Clarifying the expression

The question asks to reconstruct the analytic function f(z) from its real part u = -2xy - 2y?. The expression might be unclear, possibly meaning u = -2xy - 2y^2.

Applying Cauchy-Riemann

I’m checking if u = -2xy - 2y^2 is harmonic by finding its partial derivatives. Then, I use the Cauchy-Riemann equations to determine v.

Pinpointing logical conflicts

I noticed that if g'(x) equals 2x + 4y, it contradicts the independence of g(x) from y. So, I re-evaluated and considered the Laplacian of u.

Evaluating harmonicity

Interestingly enough, I checked if u = -2xy - 2y^2 satisfied Laplace's equation. Since it didn't, I concluded that u isn't harmonic and can't be the real part of an analytic function.

Identifying the harmonic

Reassessing the derivatives, I confirmed that u = -2xy - 2y is indeed harmonic, with second partial derivatives summing to zero, maintaining the harmonic property.

Confirming consistency

I verified that u = -2xy - 2y aligns with the Cauchy-Riemann equations, leading to v = -y^2 + x^2 + 2x + C. The partial derivatives of v matched the calculations.

Confirming harmonicity

I verified that u = -2xy - 2y is harmonic, leading to v = -y^2 + x^2 + 2x + constant. This confirms the Cauchy-Riemann equations hold true.

Adjusting constant constraints

OK, I adjusted the constant C to ensure f(0) = 0, leading to f(z) = u + i v. Next, I restructured f in terms of z to align with the given conditions.

Crafting a polynomial

To find an analytical function, I’m working with a polynomial form, specifically f(z) = a z^2 + b z + c, aiming to match the real part.

Reworking the solution

I’m analyzing how to express f in terms of z by breaking down the real part u as (x+iy)^2 plus some additional terms. This leads me to a systematic approach.

Refining the derivative

I'm noticing that f'(z) breaks down to 2 (i x - y) plus other terms. This approach clarifies the structure and helps in aligning the result with the original conditions.

Redefining variables

I’m rewriting -2y using z. This approach shifts x and y to z and $\bar{z}$, ultimately expressing $-2y$ as $i z - i \bar{z}$.

Piecing together derivatives

I simplified $f'(z)$ to $2i(z + 1)$ by grouping and canceling terms, ensuring it aligns with the remaining terms.

Mapping out the derivative

I integrated $2i(z + 1)$ to get $f(z) = i z^2 + 2i z + \text{constant}$. Then, I re-expressed $i z^2$ in terms of $x$ and $y$ to align with the real part.

Breaking down the real part

Interestingly enough, the real part of $i z^2$ is $-2xy$, matching the given $u = -2xy - 2y^2$. This confirms the integration and manipulation were accurate.

Ensuring precision

I’m confirming that $f(z) = i z^2 + 2i z$ meets the requirement that $f(0) = 0$, leading to the final expression.

Thought about восстановлении аналитической функции pendant 30 secondes

Ниже приведено подробное решение на русском языке.

Шаг 1. Уточнение постановки задачи

Нам дана функция $f(z)$, аналитическая в некоторой области (то есть голоморфная), и известна её действительная часть:

где $z = x + i\,y$. Требуется найти полную функцию

то есть найти и мнимую часть $v(x,y)$, и при этом удовлетворить условию $f(0)=0$.

Чтобы $\Re f(z)$ действительно являлась действительной частью аналитической функции, $u(x,y)$ должна быть гармонической, и должны выполняться уравнения Коши–Римана.

Примечание. Судя по контексту, «$-2xy - 2y?$» в условии, скорее всего, опечатка, и имеется в виду именно

Проверим, что это действительно гармоническая функция.

Шаг 2. Проверка гармоничности $u(x,y)$

Функция $u(x,y)$ должна удовлетворять уравнению Лапласа:

Вычислим частные производные:

Тогда

Значит, $u(x,y)$ гармоническая. Это необходимое условие для того, чтобы быть $\Re f(z)$ для некоторой аналитической $f$.

Шаг 3. Уравнения Коши–Римана

Пусть

где $u$ и $v$ связаны классическими уравнениями Коши–Римана:

Из (1) и (2) выше у нас:

• $u_x(x,y) = -2y.$
• $u_y(x,y) = -2x - 2.$

Тогда по Коши–Риману:

Поиск $v(x,y)$

1. Из $v_y = -2y$ интегрируем по $y$:

   $$v(x,y) \;=\; \int (-2y)\,dy \;=\; -y^2 \;+\; h(x),$$

   где $h(x)$ — некоторая функция только от $x$.

2. Далее из $v_x = 2x + 2$ найдём производную $\frac{\partial}{\partial x}$ для полученного выражения:

   $$v(x,y) = -y^2 + h(x).$$

   Значит

   $$v_x(x,y) \;=\; \frac{\partial}{\partial x}\bigl[-y^2 + h(x)\bigr] \;=\; h'(x).$$

   Но по уравнению Коши–Римана мы знаем:

   $$v_x(x,y) \;=\; 2x + 2.$$

   Отсюда следует

   $$h'(x) = 2x + 2 \;\;\Longrightarrow\;\; h(x) = x^2 + 2x + C,$$

   где $C$ — константа.

Таким образом,

Шаг 4. Условие $f(0) = 0$

Нам дано условие $f(0) = 0$. При $z=0$ (то есть $x=0,\,y=0$), имеем:

Чтобы $f(0) = u(0,0) + i\,v(0,0) = 0$, необходимо $C=0$.

Итоговые выражения:

Следовательно,

Шаг 5. Запись ответа в форме $f(z)$ через $z = x + i\,y$

Иногда удобно найти «короткую» формулу через $z$. Для аналитической функции мы можем пользоваться тем, что

Однако ещё проще воспользоваться тем, что из уравнений Коши–Римана можно (формально) находить $f'(z)$ и затем интегрировать по $z$.

Мы уже знаем:

Тогда

Переведём $x,y$ в термины $z$ и $\bar{z}$. Напомним:

Но удобнее «разнести» сразу:

Упростим пошагово:

Суммируя:

(Заметим, что $-\,i\,\bar{z}$ и $+\,i\,\bar{z}$ взаимно уничтожились.)

Итого

Проинтегрируем по $z$:

Так как $f(0) = 0$, получаем $\text{const}=0$. Следовательно,

Шаг 6. Проверка действительной части

Проверим, что $\Re f(z) = -2xy - 2y$. Действительно, при $z=x+ i\,y$:

Заметим:

• $i(x^2 - y^2)$ есть чисто мнимая часть (т.к. $x^2-y^2$ умножается на $i$).
• $i \cdot 2i = 2i^2 = -2$.

Значит

А для $2\,i\,z = 2\,i(x + i\,y)$:

Здесь вещественная часть $\Re(2\,i\,z) = -2\,y$.

Складывая:

Это именно то, что дано в задаче. Условие $f(0)=0$ тоже выполнено.

Итоговый ответ

Аналитическая функция $f(z)$ с действительной частью $\displaystyle u(x,y) = -2\,x\,y \;-\; 2\,y$ и нормировкой $f(0)=0$ имеет вид

При желании в «развёрнутом» виде по $x,y$ это