Операции с комплексными числами

РЕШЕНИЕ

Ниже приведены все необходимые вычисления для двух случаев:

---

ЧАСТЬ A

Даны комплексные числа:

$$z_1 = 3 - 4i,\quad z_2 = 4 + 3i.$$

1) Найти $z_1 + z_2$, $z_1 - z_2$, $z_1 \cdot z_2$, $\dfrac{z_1}{z_2}$

1. Сумма

   $$z_1 + z_2 = (3 - 4i) + (4 + 3i) = (3+4) + (-4+3)i = 7 - i.$$

2. Разность

   $$z_1 - z_2 = (3 - 4i) - (4 + 3i) = (3-4) + (-4-3)i = -1 - 7i.$$

3. Произведение

   $$z_1 \cdot z_2 = (3 - 4i)(4 + 3i).$$

   Вычислим пошагово (по «FOIL»):

   $$(3 \cdot 4) + (3 \cdot 3i) + (-4i \cdot 4) + (-4i \cdot 3i) = 12 + 9i - 16i -12i^2.$$

   Поскольку $i^2 = -1$, имеем $-12i^2 = -12(-1) = +12$. Значит,

   $$12 + 9i - 16i + 12 = (12+12) + (9i - 16i) = 24 - 7i.$$

   Следовательно,

   $$z_1 \cdot z_2 = 24 - 7i.$$

4. Частное

   $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3 - 4i}{4 + 3i}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряжённое к знаменателю $4 - 3i$:

   $$\frac{3 - 4i}{4 + 3i}\cdot \frac{4 - 3i}{4 - 3i} = \frac{(3 - 4i)(4 - 3i)}{(4 + 3i)(4 - 3i)}.$$
   • Знаменатель: $$(4 + 3i)(4 - 3i) = 4^2 - (3i)^2 = 16 - (-9) = 16 + 9 = 25.$$
   • Числитель: $$(3)(4) + (3)(-3i) + (-4i)(4) + (-4i)(-3i) = 12 - 9i - 16i + 12i^2.$$ Но $i^2 = -1$, значит $12i^2 = 12 \cdot (-1) = -12$. Итого: $$12 - 9i - 16i - 12 = (12 - 12) + (-9i - 16i) = -25i.$$ Следовательно, $$\frac{-25i}{25} = -i.$$

   Итого,

   $$\frac{z_1}{z_2} = -\,i.$$

Таким образом, ответы на первый пункт:

$$z_1 + z_2 = 7 - i,\quad z_1 - z_2 = -1 - 7i,\quad z_1 \cdot z_2 = 24 - 7i,\quad \dfrac{z_1}{z_2} = -\,i.$$

---

2) Перевести $z_1$ и $z_2$ в тригонометрическую форму и найти $z_1 \cdot z_2$, $\dfrac{z_1}{z_2}$, $z_1^2$

Тригонометрическая форма комплексного числа

Число $z = x + yi$ можно записать как

$$z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi),$$

где

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \arg(z) = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)$$

(с учётом квадранта, в котором находится точка $(x,y)$).

---

1. Найдём тригонометрическую форму $z_1 = 3 - 4i$.

   • Модуль: $$r_1 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.$$
   • Аргумент (учитывая, что $x=3>0, y=-4<0$, значит это IV квадрант, угол отрицательный): $$\varphi_1 = \arctan\!\bigl(\tfrac{-4}{3}\bigr) \approx -53{,}13^\circ \quad\text{(или в радианах } \approx -0{,}9273).$$

   Значит,

   $$z_1 = 5\bigl(\cos(-53{,}13^\circ) + i\sin(-53{,}13^\circ)\bigr).$$

2. Найдём тригонометрическую форму $z_2 = 4 + 3i$.

   • Модуль: $$r_2 = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5.$$
   • Аргумент (I квадрант, $x=4>0,\,y=3>0$): $$\varphi_2 = \arctan\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) \approx 36{,}87^\circ \quad\text{(или в радианах } \approx 0{,}6435).$$

   Значит,

   $$z_2 = 5\bigl(\cos(36{,}87^\circ) + i\sin(36{,}87^\circ)\bigr).$$

---

Теперь используем свойства тригонометрической формы:

• Произведение

  $$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \Bigl[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\Bigr].$$

  Отсюда:

  $$r_1 r_2 = 5 \cdot 5 = 25, \quad \varphi_1 + \varphi_2 \approx -53{,}13^\circ + 36{,}87^\circ = -16{,}26^\circ.$$

  Итого,

  $$z_1 \cdot z_2 = 25\bigl(\cos(-16{,}26^\circ) + i\sin(-16{,}26^\circ)\bigr).$$

  (Это соответствует найденному ранее $24 - 7i$, так как модуль $=25$, аргумент $\approx -16{,}26^\circ$.)

