 0, \quad \dots$$
   • 其中 $z_{s,l}$ 表示在位置 $l$ 是否放置服务器 $s$，$K_l$ 表示在位置 $l$ 可放置服务器的最大数量或种类限制。
   • 通过算法（如拉格朗日松弛、启发式算法、元启发式算法等）来同时寻求服务器部署和资源分配的最优解。

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3. 与其他目标的结合

在实际的边缘计算场景，除了追求用户之间的公平性（通常用Jain指数或其他公平度量），还可能要兼顾：

1. 时延/响应时间：在用户的 SLA 中往往对响应时间或端到端时延有要求，需要在时延、带宽、计算资源之间做联合调度与优化。
2. 能耗/成本：边缘节点数量庞大，过度开启或部署高性能服务器会带来很高的能耗，也有可能需要在公平性、用户满意度与系统能耗之间做平衡。
3. 网络开销：如果资源可以在不同边缘节点之间迁移或置换，则需要考虑网络传输开销，或在分配策略中对跨节点资源的移动进行成本评估。
4. 动态场景：用户需求并非总是静态的，移动用户在不同时间、地点的业务负载也在变化，需要在线算法或预测+自适应的机制来进行持续的负载均衡与公平分配。

可以在多目标优化框架下，把这些目标（如最大化Jain指数、最小化平均时延、最小化功耗等）合并为一个加权函数，或者采用分层（层次化）优化的方式优先保证关键目标，然后在次级目标上进行优化。

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4. 相关论文推荐

下面列出几类论文方向，可供参考：

1. 多资源公平分配的经典工作

   • A. Ghodsi, M. Zaharia, B. Hindman, A. Konwinski, S. Shenker, and I. Stoica,
     “Dominant resource fairness: Fair allocation of multiple resource types,” in NSDI, 2011.
     该工作提出了 DRF (Dominant Resource Fairness) 原则，解决了多种资源下的公平性问题，在云计算和边缘计算中同样具有参考意义。

2. 边缘计算资源管理与公平性

   • X. Chen, L. Jiao, W. Li, and X. Fu,
     “Efficient Multi-User Computation Offloading for Mobile-Edge Cloud Computing,” in IEEE/ACM Transactions on Networking, vol. 24, no. 5, 2016.
     该论文研究了多用户在移动边缘云环境下的任务卸载与资源分配，侧重效率和成本优化，也涉及对多用户的公平考量。

   • Y. Mao, C. You, J. Zhang, K. Huang, and K. B. Letaief,
     “A Survey on Mobile Edge Computing: The Communication Perspective,” in IEEE Communications Surveys & Tutorials, 2017.
     综述性质的论文，对于移动边缘计算的架构、资源管理以及公平性都有概览，可帮助了解宏观思路。

3. 综合考虑时延、能耗和公平的优化

   • K. Zhang, Y. Mao, S. Leng, A. Vinel, and M. Jonsson,
     “Delay Bounded Resource Allocation and User Association for Vehicle-to-Infrastructure Communications,” in IEEE Transactions on Communications, 2020.
     这类面向车联网的边缘计算场景强调时延与资源分配，也会有一定的公平/多目标优化思路，可供参考拓展到一般边缘场景。

4. 针对“穷公平”与“资源浪费”的改进思路

   • 在搜索引擎或IEEE Xplore上可检索关键词如 “capped proportional fairness”、 “truncated resource allocation”、 “fairness for edge computing” 等，会找到一些在云/边缘环境下探讨如何避免给用户分配“过量”或“绝对数量过小但平均”的讨论。

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总结

• 要想在边缘计算中实现最高的用户公平性（Jain指数），不仅要在资源分配策略上进行改进（如“需求上限截断”、“分阶段分配”、“带权公平”或“Dominant Resource Fairness”等），也要在服务器部署放置的阶段就做好整体规划，避免出现大的不均衡覆盖。
• 在实际场景中，**“穷公平”与“资源浪费”**常常是两个极端，需要在算法中进行二次分配、最小需求保障、能量/带宽/时延等多目标考虑，从而达到既公平又能最大化资源利用率的目标。
• 若要进一步提升实际使用价值，通常还需要考虑系统的动态性（用户分布变化、需求波动等），通过在线调度算法或预测模型进行自适应的部署与分配。

通过以上思路，既可以在理论层面（数学规划、Jain指数最大化模型）进行研究，也可以在工程层面（系统实现、仿真评估）上验证如何“消除资源浪费、避免穷公平”，并结合能耗、时延等多种因素来完善整套方案。

