问题

(1、√3)到直線y=√3/3x的距離

思考

Calculating the distance

I'm converting the line equation to standard form and applying the distance formula to find the distance from the point (1, 3\sqrt{3}) to the line y=33xy = \frac{\sqrt{3}}{3} x.

Thought about point-line distance calculation 花的時間為 15 秒

回答

要計算點 (1,3)(1, \sqrt{3}) 到直線 y=33xy = \frac{\sqrt{3}}{3}x 的距離,可以按照以下步驟:


1. 將直線方程式轉為一般式

給定直線:

y=33xy = \frac{\sqrt{3}}{3} x

可以寫成:

33x+y=0-\frac{\sqrt{3}}{3}x + y = 0

為了計算方便,將上式兩邊同乘以 3,可得:

3x+3y=0-\sqrt{3} \, x + 3y = 0

因此,直線的一般式為:

Ax+By+C=0(其中 A=3,B=3,C=0)A x + B y + C = 0 \quad \text{(其中 } A = -\sqrt{3},\, B = 3,\, C = 0\text{)}

2. 使用「點到直線距離公式」

對於一條直線 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 與一個點 (x0,y0)(x_0, y_0),其距離 dd 為:

d=Ax0+By0+CA2+B2d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

3. 代入數值計算

(x0,y0)=(1,3)(x_0, y_0) = (1, \sqrt{3}),直線參數 A=3,B=3,C=0A = -\sqrt{3}, B = 3, C = 0

  1. 計算分子:
Ax0+By0+C=(3)(1)+3(3)+0=3+33=23=23.|A x_0 + B y_0 + C| = \bigl|(-\sqrt{3})(1) + 3(\sqrt{3}) + 0\bigr| = \bigl|-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\bigr| = |2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}.
  1. 計算分母:
A2+B2=(3)2+32=3+9=12=23.\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
  1. 計算距離:
d=2323=1.d = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1.

4. 結論

距離為 1\boxed{ \text{距離為 } 1 }

分享这个问答