• Частное

  $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \Bigl[\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)\Bigr].$$

  Поскольку $r_1 = r_2 = 5$, то $\frac{r_1}{r_2} = 1$.

  $$\varphi_1 - \varphi_2 \approx -53{,}13^\circ - 36{,}87^\circ = -90^\circ.$$

  Следовательно,

  $$\frac{z_1}{z_2} = \cos(-90^\circ) + i\sin(-90^\circ) = -\,i.$$

  (Совпадает с предыдущим результатом.)

• Квадрат числа $z_1$

  $$z_1^2 = r_1^2 \Bigl[\cos(2\varphi_1) + i\sin(2\varphi_1)\Bigr].$$

  Здесь $r_1=5$, значит

  $$r_1^2 = 25, \quad 2\varphi_1 \approx 2 \cdot (-53{,}13^\circ) = -106{,}26^\circ.$$

  Итого,

  $$z_1^2 = 25\bigl(\cos(-106{,}26^\circ) + i\sin(-106{,}26^\circ)\bigr).$$

  (В алгебраической форме это даёт $(3-4i)^2 = -7 - 24i$.)

---

3) Перевести $z_1$ и $z_2$ в показательную форму и найти $z_1 \cdot z_2$, $\dfrac{z_1}{z_2}$, $z_1^2$

Показательная (экспоненциальная) форма

Комплексное число $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ можно записать как

$$z = r\, e^{\,i\varphi}.$$

Итак, для наших $z_1$ и $z_2$:

$$z_1 = 5\,e^{\,i\varphi_1},\quad \varphi_1 \approx -0{,}9273 \ (\text{рад}),$$ $$z_2 = 5\,e^{\,i\varphi_2},\quad \varphi_2 \approx 0{,}6435 \ (\text{рад}).$$

• Произведение

  $$z_1 \cdot z_2 = (5e^{\,i\varphi_1}) \cdot (5e^{\,i\varphi_2}) = 25\,e^{\,i(\varphi_1 + \varphi_2)}.$$

  Численно: $\varphi_1 + \varphi_2 \approx -0{,}9273 + 0{,}6435 = -0{,}2838$ рад.

• Частное

  $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5e^{\,i\varphi_1}}{5e^{\,i\varphi_2}} = e^{\,i(\varphi_1 - \varphi_2)}.$$

  Численно: $\varphi_1 - \varphi_2 \approx -0{,}9273 - 0{,}6435 = -1{,}5708 \approx -\frac{\pi}{2}$, что соответствует $-i$.

• Квадрат числа $z_1$

  $$z_1^2 = \bigl(5\,e^{\,i\varphi_1}\bigr)^2 = 5^2 \, e^{\,i(2\varphi_1)} = 25\, e^{\,i(2\varphi_1)}.$$

  Численно $2\varphi_1 \approx -1{,}8546$ рад (что соответствует $-106{,}26^\circ$).

---

ЧАСТЬ B

Даны комплексные числа:

$$z_1 = 5,\quad z_2 = 9i.$$

1) Найти $z_1 + z_2$, $z_1 - z_2$, $z_1 \cdot z_2$, $\dfrac{z_1}{z_2}$

1. Сумма

   $$z_1 + z_2 = 5 + 9i.$$

2. Разность

   $$z_1 - z_2 = 5 - 9i.$$

3. Произведение

   $$z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot 9i = 45i.$$

4. Частное

   $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5}{9i}.$$

   Умножим на $\tfrac{i}{i}$:

   $$\frac{5}{9i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{5i}{9\,i^2} = \frac{5i}{9\,(-1)} = -\frac{5}{9}i.$$

Итог:

$$z_1 + z_2 = 5 + 9i,\quad z_1 - z_2 = 5 - 9i,\quad z_1 \cdot z_2 = 45i,\quad \dfrac{z_1}{z_2} = -\tfrac{5}{9}i.$$

---

2) Тригонометрическая форма и вычисление $z_1 \cdot z_2$, $\dfrac{z_1}{z_2}$, $z_1^2$

1. $z_1 = 5$.
   Это чисто действительное положительное число:

   $$r_1 = 5,\quad \varphi_1 = 0.$$

   Значит,

   $$z_1 = 5\,(\cos 0 + i\,\sin 0).$$

2. $z_2 = 9i$.
   Это чисто мнимое число с положительным коэффициентом при $i$. На комплексной плоскости точка лежит на положительной оси $Oy$.

   $$r_2 = 9,\quad \varphi_2 = \frac{\pi}{2} \ (90^\circ).$$

   Значит,

   $$z_2 = 9\,(\cos \tfrac{\pi}{2} + i\,\sin \tfrac{\pi}{2}).$$

• Произведение

  $$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \bigl[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\bigr] = 5 \cdot 9 \bigl[\cos(0 + \tfrac{\pi}{2}) + i\sin(0 + \tfrac{\pi}{2})\bigr].$$ $$= 45\,(\cos \tfrac{\pi}{2} + i\,\sin \tfrac{\pi}{2}) = 45i.$$

• Частное

  $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \bigl[\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)\bigr] = \frac{5}{9} \bigl[\cos(0 - \tfrac{\pi}{2}) + i\,\sin(0 - \tfrac{\pi}{2})\bigr].$$ $$= \frac{5}{9}\bigl[\cos(-\tfrac{\pi}{2}) + i\,\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr] = \frac{5}{9}\,(0 - i) = -\tfrac{5}{9}i.$$

• Квадрат

  $$z_1^2 = r_1^2 \bigl[\cos(2\varphi_1) + i\sin(2\varphi_1)\bigr] = 5^2 \bigl[\cos(0) + i\,\sin(0)\bigr] = 25.$$

  (И в алгебраической форме $5^2 = 25$.)