下面给出一个示例，说明如何在边缘计算中的公平分配与**用户体验（QoE，Quality of Experience）**之间进行结合，并给出一个具体、贴切的应用场景。

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1. 结合QoE的背景动机

在边缘计算里，资源分配虽然追求“用户之间的公平”（常用Jain指数衡量），但在许多实时多媒体或交互式应用场景下，用户体验（QoE）往往有一个最低保障阈值的概念：

• 当用户获得的资源（如吞吐率、CPU/GPU算力、时延保障等）低于一定水平时，应用的体验会显著下降，甚至难以维持正常使用；
• 但当资源超过某个门槛后，再增加资源带来的QoE提升趋于平缓，或者提升有限（例如视频码率从4K提高到8K对有些用户的视觉体验增益不大）。

如果我们只用Jain指数来度量分配的均衡度，可能出现“穷公平”现象：大家都分到很少的资源，看似很公平，但实际用户满意度（QoE）却都很低。反过来，如果只关心让部分用户体验最好（如给少数“VIP”分配极多资源），则会使得大部分用户QoE非常差，破坏整体公平。

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2. 具体场景示例：AR/VR 实时互动应用

考虑一个在边缘计算环境中提供AR/VR实时互动的场景：

• 用户需要一定的GPU/CPU算力和网络带宽来完成场景渲染、图像处理，以及低时延通信。
• 如果用户的算力或带宽低于某个阈值，AR/VR应用会卡顿、延迟明显增加，使得QoE断崖式下跌；而当算力和带宽达到或超过这个阈值后，QoE的提升曲线逐渐变缓。

假设我们为每个用户 $u_i$ 定义一个资源需求向量 $\mathbf{d}_i = (d_{i,\text{CPU}}, d_{i,\text{GPU}}, d_{i,\text{BW}}, \dots)$，并且在系统模型中要对用户可获得的实际资源 $\mathbf{X}_i$ 做一个QoE建模。可以采用以下方式：

1. 阈值型QoE函数：

   $$\text{QoE}_i(\mathbf{X}_i) = \begin{cases} 0, & \text{if } X_{i,\text{CPU}} < \theta_{\text{CPU}} \text{ or } X_{i,\text{GPU}} < \theta_{\text{GPU}} \text{或带宽不足}\\ f(\mathbf{X}_i), & \text{otherwise} \end{cases}$$

   其中 $\theta_{\text{CPU}}, \theta_{\text{GPU}}, \dots$ 表示满足AR/VR最低流畅度所需的各资源阈值，$f(\cdot)$ 是在资源达到最低标准后，对QoE随资源的增长而变化的函数（一般是先快速增长后逐渐饱和）。

2. S型或对数型QoE函数：

   • 也可将用户QoE视为在资源刚达到阈值时快速上升，越往后增益越小的一种曲线，如对数函数、S型函数等： $$\text{QoE}_i(\mathbf{X}_i) = a \cdot \ln\!\bigl(b \cdot X_{i,\text{BW}} + 1\bigr) + c \cdot \ln\!\bigl(d \cdot X_{i,\text{CPU}} + 1\bigr) + \dots$$
   • 这样当资源分配过低时，QoE极小；当逐渐满足需求后，QoE会有较明显提升。

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3. 资源公平性与QoE的结合方法

3.1 添加最小QoE保障的公平优化

基本想法：先保证大部分（或全部）用户能达到一个不低于 $\theta_{\text{QoE}}$ 的基本QoE，再在此基础上追求用户分配的Jain指数最大化。可用类似二阶段或多目标优化：

1. 第一阶段：确保用户QoE不低于阈值，即 $$\text{QoE}_i(\mathbf{X}_i) \ge \theta_{\text{QoE}}, \quad \forall i$$ 若在资源不足的情况下不可全部满足，则可采用加权或优先级策略，至少保证一定比例的用户（或关键应用）达到阈值。
2. 第二阶段：在保证第一阶段条件下，进一步最大化Jain指数或其他公平性指标，尽量使已达基本QoE的用户之间资源分配也较均衡。

3.2 联合优化目标

在多目标优化中，可以把**“平均QoE”和“Jain公平性”**组合为一个目标函数，示例：

$$\max \quad \alpha \cdot \Bigl(\text{AverageQoE}(\{\mathbf{X}_i\})\Bigr) \;+\; (1-\alpha)\cdot \Bigl(\text{JainIndex}(\{\mathbf{X}_i\})\Bigr)$$

• 其中 $\alpha$ 用来衡量对“QoE平均值”的重视程度，$(1-\alpha)$ 则衡量对“分配公平性”的重视程度。
• 当 $\alpha$ 较高时，系统会偏向让更多用户获得更高QoE；当 $\alpha$ 较低时，系统更注重分配均衡。

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4. 示例：如何保证“最低QoE”并兼顾公平

场景简述：

• 在某个边缘基站覆盖下，有若干台服务器提供GPU和CPU算力，用于AR/VR任务渲染；
• 同时还要从该基站获取一定的无线带宽；
• 用户各自移动到基站下，请求资源进行AR/VR体验。

步骤：

1. 给每个用户预估最小QoE所需要的资源：如 $d_{i,\text{GPU}}^{\min}, d_{i,\text{CPU}}^{\min}, d_{i,\text{BW}}^{\min}$。
2. 优先尝试满足所有用户的最小资源需求：
   • 如果服务器和基站带宽足以保证所有用户都达到 $\theta_{\text{QoE}}$，则在满足之后进入比例分配阶段；
   • 如果资源不足，需要做用户选择（或让所有用户都无法满足，但保证尽可能多的用户达到阈值），这就形成了最小保障阈值的复杂优化问题。
3. 在满足最小需求后，对剩余可用资源应用按比例公平或Dominant Resource Fairness等算法，让所有已经满足最低QoE的用户之间分配更均衡。
4. 度量结果：
   • 计算所有用户的实际QoE并取平均；
   • 计算Jain指数（既可以是对QoE数值的Jain指数，也可以对资源分配量的Jain指数来衡量资源公平），两者都可以衡量。

这种方法可有效避免“资源平均分导致所有用户都低于QoE阈值”的“穷公平”，也能防止“极少数用户享受超高资源，而其他用户QoE极低”的“过度不公平”。

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5. 其他可与公平分配结合的例子

除了QoE，下面再举一个贴切的角度与公平性相结合：

5.1 能耗/碳排放约束

在边缘节点上大量开启高性能服务器（如GPU）会显著增加能耗和碳排放，如果为了公平分配而让每个节点都维持空转的GPU，也会造成能源浪费，增加运营成本。

• 方案思路：在追求用户公平分配的同时，引入能耗或碳排放约束，限制某些服务器在低利用率时关闭或进入休眠模式；对用户需求则优先在有空闲能源预算的节点上进行分配。
• 这样就会出现公平与能耗之间的权衡：如果要追求极致公平，需要更多设备同时运行、增加能耗；如果要节能，就必须精简服务器供给，可能牺牲一定的分配公平度。

5.2 联合网络时延

在游戏直播、实时监控、车联网等场景下，端到端时延（包括传输、排队、处理时延）是关键指标。

• 如果不考虑时延，只追求资源分配公平，可能将用户任务负载分配到远处节点，导致时延过高；
• 若仅考虑时延最优，就可能集中在距离最近、负载最低的节点，但用户之间会造成资源分配不均。
• 联合时延和公平性的多目标优化可以保证：
  • 多数用户在其附近节点获得资源，以降低时延；
  • 在节点闲置/繁忙度不同的情况下，确保依旧能够尽量公平地满足用户需求。

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6. 小结

• 与QoE结合的例子：在AR/VR或高清流媒体场景，用户若达不到最小资源阈值，QoE会明显恶化。此时仅使用Jain指数来度量分配的“均衡度”不够，需要考虑**“最低QoE保障”**，并在此基础上再追求分配公平。
• 与能耗、时延等结合的例子：边缘服务器的启停、任务在节点间的调度，也需要兼顾能耗、时延等实际运营成本和用户体验；在这些维度上，与公平性之间会产生明显的取舍，需要多目标或分层次的优化策略。

透过这些例子，可以看到在实际的边缘计算系统中，公平分配往往并不是单一目标，还要和QoE、能耗、时延、运营成本等因素同时考虑，才能得到更贴合真实应用需求的资源管理方案。

下面给出一个较为系统的系统建模示例，将「边缘服务器的按比例分配」与「网络时延」相结合，形成一个多目标优化框架。在该框架下，既要兼顾用户之间的资源分配公平（用Jain指数等方式衡量），又要兼顾时延最小化或时延约束。

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1. 系统组成与符号

1. 边缘服务器（Edge Servers）

   • 记作集合 $\mathcal{S} = \{1,2,\dots,S\}$，共有 $S$ 个服务器节点，部署在不同地理位置，具备不同容量。
   • 服务器 $s$ 可以提供多种资源类型（如CPU、带宽、存储等），用 $r \in \{1,\dots,R\}$ 表示资源类型，容量记为 $C_{s}^{(r)}$。
   • 每个服务器所在位置与用户位置有一定的网络距离、带宽或传输特性，会影响用户到服务器的时延。