---

3) Показательная форма и вычисление $z_1 \cdot z_2$, $\dfrac{z_1}{z_2}$, $z_1^2$

В показательной форме:

$$z_1 = 5\,e^{\,i\cdot 0} = 5,\quad z_2 = 9\,e^{\,i\frac{\pi}{2}}.$$

• Произведение

  $$z_1 \cdot z_2 = (5\,e^{0i}) \cdot \bigl(9\,e^{\,i\frac{\pi}{2}}\bigr) = 45\, e^{\,i\left(0 + \frac{\pi}{2}\right)}.$$

• Частное

  $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5\,e^{\,i0}}{9\,e^{\,i\frac{\pi}{2}}} = \frac{5}{9}\,e^{\,i\,(0 - \frac{\pi}{2})}.$$

• Квадрат

  $$z_1^2 = \bigl(5\,e^{\,i0}\bigr)^2 = 25\, e^{\,i\cdot 0} = 25.$$

---

ИТОГИ (КРАТКО)

A) $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = 4 + 3i$

$$\begin{aligned} &z_1 + z_2 = 7 - i,\\ &z_1 - z_2 = -1 - 7i,\\ &z_1 \cdot z_2 = 24 - 7i,\\ &\dfrac{z_1}{z_2} = -\,i. \end{aligned}$$

2. Тригонометрическая форма:

$$z_1 = 5\bigl(\cos(-53{,}13^\circ) + i\,\sin(-53{,}13^\circ)\bigr),\quad z_2 = 5\bigl(\cos(36{,}87^\circ) + i\,\sin(36{,}87^\circ)\bigr).$$ $$\begin{aligned} &z_1 \cdot z_2 = 25\bigl(\cos(-16{,}26^\circ) + i\,\sin(-16{,}26^\circ)\bigr),\\ &\dfrac{z_1}{z_2} = \cos(-90^\circ) + i\,\sin(-90^\circ) = -\,i,\\ &z_1^2 = 25\bigl(\cos(-106{,}26^\circ) + i\,\sin(-106{,}26^\circ)\bigr). \end{aligned}$$

3. Показательная форма:

$$z_1 = 5\,e^{\,i\varphi_1},\quad z_2 = 5\,e^{\,i\varphi_2},$$

где $\varphi_1 \approx -0{,}9273,\ \varphi_2 \approx 0{,}6435.$

$$\begin{aligned} &z_1 \cdot z_2 = 25\,e^{\,i(\varphi_1 + \varphi_2)},\\ &\dfrac{z_1}{z_2} = e^{\,i(\varphi_1 - \varphi_2)},\\ &z_1^2 = 25\,e^{\,i\,2\varphi_1}. \end{aligned}$$

---

B) $z_1 = 5$, $z_2 = 9i$

$$\begin{aligned} &z_1 + z_2 = 5 + 9i,\\ &z_1 - z_2 = 5 - 9i,\\ &z_1 \cdot z_2 = 45i,\\ &\dfrac{z_1}{z_2} = -\tfrac{5}{9}\,i. \end{aligned}$$

2. Тригонометрическая форма:

$$z_1 = 5(\cos 0 + i\sin 0),\quad z_2 = 9\bigl(\cos \tfrac{\pi}{2} + i\sin \tfrac{\pi}{2}\bigr).$$ $$\begin{aligned} &z_1 \cdot z_2 = 45\bigl(\cos \tfrac{\pi}{2} + i\sin \tfrac{\pi}{2}\bigr) = 45i,\\ &\dfrac{z_1}{z_2} = \frac{5}{9}\Bigl[\cos\bigl(0 - \tfrac{\pi}{2}\bigr) + i\sin\bigl(0 - \tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr] = -\tfrac{5}{9}i,\\ &z_1^2 = 25(\cos 0 + i\sin 0) = 25. \end{aligned}$$

3. Показательная форма:

$$z_1 = 5\,e^{\,0i} = 5,\quad z_2 = 9\,e^{\,i\frac{\pi}{2}}.$$ $$\begin{aligned} &z_1 \cdot z_2 = 45\,e^{\,i(\,0 + \frac{\pi}{2})},\\ &\dfrac{z_1}{z_2} = \frac{5}{9}\,e^{\,i(\,0 - \frac{\pi}{2})},\\ &z_1^2 = 25\,e^{\,0i} = 25. \end{aligned}$$

---

Таким образом, все искомые выражения вычислены как в алгебраической, так и в полярных (тригонометрической и показательной) формах.