2. 用户（Users）

   • 记作集合 $\mathcal{U} = \{1,2,\dots,U\}$，共有 $U$ 个用户或终端节点。
   • 用户 $u$ 对各资源类型 $r$ 的需求量为 $D_{u}^{(r)}$（可以理解为“理想需要量”或“最大需要量”）。
   • 根据网络覆盖和路由策略，用户 $u$ 可以由若干服务器来服务，记可行集合为 $\mathcal{S}_u \subseteq \mathcal{S}$，表示服务器 $s \in \mathcal{S}_u$ 能为用户 $u$ 提供资源（可能是地理覆盖、网络覆盖或运营商策略等造成的可访问范围）。

3. 时延模型（Latency）

   • 若用户 $u$ 将任务/需求的一部分放到服务器 $s$ 上处理，则产生的“端到端时延”可分为：传输时延、排队/调度时延、执行时延等。
   • 这里我们用 $L_{u,s}$ 表示“单元负载”从用户 $u$ 到服务器 $s$ 的往返时延（或平均时延）。当该服务器负载上升时，排队/执行时延可能增加，可以用函数或简化模型来表达。
   • 如果允许用户的任务分散到多个服务器，则用户总体时延可能是加权平均（如每部分子任务的时延）、或取最大值（需要等待最慢的那部分），根据应用类型不同有不同定义。这里可采用加权平均时延示例。

4. 资源分配决策变量

   • 用 $x_{u,s}^{(r)}$ 表示服务器 $s$ 为用户 $u$ 分配的资源类型 $r$ 数量。
   • 如果采用按比例分配原则，则在服务器 $s$ 的资源 $r$ 中，给用户 $u$ 的份额与用户需求 $D_{u}^{(r)}$ 占覆盖用户需求总和的比例有关。
   • 但因为要加入时延与公平的联合优化，我们可以让“是否给用户 $u$ 分配资源”的决策先作为分配份额的变量，然后再结合调度或时延权衡进行修正。

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2. 约束条件

1. 服务器容量约束

   $$\sum_{u \in \mathcal{U}_s} x_{u,s}^{(r)} \;\le\; C_{s}^{(r)}, \quad \forall s \in \mathcal{S}, \;\forall r \in \{1,\dots,R\},$$

   其中 $\mathcal{U}_s$ 表示所有可由服务器 $s$ 覆盖/服务的用户集合。即服务器 $s$ 在资源类型 $r$ 上的分配总和不能超过它的容量。

2. 用户需求上限

   $$x_{u,s}^{(r)} \;\le\; D_{u}^{(r)}, \quad \forall u \in \mathcal{U}, \; \forall s \in \mathcal{S}_u, \; \forall r.$$

   用户在任何一台服务器上的资源分配不应超过用户对该资源的需求。

3. 可拆分或不可拆分

   • 如果用户的任务可以拆分到多个服务器： $$\sum_{s \in \mathcal{S}_u} x_{u,s}^{(r)} \;\le\; D_{u}^{(r)}, \quad \forall u,r.$$ 即用户在多个服务器处获得的同类资源之和，不超过需求。
   • 如果用户任务不可拆分（只允许一个服务器来执行），则可以用额外的二进制变量或指派变量来表征“用户 $u$ 选择服务器 $s$”这一决策，进而再对资源进行一次分配。

4. 非负约束

   $$x_{u,s}^{(r)} \;\ge\; 0, \quad \forall u,s,r.$$

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3. 时延模型

这里展示一个可能的简化建模思路：

1. 用户整体时延

   • 如果允许任务拆分，则用户 $u$ 分给服务器 $s$ 的任务量（与资源量正相关），假设占比为 $\alpha_{u,s}$（在本模型中可以通过把 $x_{u,s}^{(r)}$ 归一化到需求来得到）。
   • 则用户 $u$ 的整体时延可定义为加权平均： $$\text{Latency}_u \;=\; \sum_{s \in \mathcal{S}_u} \alpha_{u,s} \cdot L_{u,s},$$ 其中 $\alpha_{u,s} = \frac{x_{u,s}^{(r)}}{\sum_{s' \in \mathcal{S}_u} x_{u,s'}^{(r)}}$ 或其他与负载分配相关的权重。
   • 若任务不可拆分，则 $\text{Latency}_u = L_{u,s^*}$ 其中 $s^*$ 是实际被选中的服务器。

2. 网络拥塞时延

   • 如果考虑到边缘服务器负载越大、排队时延越高，则可以对 $L_{u,s}$ 设为一个随服务器负载 $\sum_{u'} x_{u',s}^{(r)}$ 变化的函数，比如 $L_{u,s} = L_{u,s}^\text{(base)} + \phi_s\!\bigl(\sum_{u'} x_{u',s}^{(r)}\bigr)$。
   • 这样会在优化中引入更多耦合，使问题更复杂，但更贴合实际网络/计算排队效应。

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4. 多目标函数

我们希望在减少时延与提高用户之间的资源分配公平之间找到一个折衷。可以有不同的多目标整合方式，这里给出两种常见思路：

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4.1 加权和多目标

定义两个子目标：

1. 平均时延最小化目标（或总时延最小化）： $$f_{1} = \sum_{u=1}^{U} \text{Latency}_u \quad\text{(或取平均 } \frac{1}{U}\sum_{u=1}^U \text{Latency}_u\text{)}$$
2. 公平性最大化目标。可用Jain指数对所有用户实际满足度做度量：
   • 先定义用户 $u$ 在资源 $r$ 上的实际分配比例（或满足度）$\beta_{u}^{(r)} = \frac{\sum_{s} x_{u,s}^{(r)}}{D_{u}^{(r)}} \in [0,1]$。
   • 如果是多种资源，可以对各资源的满足度做一个综合，比如取最低满足度或加权平均。记用户最终满足度 $\beta_{u}$。
   • Jain指数定义： $$\text{JainIndex}(\{\beta_u\}_{u=1}^U) \;=\; \frac{\bigl(\sum_{u=1}^U \beta_u \bigr)^2}{U \cdot \sum_{u=1}^U (\beta_u)^2}.$$
   令 $$f_{2} = \text{JainIndex}(\{\beta_u\})$$ 我们希望最大化 $f_{2}$ 。

综合目标可以写成：

$$\max \;\; G = \alpha \cdot f_2 \;-\; (1-\alpha)\cdot f_1$$

或将时延目标改为“负值”来统一做最大化，也可以写为：

$$\max \quad \alpha \cdot f_2 + (1-\alpha)\cdot \bigl(-f_1\bigr).$$

其中 $\alpha \in (0,1)$ 是可调参数，用于平衡“时延优先”与“公平优先”。

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4.2 层次式（分阶段）优化

也可以采用两阶段或层次式方法：

1. 第一阶段：尽量将时延控制在可接受的上限（例如保证90%用户时延低于阈值 $\tau$），然后在满足该时延约束的前提下，最大化Jain指数。
2. 第二阶段：若有多种可行分配方案都满足时延约束，则在其中选择资源公平性最好的。

或者反过来：

• 先对资源做按需求比例的公平分配，得到一个基线分配；
• 如果发现某些用户去远端分配导致高时延，则在满足基本公平的情况下，做局部资源调整，让这些用户转向更近的节点，以降低时延。

这种方法在工程上也比较常见：先定一个时延指标必须达标，再在可行解里进行公平性优化。

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5. 总体优化模型示例

把前面几个部分归纳在一起，形成一个更明确的混合整数线性或非线性规划（视具体时延函数而定）：

$$\begin{aligned} \textbf{Decision variables:} \quad & x_{u,s}^{(r)} \ge 0, \\ & \text{(若不可拆分，还要有指派变量 } y_{u,s} \in \{0,1\} \text{)}.\\ \\ \textbf{Objective:} \quad & \max \; \Bigl[\;\alpha\cdot \text{JainIndex}\bigl(\{\beta_{u}\}\bigr) \;-\; (1-\alpha)\cdot \sum_{u=1}^U \text{Latency}_u \Bigr], \\ & \text{其中 } \beta_{u} = \text{some function of } \bigl\{x_{u,s}^{(r)},D_{u}^{(r)}\bigr\}, \\ & \text{Latency}_u = \sum_{s\in \mathcal{S}_u} \alpha_{u,s} \cdot L_{u,s}(\dots), \\ \\ \textbf{Constraints:} \quad & \sum_{u} x_{u,s}^{(r)} \le C_s^{(r)}, \quad \forall s, r, \\ & \sum_{s \in \mathcal{S}_u} x_{u,s}^{(r)} \le D_{u}^{(r)}, \quad \forall u,r, \\ & x_{u,s}^{(r)} \ge 0, \quad \forall u,s,r, \\ & \alpha_{u,s} = \dfrac{x_{u,s}^{(r)}}{\sum_{s'\in \mathcal{S}_u} x_{u,s'}^{(r)}} \quad \text{(若拆分)}.\\ & \text{(如果不可拆分，则 } x_{u,s}^{(r)} \le D_{u}^{(r)} \cdot y_{u,s}, \, \sum_{s\in \mathcal{S}_u} y_{u,s} \le 1 \text{)}. \end{aligned}$$

说明：

• 具体时延函数 $L_{u,s}$ 可以是常数（只考虑网络距离/带宽）或随服务器负载变化的函数。
• 公平性指的是对“用户实际满足度 $\beta_u$”做Jain指数度量。如果多资源，需要一个综合方式（比如“最小资源满足度”、或“加权平均资源满足度”），再代入Jain指数公式。

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6. 总结

通过以上模型，将“按比例分配”的理念（即倾向于按需求比例分配服务器资源）与“时延最小化”或“时延约束”结合，形成一个多目标或层次化的优化框架。这样可以兼顾：

• 时延：避免把所有用户都分配到同一个最空闲但距离远的服务器上，导致网络延迟过大；
• 公平：在时延可接受范围内，尽量让用户都获得与其需求匹配的资源份额，从而提高系统整体的分配均衡度（Jain指数）。

实际中，可根据不同场景（游戏直播、车联网、实时监控）的需求差异，对模型进行具体化或简化。例如：

1. 在车联网场景中，时延上限更加严格，可能用硬约束的形式处理“时延不能高于某阈值”；
2. 在游戏直播中，或许可以容忍一定波动的时延，但更在意画面流畅度和分配公平，就适合用加权和的多目标优化；
3. 在可拆分/不可拆分任务方面，可以采用不同的建模粒度与优化算法（线性、非线性、整数规划或启发式算法）。

这就是一个系统化地将“按比例的公平分配”与“网络时延”相结合的建模与求解思路。

下面给出几个既贴近实际应用、又可以与“边缘用户分配公平性”相结合的角度，每个角度都不止于能耗或单纯时延，更类似于QoE但关注点不同，并附带一个简要的系统建模示例，帮助理解如何将这些角度融合到整体的“公平分配”框架中。

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1. 多租户SLA (Service-Level Agreement) 保障与公平

1.1 场景动机

• 边缘计算平台可能同时承载多个不同租户或不同类型应用，每个租户（应用）都有特定的服务级别协议(SLA)，例如：
  1. 延迟上限（必须在30ms内完成处理）；
  2. 处理吞吐量要求（必须保证每秒处理100个请求）；
  3. 可用性或可靠性要求等。
• 如果单纯地追求“资源分配的Jain公平”，可能导致一些SLA无法达标；而只追求严格满足某些租户SLA，也可能挤占大量资源，让其他应用的满意度严重下跌。

1.2 系统建模要点

1. SLA合规度(Compliance)建模

   • 对于租户/应用 $u$，定义其SLA关键指标（如最大允许延迟$\Delta_u^\text{max}$、最低吞吐量$\Gamma_u^\text{min}$等）。
   • 在系统中，用实际指标（例如实际平均延迟$\Delta_u$、实际吞吐量$\Gamma_u$）与要求进行比较，得到SLA合规度： $$\text{SLA\_sat}_u = \min\Bigl(1, \frac{\Gamma_u}{\Gamma_u^\text{min}}\Bigr) \times \mathbf{1}\{\,\Delta_u \le \Delta_u^\text{max}\},$$ 或者根据更复杂的形式来度量SLA是否达标及达标程度。

2. 公平分配与合规度结合

   • 令所有租户的SLA合规度为 $\text{SLA\_sat}_u$，把它当做“用户满意度”的度量，然后用Jain指数来考察各租户在SLA合规度上的公平性： $$\text{JainIndex}(\{\text{SLA\_sat}_u\}) \;=\; \frac{\Bigl(\sum_{u=1}^U \text{SLA\_sat}_u\Bigr)^2}{U \cdot \sum_{u=1}^U (\text{SLA\_sat}_u)^2}.$$

3. 目标函数示例

   • 在满足基础资源/容量约束下，最大化JainIndex，或在此基础上还可加上“平均合规度”的加权，形成多目标： $$\max \bigl[\alpha \cdot \text{AvgSLA\_sat} \;+\; (1-\alpha)\cdot \text{JainIndex}\bigr],$$ 其中 $\text{AvgSLA\_sat} = \frac{1}{U}\sum_{u=1}^U \text{SLA\_sat}_u$。

4. 资源分配与调度变量

   • 令 $x_{u,s}$ 表示租户 $u$ 在边缘服务器 $s$ 上得到的资源份额，受服务器容量限制；结合相应的排队/时延或吞吐量函数，计算 $\Delta_u, \Gamma_u$，然后放入SLA合规度计算。

通过这种建模，可以在“保证多租户SLA”的大框架下，引入公平性度量，避免某些SLA租户过度占用资源或牺牲其他租户的利益。

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2. 视频/音频流媒体的“卡顿率(Stall Rate)”或“关键质量指标” 与公平

2.1 场景动机

• 在边缘计算环境中，为用户提供高清流媒体（视频、音频、直播等）时，最直观的体验指标往往是卡顿率、播放中断次数、平均码率等；单纯的QoE打分可以较笼统，而卡顿次数/时长等指标更直观地刻画用户体验的底线。
• 如果只看平均码率或简单的吞吐分配，可能出现大量卡顿的用户；若我们把“卡顿率”也纳入公平分配目标，可以让更多用户享有“低卡顿”的体验，而非只有少数用户获得超高码率却0卡顿。

2.2 系统建模要点

1. 卡顿率或卡顿时间比(Stall Ratio)

   • 对用户 $u$，记其播放时长为 $T_u$，卡顿总时长为 $C_u$。则 $$\text{StallRatio}_u = \frac{C_u}{T_u}.$$
   • 在一定网络条件和服务器资源(转码/缓存/CDN带宽等)分配下，$\text{StallRatio}_u$是一个函数： $$\text{StallRatio}_u = f\Bigl(x_{u,s}, \dots\Bigr).$$
   • 例如，如果用户得到的带宽或服务器处理速率不足以支撑视频流的码率，就会产生缓冲卡顿；该函数通常随资源的增加而下降（卡顿减少）。

2. “卡顿率”的公平度

   • 可以选择最大化 $\text{JainIndex}\bigl(\{1 - \text{StallRatio}_u\}\bigr)$ 来追求“谁都不能有过高的卡顿”。或者把“卡顿率”本身当做需要最小化的指标，然后结合公平性： $$\max \;\text{JainIndex}\bigl(\{-\text{StallRatio}_u\}\bigr),$$ 不过一般对负值做Jain指数不够直观，常常会先转换成“1-卡顿率”再用Jain指数。

3. 目标函数示例

   • 多目标：最小化平均卡顿率 + 最大化卡顿率分配的公平性。可写成： $$\max \bigl[\;\alpha \cdot \bigl(-\sum_{u}\text{StallRatio}_u\bigr) \;+\; (1-\alpha)\cdot \text{JainIndex}(\{1-\text{StallRatio}_u\})\bigr].$$ 其中减号是因为要最小化卡顿率，等价于最大化“负的卡顿率”。

4. 约束和分配变量

   • 令 $x_{u,s}$ 是为用户 $u$ 在服务器 $s$ 上分配的转码能力或媒体流带宽；在满足服务器$\sum_{u} x_{u,s} \le C_s$的前提下，计算每个用户的卡顿率，再优化上述目标。

这种方式比单纯的“带宽公平分配”更贴近流媒体业务诉求，让大多数用户都能减少卡顿，不因为极少数用户获取超高码率而牺牲其他用户体验。

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3. 任务截止期限(Deadline)或响应时间保障的公平

3.1 场景动机

• 在云/边缘结合的任务处理场景里，很多用户任务都有截止期限(Deadline)，例如实时交易处理、智能工厂控制指令、紧急监测等。
• 如果只按“需求比例”分配资源，可能导致部分紧急任务过期失效；若只优先保证截止最急的任务，又会使得普通任务资源分配不公平。

3.2 系统建模要点

1. 任务成功率

   • 若任务 $u$ 在截止时间 $T_u^\text{deadline}$ 内能完成，则记“成功标志” $\sigma_u=1$，否则 $\sigma_u=0$。
   • 任务完成时间 $T_u^\text{finish}$ 取决于所分配的计算资源、网络时延等。
   • 用任务成功率 $\frac{\sum_u \sigma_u}{U}$ 表示系统整体完成情况。

2. Deadline 满足度与公平

   • 若要兼顾公平，可以让Deadline满足度： $$\text{DeadlineSat}_u = \max\Bigl(0, 1 - \frac{T_u^\text{finish} - T_u^\text{deadline}}{T_u^\text{deadline}}\Bigr),$$ 当 $T_u^\text{finish} \le T_u^\text{deadline}$ 时为1，否则随着超时越多而减少。
   • 然后以Jain指数度量 $\text{DeadlineSat}_u$ 的分布： $$\text{JainIndex}\bigl(\{\text{DeadlineSat}_u\}\bigr).$$

3. 目标函数示例

   • 可以将“任务成功率”与“Deadline满足度”结合，如： $$\max \Bigl[\;\alpha \cdot \frac{1}{U}\sum_u \sigma_u \;+\; (1-\alpha)\cdot \text{JainIndex}\bigl(\{\text{DeadlineSat}_u\}\bigr)\Bigr].$$
   • 这样既能让系统提高整体任务准时完成率，也能避免一味地牺牲部分用户（让他们严重超时）而换取绝对的高成功率。

4. 资源分配机制

   • 令 $x_{u,s}$ 表示对任务 $u$ 在服务器 $s$ 的处理能力分配，带来处理时长 $p_{u}(\sum_s x_{u,s})$，再加上网络时延获得 $T_u^\text{finish}$。
   • 受容量约束 $\sum_u x_{u,s} \le C_s$ 等。对$\sigma_u$和$\text{DeadlineSat}_u$进行非线性或混合整数优化。

这样就可以在严格的任务完成时限要求下，也保持对用户的“完成度”或“准时度”的公平分配。

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4. 基于推理/识别精度(Accuracy) 的AI推断服务公平

4.1 场景动机

• 在边缘侧进行AI推断（例如图像识别、语音识别、传感器数据分析等），用户对推断结果的准确率(Accuracy) 或置信度(Confidence)往往十分关注。
• 高精度推断通常需要更高的计算量、更复杂的模型或更大的GPU资源；如果只看资源公平，一些用户的推断模型可能降到很低精度，整体满意度差。
• 引入推断精度的公平性，可以让每个用户都获得足够的资源来支撑模型推断，保证系统整体识别精度的均衡性。

4.2 系统建模要点

1. 精度函数

   • 用户 $u$ 的AI推断精度记作 $\text{Acc}_u$，它随分配的计算量或模型复杂度增加而上升，但存在“边际效益递减”。
   • 比如可以抽象为： $$\text{Acc}_u = g\Bigl(\sum_{s\in \mathcal{S}_u} x_{u,s}\Bigr),$$ $g(\cdot)$ 是递增的凹函数。

2. Fairness与整体准确度结合

   • 既可以追求平均精度 $\frac{1}{U}\sum_u \text{Acc}_u$ 的最大化，也可将$\{\text{Acc}_u\}$ 纳入Jain指数： $$\text{JainIndex}(\{\text{Acc}_u\}),$$ 避免“少数用户精度极高，其他用户精度极低”这样不公平的现象。

3. 示例目标函数

   $$\max \Bigl[\;\alpha \cdot \frac{1}{U}\sum_u \text{Acc}_u \;+\; (1-\alpha)\cdot \text{JainIndex}(\{\text{Acc}_u\})\Bigr].$$

   或者换成纯粹最大化 Jain指数，以实现“大家的精度都不至于太差”的均衡。

4. 约束与变量

   • 资源容量：$\sum_u x_{u,s} \le C_s$。
   • 用户的AI任务可否拆分到多个服务器？不同应用有不同要求。若可拆分，可将$x_{u,s}$进一步细化；如果不可拆分，则用整数变量指派到某个节点上。
   • 由$\text{Acc}_u$ 与$x_{u,s}$的关系构成非线性优化，需要使用凸近似或启发式等方法求解。

该模型在智能边缘场景中比较常见：通过分配计算/GPU资源，最大化整体推理体验的“公平性”，让更多用户都能获得较高的识别精度，而非少数“土豪”用户独占高级模型。

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小结

以上从多租户SLA合规度、卡顿率、截止期限、AI推断精度四个不同角度，展示了如何将公平分配与业务的“关键指标”相结合，且这些指标都能很直观地衡量用户的实际“使用体验”或“最终效果”，与单纯QoE类似却各有侧重。每个角度都可以与Jain指数等公平度量结合，形成一个多目标（或单一综合目标）并受服务器资源容量、网络覆盖、分配策略等约束的系统模型。

• 多租户SLA：关注不同服务级别需求的达标率，兼顾谁都不能被严重牺牲。
• 卡顿率：面向媒体/直播应用，确保大部分用户卡顿率较低，而不是少数人超清、其他人卡爆。
• Deadline：面向实时/紧急任务，提升整体准时完成率的同时兼顾任务间的公平。
• AI推断精度：提升所有用户的模型推断准确度或置信度，而不是只让少数用户享受最顶级算力。

这些都比单纯考虑“资源浪费/穷公平”或“能耗/时延”更贴近用户体验和实际业务成果，与QoE有相似的“用户感受度”逻辑，又在不同领域有更具体可衡量的指标。结合它们来做系统建模与资源调度优化，可以更直接地反映出边缘计算对用户最终价值的贡献，也能更好地平衡用户之间的分配公平性。